2018-2019学年高二数学上学期期中联考试卷(含解析).doc

2018-2019学年高二数学上学期期中联考试卷(含解析)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列则是它的A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项【答案】B【解析】【分析】由数列的前几项可得其一个通项公式，由此可求是它的第项.【详解】已知数列则数列的一个通项公式为 则 故选B.【点睛】本题考查由数列的前几项写出数列的一个通项公式，属基础题.2.已知命题，命题，则命题是命题成立的A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】由p:xy不能得到q:lnxlny，但由q:lnxlny可得到p:xy，则命题p是命题q成立的必要不充分条件.故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属基础题3.已知椭圆x29+y24=1的两个焦点是F1，F2，过点F2的直线交椭圆于A,B两点，在AF1B中，若有两边之和是8，则第三边的长度为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】由椭圆的定义得|AF1+AF2|6|BF1+BF2|6 ，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=12，由此可求出|AB|的长【详解】由椭圆的定义得 |AF1+AF2|6|BF1+BF2|6，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=12，又因为在AF1B中，有两边之和是8，所以第三边的长度为：12-8=4故选：B【点睛】本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质4.已知an是单调递增的等比数列，满足a3a5=16,a2+a6=17，则数列an的前n项和Sn=A. 2n+12 B. 2n12C. 2n1+12 D. 2n112【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得a2，a6 为方程x2-17x+16=0 的实根，解方程可得q和a1，代入求和公式计算可得【详解】a3a5=16,a2+a6=17，由等比数列的性质可得a2a6=16，a2+a6=17 ，a2，a6 为方程x2-17x+16=0 的实根解方程可得a2=1，a6=16，或a2=16，a6=1 ，等比数列an单调递增，a2=1，a6=16，q=2，a112 ，Sn12(1-2n)1-22n-1-12 故选D【点睛】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题5.已知椭圆x25+y24=1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为A. 855 B. 855或4 C. 455 D. 455或4【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的方程可得a=5，c=1，若若PF1x轴 或PF2x，结合直角三角形的面积公式，可得PF1F2的面积，若P为椭圆短轴的一个端点0,2,则不可能有PF1PF2.【详解】椭圆方程为x25+y24=1，a2=5，b2=4，可得c2=a2-b2=1，即a=5，c=1 ，若PF1x轴或PF2x ，把x=1 代入椭圆方程得125+y24=1，解得y=455,h=455 PF1F2的面积S=124552=455; 若P为椭圆短轴的一个端点0,2, 则在RtPOF1中tanPOF1=121,POF145,F1PF21,y1，且lgxlgy=1，则xy的最小值为 （ ）A. 100 B. 10 C. 1 D. 110【答案】A【解析】【分析】由于x1，y1，可得lgx0，lgy0利用1=lgxlgy(lgx+lgy2)2=lg2xy4 即可得出【详解】x1，y1，lgx0，lgy01=lgxlgy(lgx+lgy2)2=lg2xy4，化为lg（xy）2 ，xy100，当且仅当x=y=10时取等号xy的最小值为100故选A.【点睛】本题考查了基本不等式的性质、对数的运算法则，属于基础题7.已知双曲线x2a2y2b2=1 （a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是腰长为2的等腰三角形（O为原点），OFA=120，则双曲线的方程为A. x212y24=1 B. x24y212=1C. x23y2=1 D. x2y23=1【答案】C【解析】【分析】由题可得可得c=2，ba33，由此可求双曲线的方程.【详解】双曲线x2a2-y2b2=1 （a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，腰长为2的等腰三角形（O为原点），可得c=2，ba33，即b2a213，c2-a2a213， 解得a=3，b=1 ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：x23-y2=1故选C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8.设椭圆x2a2+y2b2=1 （ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，点N(c,a2)在椭圆的外部，点M是椭圆上的动点，满足MF1+MN32F1F2恒成立，则椭圆离心率的取值范围是A. (0，22) B. (22，1) C. (22，56) D. (56,1)【答案】D【解析】【分析】由N在椭圆外部，则c2a2+a24b21 ，根据椭圆的离心率公式，即可求得e22 ，根据椭圆的定义及三角形的性质，|MF1+MN=2a-MF2+MN|2a+a2 ，由MF1+MN32F1F2，则ca56 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围【详解】点N(c,a2)在椭圆的外部，c2a2+a24b21，b2a212 ，由椭圆的离心率e=ca=1-b2a21-12=22 ，|MF1+MN=2a-MF2+MN|， 又因为-|MF2+MN| |NF2|，且|NF2|=a2，要MF1+MN32F1F2恒成立，即2a-MF2+MN 2a+a2322c，则椭圆离心率的取值范围是(56,1)故选：D【点睛】本题考查椭圆离心率公式及点与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列an的前n项和为Sn （nN*），若S11=33，则a3+a9=_【答案】6【解析】【分析】由等差数列的求和公式和性质可得S11=11a6，代入已知式子可得a6=3，由此可求a3+a9.【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：S11=11(a1+a11)2=112a62=11a6=33， a6=3，则a3+a9=2a6=6. .即答案为6.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题10.已知数列an满足2an+1=an+1（nN*），且a1=3，则a8=_【答案】6564【解析】【分析】由2an+1=an+1可得an+11=12an1 ，由此求出数列的通项公式，即可得到a8.【详解】由2an+1=an+1可得an+11=12an1，即数列an1 是以a11=31=2 为首项，以12为公比的等比数列，即an1=212n1,an=212n1+1,a8=21281+1=6564.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，属中档题.11.设直线y=kx与双曲线x2y23=1相交于A,B两点，分别过A,B向x轴作垂线，若垂足恰为双曲线的两个焦点，则实数k=_【答案】32【解析】【分析】将直线方程与双曲线方程联立，得（3-k2）x2=3 分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为双曲线的两个焦点，说明A，B的横坐标是1，即方程（3-k2）x2=3的两个根为1，代入求出k的值【详解】将直线与双曲线方程联立，ykxx2-y23=1 ，化简整理得（3-k2）x2=3（*）因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为双曲线的两个焦点，故方程的两个根为1代入方程（*），得k=32.即答案为32.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的交点问题，方法是将直线与圆锥曲线方程联立来求解，此方法是数学圆锥曲线中的重要思想方法12.已知x,yR+，且x+2y=1，则x2+4y2+2xy的最小值为_【答案】34【解析】【分析】由x2+4y2+2xy=x+2y22xy, 而1=x+2y22xy,2xy14 由此可求x2+4y2+2xy的最小值.【详解】已知x,yR+，由x+2y=1，可得1=x+2y22xy,2xy14则x2+4y2+2xy=x+2y22xy114=34,当且仅当x=2y即x=23,y=13等号成立.即答案为34.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.13.已知数列an满足an+1=an+1,n=2k,ann,n=2k1. (kN*)，a1=1，an=23，则n= _【答案】4【解析】【分析】令n=1,2,3,4, 即可得出.【详解】已知数列an满足an+1=an+1,n=2k,ann,n=2k-1. (kN*)，a1=1则当n=1时，a2=a11=1；n=2时，a3=a2+1=2；n=3时，a4=a33=23；故n=4.即答案为4.【点睛】本题考查利用数列的递推公式求数列的项，属基础题.14.已知椭圆C1与双曲线C2有公共焦点F1，F2，M为C1与C2的一个交点，MF1MF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2=2e1，则e1=_【答案】104【解析】【分析】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得SPF1F2=b12=b22 ，然后结合隐含条件列式求得1e12+1e222 ，再由e2=2e1即可求得e1【详解】如图，由椭圆定义及勾股定理得，|PF1+PF2|2a1|PF1|2+|PF2|24c2，可得SPF1F2=b12 ， e1=ca1，a1=ce1，b12=a12c2=c2（1e121）， 同理可得SPF1F2=b22， e2=ca2，a2=1e2，b22=c2a22=c2（11e22）， .c2（1e121）=c2（11e22） 即1e12+1e222，e2=2e1，e1=104故答案为：104【点睛】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解关于x的不等式ax2+2x+a0(a0)【答案】当a-1时，解集为R；当a=-1时，解集为x|xR且x1 ；当-1a0时，解集为x|x-1-1-a2a；当a=0时，解集为x|x0.【解析】【分析】讨论a=0与a0时，对应不等式的解集，分别求出即可【详解】（1）当a=0时，有2x0，即x0,（2）当a0时，=4-4a2.当0，即a0，即-1ax2 ，所以xx1,综上，关于x的不等式ax2+2x+a0的解集为：当a-1时，解集为R当a=-1时，解集为x|xR且x1 当-1a0时，解集为x|x-1-1-a2a当a=0时，解集为x|xb0)的长轴长为4，点A(1,32)在椭圆上（）求椭圆的方程（）设斜率为1的直线与椭圆交于M,N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，且点P的横坐标取值范围是（35，0），求MN的取值范围【答案】（1）x24+y2=1； （2）（825，4105）.【解析】【详解】（）椭圆C的长轴长为4，则2a=4,所以a=2，因为点A(1,32)在椭圆C上，所以1a2+34b2=1， 所以b=1故椭圆C的标准方程为x24+y2=1()设直线的方程为y=x+m，设M(x1,y1),N(x2,y2)，MN的中点为D(x0,y0)，由y=x+mx24+y2=1消去y，得5x2+8mx+4m2-4=0，所以=64m2-165(m2-1)0即-5m5 (*) x1+x2=-8m5,x1x2=4m2-45，故x0=x1+x22=-4m5，y0=x0+m=m5,即D(-4m5,m5)所以线段MN的垂直平分线方程为y=-x-3m5，故点P的横坐标为-3m5，即-35-3m50所以0mb0)的右焦点为F(1,0)，离心率为12（）求椭圆的方程；（）设直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，设M(t,0) (tR)，且满足MPMQ=0恒成立，求的值【答案】（1）x24+y23=1； （2）t=1.【解析】【分析】（1）根据椭圆的右焦点F（1，0），离心率为12，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，求出P的坐标，求出向量的坐标，利用MPMQ=0，即可得出结论【详解】（）设椭圆的焦距为2c，由已知有c=1,ca=12,又由a2=b2+c2，得a=2,b=3,c=1，故椭圆C的标准方程为x24+y23=1（）由y=kx+mx24+y23=1 消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，所以=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，即m2=3+4k2 设P(x0,y0)，则x0=-4km3+4k2=-4km，y0=kx0+m=-4k2m+m=3m, 即P(-4km,3m)因为Q(4,4k+m)，所以MP=(-4km-t,3m)MQ=(4-t,4k+m)由MPMQ=0恒成立可得， 即(-4km-t,3m)(4-t,4k+m)=t2-4t+3+4km(t-1)=0恒成立，故t=1,t2-4t+3=0. 所以t=1【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20.已知数列an的前n项和为Sn（nN*），Sn=n+23an，且a1=1，bn为等比数列，b1=a34,b4=a5+1（）求an和bn的通项公式；（）设cn=nbnan+1，nN*，数列cn的前n项和为Tn，若对nN*均满足Tnm2018，求整数m的最大值【答案】（1）an=n(n+1)2 bn=2n； （2）m=1345.【解析】【分析】（）由题设知a1=1.当n2时，有an=Sn-Sn-1= n+23an-n+13an-1整理得anan-1=n+1n-1(n2).利用累积法即可求出an的通项公式；设等比数列bn的公比为q.由b1=a3-4=2,b4=a5+1=16，可得q3=8 ，所以q=2 ，故bn=2n （）因为cn=nbnan+1=2n+2n+2-2n+1n+1 ，由此得到Tn=2n+2n+2-2 ，证明Tn单调递增 ,由此解不等式Tnm2018即可.【详解】（）由题设知a1=1.当n2时，有an=Sn-Sn-1= n+23an-n+13an-1整理得anan-1=n+1n-1(n2).故an=a1a2a1a3a2a4a3anan-1 =13142536475n+1n-1=n(n+1)2(n2),经检验n=1时也成立，所以的通项公式为. 设等比数列的公比为.由，可得 ，所以 ，故 所以的通项公式为. （）因为 因为 所以，即单调递增 ,故, 即 ，所以.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查数列的单调性的应用，属难题.