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第8课时空间几何中的角度计算与距离计算基础达标(水平一)1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为().A.83B.38C.43D.34【解析】由等体积法得VA1-AB1D1=VA-A1B1D1,则136h=1324,解得h=43.【答案】C2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角().A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定【解析】如图,平面EFDG平面ABC,平面HDG平面BCD,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,所以两个二面角的大小关系不确定.【答案】D3.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于().A.64B.104C.22D.32【解析】如图所示,取A1C1的中点D,连接AD,B1D,可知B1D平面ACC1A1,DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角.不妨设正三棱柱的棱长为2,在RtAB1D中,sinDAB1=B1DAB1=322=64,故选A.【答案】A4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,AB=AA1=2,AC=2,过BC的中点D作平面ACB1的垂线,交平面ACC1A1于点E,则BE与平面ABB1A1所成角的正切值为().A.55B.510C.1010D.105【解析】连接A1C及AC1交点为O,连接OD,A1B,由图形易知A1B平面AB1C,ODA1B,故OD平面AB1C,故点E与点O重合.取AA1的中点F,连接EF和BF,易判断EBF为BE与平面ABB1A1所成角,EF=12AC=22,BF=AB2+AF2=4+1=5,故tanEBF=225=1010,选C.【答案】C5.已知矩形ABCD的两边AB=3,AD=4,PA平面ABCD,且PA=435,则二面角A-BD-P的大小为.【解析】过点A作AEBD,连接PE,则AEP为二面角A-BD-P的平面角.由AB=3,AD=4知BD=5.ABAD=BDAE,AE=125.tanAEP=APAE=435125=33.AEP=30.【答案】306.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线C1D与平面B1CD所成的角为.【解析】如图,连接C1B交B1C于点O,由直线C1B平面B1CD可得直线C1D与平面B1CD所成的角为ODC1.在RtODC1中,由DC1=2OC1可得ODC1=30,因此直线C1D与平面B1CD所成的角为30.【答案】307.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA=3.(1)求证:平面PBE平面PAB.(2)求二面角A-BE-P的大小.【解析】(1)如图,连接BD,由底面ABCD是菱形且BCD=60知BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BECD.又ABCD,所以BEAB.又PA平面ABCD,BE平面ABCD,所以PABE.又PAAB=A,所以BE平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)由(1)知BE平面PAB,PB平面PAB,所以PBBE.又ABBE,所以PBA即为二面角A-BE-P的一个平面角.在RtPAB中,tanPBA=PAAB=3,所以PBA=60,故二面角A-BE-P的大小是60.拓展提升(水平二)8.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,则二面角B-PA-C的大小为().A.90B.60C.45D.30【解析】PA平面ABC,BA,CA平面ABC,BAPA,CAPA,BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又BAC=90,故选A.【答案】A9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,各侧棱和底面的边长均为a,点D是CC1上任意一点,连接A1B,BD,A1D,AD,则三棱锥A-A1BD的体积为().A.a36B.3a312C.3a36D.a312【解析】VA-A1BD=VD-A1BA=13Sh=13a223a2=3a312.【答案】B10.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.【解析】如图,取CD的中点F,连接EF交平面ABC1D1于点O,连接AO,B1C.由题意知B1CBC1,B1CD1C1,BC1D1C1=C1,B1C平面ABC1D1.E,F分别为A1B1,CD的中点,EFB1C.EF平面ABC1D1,即EAO为所求角.在RtEOA中,EO=12EF=12B1C=22,AE=A1E2+AA12=52,sinEAO=EOAE=105.【答案】10511.如图所示,在三棱锥P-ABC中,ACB=90,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且PDB是正三角形,PAPC.(1)求证:平面PAC平面ABC.(2)求二面角D-AP-C的正弦值.(3)若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积.【解析】(1)D是AB的中点,PDB是正三角形,AB=20,PD=12AB=10,APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC.又BC平面PBC,APBC.又ACBC,APAC=A,BC平面PAC.又BC平面ABC,平面PAC平面ABC.(2)PAPC,且PAPB,BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知,BC平面PAC,则BCPC,sinBPC=BCPB=25.(3)D为AB的中点,M为PB的中点,DM12PA,且DM=53,由(1)知,PA平面PBC,DM平面PBC,SBCM=12SPBC=221,VM-BCD=VD-BCM=1353221=107.
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