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课时规范练23平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.下列关于平面向量的说法正确的是() A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab,且|a|=|b|3.设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC4.(2017北京丰台一模)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为()A.-12B.0C.12D.15.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.26.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA+2OC=3OB,则|BC|AB|的值为()A.12B.13C.14D.167.在四边形ABCD中,O是四边形ABCD内一点,OA=a,OB=b,OC=c,OD=a-b+c,则四边形ABCD的形状为()A.梯形B.正方形C.平行四边形D.菱形8.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b导学号241907479.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积比为.10.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.11.已知D为ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=PD,则实数的值为.12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=AB+DC,则+=.综合提升组13.在ABC中,D是AB边上的一点,CD=CA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为()A.CD=23a+13bB.CD=13a+23bC.CD=13a+13bD.CD=23a+23b导学号2419074814.在ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)D.(0,1)15.A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得OC=tOA+OB.16.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=.创新应用组17.已知A,B,C三点不共线,且点O满足OA+OB+OC=0,则下列结论正确的是()A.OA=13AB+23BCB.OA=23AB+13BCC.OA=13AB-23BCD.OA=-23AB-13BC导学号2419074918.(2017安徽马鞍山质检)已知ABC是边长为4的正三角形,D,P是ABC内的两点,且满足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,则APD的面积为()A.34B.32C.3D.23答案：1.C对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确.故选C.2.C因为a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,所以只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.3.AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+43AC.故选A.4.C如图,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.EF=mAB+nAC,m=-16,n=23,m+n=12.故选C.5.BBC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三点共线,AB,BD共线.设AB=BD,则2a+pb=(2a-b).即2=2,p=-.解得=1,p=-1.6.A由OA+2OC=3OB,得OA-OB=2OB-2OC,即BA=2CB,所以|BC|AB|=12.故选A.7.C因为OD=a-b+c,所以AD=OD-OA=c-b.又BC=OC-OB=c-b,所以ADBC且|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是平行四边形.8.D连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CDAB,且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.9.35如图,设AB的中点为D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD,故C,M,D三点共线,且MD=35CD,也就是ABM与ABC对于边AB上的两高之比为35,故ABM与ABC的面积比为35.10.90由AO=12(AB+AC),得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC=90,故AB与AC的夹角为90.11.-2如图,由AP=PD,且PA+BP+CP=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此AP=-2PD,故=-2.12.1如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因为AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.同理EF=ED+DC+CF.由+,得2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC),所以=12,=12.所以+=1.13.A由题意,得CD是ACB的平分线,则CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA=23a+13b,故选A.14.A设BO=BC(1),则AO=AB+BO=AB+BC=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-)AB+AC.所以=1-x1,解得x0.15.(1-t)根据共线向量定理知,A,B,C三点共线的充要条件是存在实数t使得BC=tBA,即OC-OB=t(OA-OB),即OC=tOA+(1-t)OB.16.0因为a+b与c共线,所以a+b=1c.又因为b+c与a共线,所以b+c=2a.由得b=1c-a.所以b+c=(1+1)c-a=2a,所以1+1=0,2=-1,即1=-1,2=-1.所以a+b+c=-c+c=0.17.DOA+OB+OC=0,O为ABC的重心,OA=-2312(AB+AC)=-13(AB+AC)=-13(AB+AB+BC)=-13(2AB+BC)=-23AB-13BC,故选D.18.A取BC的中点E,连接AE,因为ABC是边长为4的正三角形,所以AEBC,AE=12(AB+AC).又AD=14(AB+AC),所以点D是AE的中点,AD=3.取AF=18BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP=AD+18BC=AD+AF.因为APD是直角三角形,AF=12,所以APD的面积为12123=34.
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