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1函数与方程思想、数形结合思想数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.1设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea1的大小关系为()Aea1aaeBaeaea1Caeea1aDaea10，则f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae，从而ea1aae.2已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x)，满足g(x)g(x)1的解集为_答案(，0)解析函数g(x)的图象关于直线x2对称，g(0)g(4)1.设f(x)，则f(x).又g(x)g(x)0，f(x)f(0)，x2m4x恒成立，则实数x的取值范围是_答案(，1)(2，)解析t，8，f(t).问题转化为m(x2)(x2)20恒成立，当x2时，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，m.问题转化为g(m)在上恒大于0，则即解得x2或x1.4若x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_.答案6，2解析当2x0时，不等式转化为a.令f(x)(2x0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1,0)上单调递增，此时有af(x)minf(1)2.当x0时，不等式恒成立当0x1时，a，则f(x)在(0,1上单调递增，此时有af(x)maxf(1)6.综上，实数a的取值范围是6，2二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d等于()ABC.D.答案D解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则即解得d.6已知在数列an中，前n项和为Sn，且Snan，则的最大值为()A3B1C3D1答案C解析当n2时，Snan，Sn1an1，两式作差可得ananan1，即1.由函数y1在(1，)上是减函数，可得在n2时取得最大值3.7在等差数列an中，若a10, 设Snf(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12对称，故Sn取最小值时n的值为12.8设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S63，则nSn的最小值为_答案9解析由解得a12，d1，所以Sn，故nSn.令f(x)，则f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x，f(x)在上单调递减，在上单调递增又n是正整数，当n3时，nSn9，n4时，nSn8，故当n3时，nSn取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8答案B解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.10如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.答案B解析因为PAQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R，又3，则|OP|PQ|R.双曲线C的渐近线方程是yx，A(a，0)，所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以双曲线C的离心率为e.11设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点若6，则k的值为_答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1.由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2.由点D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.12已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k_.答案或解析点F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，当k0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k0.将yk(x1)代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，依题意知，x1，x2是的不相等的两个实根，则由以AB为直径的圆过F，得AFBF，即kAFkBF1，所以1，即x1x2y1y2(x1x2)10，所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把x1x2，x1x21代入得2k210，解得k，经检验k适合式综上所述，k.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1函数f(x)2x的零点个数为()A0B1C2D3答案B解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y12x和y2的图象，如图所示函数f(x)2x的零点个数等价于2x的根的个数，等价于函数y12x和y2图象的交点的个数由图可知只有一个交点，所以只有一个零点故选B.2若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_答案解析x0是方程的一个实数解；当x0时，方程kx2可化为(x4)|x|，x4，k0，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，则两函数图象有三个非零交点f(x)(x4)|x|的大致图象如图所示，由图可得0.所以k的取值范围为.3已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1,0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cosx|在上的所有实数解之和为_答案7解析因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x1,0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与y2|cosx|的图象如图所示由图象知关于x的方程f(x)|cosx|在上的实数解有7个不妨设x1x2x3x4x5x61时，f(x)lnx，f(x)，设切点A的坐标为(x1，lnx1)，则，解得x1，故kAC.结合图象可得，实数m的取值范围是.二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5(2018全国 )设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0.因此不等式的解集为(1,0)当即x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)故选D.方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)f(2x)转化为x12x.此时x1.当2x0且x10时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，1(1,0)(，0)故选D.6设A，B在圆x2y21上运动，且|AB|，点P在直线l：3x4y120上运动，则|的最小值为()A3B4C.D.答案D解析设AB的中点为D，由平行四边形法则可知2，所以当且仅当O，D，P三点共线时，|取得最小值，此时OP垂直于直线3x4y120，OPAB，因为圆心到直线的距离为，|OD|，所以|的最小值为2.7若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的简图，如图所示依题意得故a.8已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围为_答案0，)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当x1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为xa；当x1时，如图(1)所示，符合题意；当0a1时，如图(2)所示，符合题意；当a0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7B6C5D4答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，可知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.10设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A.B.C2D.答案D解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得4a216a220a24c2，即e.11已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_答案解析因为(2)21，设af(2)1，bef(3)1，则a，b的大小关系为()AabCabD无法确定答案A解析令g(x)exf(x)ex，则g(x)exf(x)f(x)10，即g(x)在R上为增函数所以g(3)g(2)，即e3f(3)e3e2f(2)e2，整理得ef(3)1f(2)1，即ab.2定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则有()AfffBfffCfffDfff答案C解析因为f(x2)f(x)f(x)，f(x)的图象关于直线x1对称；又T4，作图，由图知ff0，b0)的右焦点F作直线yx的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若2，则该双曲线的离心率为()A.B2C.D.答案C解析设F(c，0)，则直线AB的方程为y(xc)，代入双曲线渐近线方程yx，得A.由2，可得B，把B点坐标代入1，得1，c25a2，离心率e.5记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3,13x的最大值为()A5B6C8D10答案C解析在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图由图可知，在实数集R上，minx21，x3,13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y13x在点C下方的部分的组合体显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3,13x取得最大值解方程组得点C(5,8)所以f(x)max8.6若关于x的不等式3|xa|x2在(，0)上有解，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析3|xa|x2可化为3x2|xa|，画出y3x2与y|xa|的草图如图所示，当yxa与y3x2相切时，a；当yax过点(0,3)时，a3，所以实数a的取值范围为.7已知函数f(x)若不等式f(x)mx恒成立，则实数m的取值范围为()A32，32B32，0C32，0D(，3232，)答案C解析函数f(x)及ymx的图象如图所示，由图象可知，当m0时，不等式f(x)mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)x23x2(x0时能成立，令g(x)ex(x23x3)，则ag(x)min，而g(x)ex(x2x)，由g(x)0，可得x(，0)(1，)，由g(x)0，可得x(0,1)据此可知，函数g(x)在区间(0，)上的最小值为g(1)e，ae.综上可得，实数a的最小值为e.9已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_答案2解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积Va2h，故a2h32，即a2.则其侧棱长为l.令f(h)h2，则f(h)2h，令f(h)0，解得h2.当h(0,2)时，f(h)0，f(h)单调递增，所以当h2时，f(h)取得最小值f(2)2212，故lmin2.10若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点，如图所示结合函数的图象，可得0b0，故(x)在上单调递增，所以(x)0.因此g(x)0，故g(x)在上单调递增，则g(x)g2，所以a2，解得a2，所以a的取值集合为2
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