河南省八市中评2017年高考数学三模试题 理（含解析）.doc

2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1若复数（aR，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A2B6C4D62设x表示不大于x（xR）的最大整数，集合A=x|x=1，B=1，2，则AB=（）A1B1，2C1，2）D1，23某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A1B2C3D44若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A0B0或CD5已知x，y满足，若存在x，y使得2x+ya成立，则a的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C4，+）D10，+）6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4B2C6D7数列an满足an+1（an1an）=an1（anan+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）ABCD8长为的线段AB在双曲线x2y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=x22上的点，则ABC面积的最小值是（）ABCD79在区间0，4上随机取两个数x，y，则xy0，4的概率是（）ABCD10将函数的图象向右平移（0）个单位长度后关于y轴对称，则的最小值是（）ABCD11已知三棱锥SABC的底面ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MNAM，若侧棱，则三棱锥SABC的外接球的表面积是（）A12B32C36D4812已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x1|）（xR）若方程f（x）cosx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A3B5C7D9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，若存在向量使，则= 14若展开式中存在常数项，则n的最小值为 15非零实数a，b满足tanx=x，且a2b2，则（ab）sin（a+b）（a+b）sin（ab）= 16已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PFi（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，（1）求三角形内角C的大小；（2）求ABC面积的S18如图，ABCABC为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA=2，AB=2，BC=1，ABC=60（1）求证：CN平面ABM；（2）求平面ABM与平面BBC所成的锐二面角的余弦值19为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良” 分数0，90）90，105）105，1200）120，135）135，150） 甲班频数 5 6 44 1 乙班频数 1 3 65 （1）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望 甲班乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表： P（K2k0） 0.100.050 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.0246.635 20一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP的交点为M（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求ABO的面积的取值范围21已知f（x）=且a1），f（x）是增函数，导函数f（x）存在零点（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由选修4-4：参数方程与极坐标系22在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x1|+|xa|（a0），其最小值为3（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|m22m对于任意的xR恒成立，求实数m的取值范围2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1若复数（aR，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A2B6C4D6【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】复数=+i是纯虚数，可得=0，0，解出即可得出【解答】解：复数=+i是纯虚数，则=0，0，解得a=2故选：A2设x表示不大于x（xR）的最大整数，集合A=x|x=1，B=1，2，则AB=（）A1B1，2C1，2）D1，2【考点】1D：并集及其运算【分析】根据x的定义用区间表示集合A，再根据并集的定义写出AB【解答】解：根据题意，集合A=x|x=1=x|1x2=1，2），集合B=1，2，所以AB=1，2故选：D3某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A1B2C3D4【考点】EF：程序框图【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D4若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A0B0或CD【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（m，n），（1m1，n0），由于f（x）的图象为单位圆的上半圆，求得切线的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，进而得到所求切线的斜率【解答】解：设切点为（m，n），（1m1，n0），由于函数的图象为单位圆的上半圆，可得切线的斜率为，即有切线的方程为yn=（xm），代入m2+n2=1，可得mx+ny=1，代入（2，1），可得2m+n=1，解得m=，n=，（舍去）或m=0，n=1，即为切线的斜率为=0故选：A5已知x，y满足，若存在x，y使得2x+ya成立，则a的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C4，+）D10，+）【考点】7C：简单线性规划【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10所以要使2x+ya恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a10故答案为：a10故选：D6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4B2C6D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，PC平面ABCD然后由棱锥体积公式得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，PC平面ABCD该几何体的体积V=故选：B7数列an满足an+1（an1an）=an1（anan+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）ABCD【考点】8H：数列递推式【分析】数列an满足an+1（an1an）=an1（anan+1），展开化为： +=利用等差数列的通项公式得出【解答】解：数列an满足an+1（an1an）=an1（anan+1），展开化为： +=数列是等差数列，公差为=，首项为1=1+=，解得a20=故选：C8长为的线段AB在双曲线x2y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=x22上的点，则ABC面积的最小值是（）ABCD7【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，m22），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值【解答】解：双曲线x2y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=x22上的点，设C（m，m22），C到直线y=x的距离为d=，当m=时，d的最小值为，可得ABC的面积的最小值为S=4=故选：A9在区间0，4上随机取两个数x，y，则xy0，4的概率是（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出=（x，y）|表示的平面区域，把xy0，4转化为0y，求出满足0y的区域面积，计算所求的概率值【解答】解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），则=（x，y）|，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为42=16；xy0，4转化为0y，如图所示；且满足0y的区域面积是：16（4）dx=16（4x4lnx）=4+4ln4，则xy0，4的概率为：P=故选：C10将函数的图象向右平移（0）个单位长度后关于y轴对称，则的最小值是（）ABCD【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移（0）个单位长度后，可得sin（x+），关于y轴对称，kZ即=0，当k=1时，可得的最小值为，故选：D11已知三棱锥SABC的底面ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MNAM，若侧棱，则三棱锥SABC的外接球的表面积是（）A12B32C36D48【考点】LG：球的体积和表面积【分析】由题意推出MN平面SAC，即SB平面SAC，ASB=BSC=ASC=90，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积【解答】解：M，N分别为棱SC，BC的中点，MNSB三棱锥SABC为正棱锥，SBAC（对棱互相垂直），MNAC又MNAM，而AMAC=A，MN平面SAC，SB平面SACASB=BSC=ASC=90以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径2R=SA=6，R=3，S=4R2=36故选：C12已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x1|）（xR）若方程f（x）cosx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A3B5C7D9【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】函数y=g（|x|）是偶函数，y=g（|x1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称再由x=1是f（x）=cosx的一条对称轴，可得y=f（x）的图象与y=cosx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）结合中点坐标公式得答案【解答】解：函数y=g（|x|）是偶函数，其图象关于直线x=0对称，而y=g（|x1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，y=g（|x1|）的图象关于直线x=1对称即y=f（x）的图象关于直线x=1对称方程f（x）cosx=0恰有7个根，即方程f（x）=cosx恰有7个根，也就是y=f（x）的图象与y=cosx的图象有7个交点，而x=1是f（x）=cosx的一条对称轴，y=f（x）的图象与y=cosx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）由中点坐标公式可得：y=f（x）的图象与y=cosx的图象交点的横坐标和为32+1=7故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，若存在向量使，则=【考点】9J：平面向量的坐标运算【分析】设=（x，y），由，可得，解出x，y即可得出【解答】解：设=（x，y），解得x=3，y=2则=故答案为：14若展开式中存在常数项，则n的最小值为5【考点】DB：二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n的最小值【解答】解：展开式中通项公式为Tr+1=（1）r，令=0，解得n=，其中r=0，1，2，n；当r=3时，n=5；所以n的最小值为5故答案为：515非零实数a，b满足tanx=x，且a2b2，则（ab）sin（a+b）（a+b）sin（ab）=0【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解【解答】解：非零实数a，b满足tanx=x，且a2b2，可得：b=tanb，a=tana，原式=（ab）（sinacosb+cosasinb）（a+b）（sinacosbcosasinb）=2acosasinb2bsinacosb=2tanacosasinb2tanbsinacosb=2sinasinb2sinasinb=0故答案为：016已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PFi（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PFi（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM=a，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PFi（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM=a，a就是两圆的半径之差，故两圆内切故答案为：内切三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，（1）求三角形内角C的大小；（2）求ABC面积的S【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；（2）根据C的大小和2B=A+C，可得A，B的大小利用正弦定理即可求解【解答】解：（1）角A，B，C成等差数列，2B=A+C，B=，=2sin（A+C），2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，sinA=2sinAcosC，A（0，），sinA0，cosC=，C（0，），（2）由（1）值A=，C=，由正弦定理得，得AB=，同理得AC=，ABC面积的S=18如图，ABCABC为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA=2，AB=2，BC=1，ABC=60（1）求证：CN平面ABM；（2）求平面ABM与平面BBC所成的锐二面角的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）取AB的中点E，连接EC，EN，由已知可得AB，EN共面，设ABEN=F，连接FM，可得NFCM，NF=CM，从而得到CNFM，然后利用线面平行的判定可得CN平面ABM；（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC2，由AC2+BC2=AB2，得ACCB，建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面ABM与平面BCCB的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面ABM与平面BBC所成的锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：如图，取AB的中点E，连接EC，EN，ABCABC为直三棱柱，ABBA为矩形，则AB，EN共面，设ABEN=F，连接FM，则ENBBCC，且F为AB的中点又M为CC的中点，NFCM，NF=CM，则CNFM，而MF平面ABM，CN平面ABM，CN平面ABM；（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=22+12221cos60=3AC2+BC2=AB2，则ACCB建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（），B（0，1，2），M（0，0，1），设平面ABM的一个法向量为由，取x=1，得AC平面BCCB，可取平面BCCB的一个法向量cos=平面ABM与平面BBC所成的锐二面角的余弦值为19为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良” 分数0，90）90，105）105，1200）120，135）135，150） 甲班频数 5 6 44 1 乙班频数 1 3 65 （1）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望 甲班乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表： P（K2k0） 0.100.050 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.0246.635 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据以上统计数据填写22列联表，根据列联表计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值【解答】解：（1）根据以上统计数据填写22列联表，如下； 甲班乙班 总计 成绩优良 916 25 成绩不优良 114 15 总计 2020 40 根据列联表，计算K2=5.2275.024，对照临界值知，有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关；（2）由表可知，8人中成绩不优良的人数为3，则X的可能取值为0、1、2、3，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=；所以X的分布列为：X0123P数学期望为E（X）=0+1+2+3=20一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP的交点为M（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求ABO的面积的取值范围【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】（1）折痕为PP的垂直平分线，则|MP|=|MP|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出AOB的面积的取值范围【解答】解：（1）折痕为PP的垂直平分线，则|MP|=|MP|，由题意知圆E的半径为2，|ME|+|MP|=|ME|+|MP|=2|EP|，E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，b2=a2c2=1，M的轨迹C的方程为=1（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆交于两个不同点，=16k2m28（1+2k2）（m21）=8k20，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，=，设=k4+k2，则，=，SAOB关于在，2单调递增，AOB的面积的取值范围是，21已知f（x）=且a1），f（x）是增函数，导函数f（x）存在零点（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，从而可得=4ln2a4lna=0，从而解得；（2）求导，得到（x2+x1）2+=（x2+x1）2+，化简得ln=0，即ln=0，令t=1，g（t）=lnt，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）f（x）=x22x+logax，f（x）=x2+=，f（x）在（0，+）上是增函数，且f（x）存在零点，=4ln2a4lna=0，解得，lna=1或lna=0；故a=e或a=1（舍去）；故a=e；（2）假设存在x0，使得f（x0）=成立，由（1）得：f（x）=x22x+lnx，（x0），f（x）=x2+，f（x0）=x02+=（x2+x1）2+，又=（x2+x1）2+，故（x2+x1）2+=（x2+x1）2+，化简得ln=0，即ln=0，令t=1，g（t）=lnt，则g（t）=0，g（t）在（1，+）递增，则g（t）g（1）=0，故不存在x0，使得f（x0）=成立选修4-4：参数方程与极坐标系22在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，），得到曲线C的极坐标方程为42sin2+2cos2=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程【解答】解：（1）曲线C在极坐标系中过点（2，），把（2，）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，曲线C的极坐标方程为，即42sin2+2cos2=4，曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1（2）直线（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为x2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=2或x=0，A（2，0），B（0，1），AB的中点为M（1，），直线l的斜率为，即tan=，tan2=直线m的方程为y=（x+1），即8x6y+11=0，m的极坐标方程为8cos6sin+11=0选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x1|+|xa|（a0），其最小值为3（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|m22m对于任意的xR恒成立，求实数m的取值范围【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m22m3，解出即可【解答】解：（1）f（x）=|x1|+|xa|a1|，故|a1|=3，解得：a=2或4，由a0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x1|+|x4|，x4时，f（x）=x1+x4=2x53，1x4时，f（x）=x1x+4=3，x1时，f（x）=1xx+4=2x+53，f（x）+|x|3，当x=0时”=“成立，故m22m3即（m+1）（m3）0，解得：1m3，故m的范围是（1，3）