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第15讲导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系xD,f(x)MxD,f(x)minMxD,f(x)MxD,f(x)maxMxD,f(x)maxMx0D,f(x0)MxD,f(x)ming(x)xD,f(x)-g(x)min0xD,f(x)g(x)xD,f(x)-g(x)maxg(x2)x1D1,x2D2,f(x1)ming(x2)max(续表)不等式类型与最值的关系x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)ming(x2)minx1D1,x2D2,f(x1)g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)maxg(x2)maxx1D1,x2D2,f(x1)g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)maxg(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.教材改编 函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.2.教材改编 函数f(x)=x3-12x在区间-3,3上的最大值是.3.教材改编 当x0时,ln x,x,ex的大小关系是.4.教材改编 现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是.题组二常错题索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=.6.函数g(x)=-x2的极值点是,函数f(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).7.函数g(x)=x2在1,2上的最小值和最大值分别是,在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.对任意实数x,不等式sin xa恒成立,则实数a的取值范围是;存在实数x0,使不等式sin x0a成立,则实数a的取值范围是.探究点一利用导数解决函数的极值问题微点1由图像判断函数极值例1 2018杭州二中模拟 如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是()图2-15-1A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点D.h(x0)0,x=x0不是h(x)的极值点总结反思 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2 若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0总结反思 求函数极值的一般步骤:先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;求f(x)=0的根;判断在f(x)=0的根的左、右两侧f(x)的符号,确定极值点;求出具体极值.微点3已知极值求参数例3 2018江西九校二联 若函数f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.0,62B.1,62C.-62,62D.63,11,62总结反思 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).应用演练1.【微点1】2018河南中原名校质检 已知定义在R上的函数f(x),其导函数f(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是()f(b)f(a)f(c);图2-15-2函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.A.B.C.D.2.【微点3】函数f(x)=x2-aln x(aR)不存在极值点,则a的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.0,+)D.(-,03.【微点2】2018安庆二模 已知函数f(x)=2ef(e)ln x-xe(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-1eC.1D.2ln 24.【微点3】2018菏泽模拟 已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是()A.-9,-154B.-9,-154C.-154,+D.(-,-9)探究点二利用导数解决函数的最值问题例4 已知定义在正实数集上的函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)若函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)0恒成立,求实数a的最小值;(2)若a0时,f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求实数a的取值范围. 总结反思 (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.变式题 (1)已知a1-xx+ln x对任意x1e,e恒成立,则a的最小值为()A.1B.e-2C.1eD.0(2)2018唐山三模 已知a0,f(x)=xexex+a,若f(x)的最小值为-1,则a=()A.1e2B.1eC.eD.e2探究点三利用导数研究生活中的优化问题例5 2018南京四校联考 如图2-15-3所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着AE,FB修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为AD,BC上的动点,EFAB,且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.图2-15-3(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低. 总结反思 (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.变式题 某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0x21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k0)件.已知商品单件降低2元时,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.第15讲导数与函数的极值、最值考试说明 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2.会利用导数解决某些实际问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f(x)0(2)f(x)0f(x)0;当x(0,2)时,f(x)0.故f(x)在x=2处取得极小值f(2)=8-12+1=-3.2.16解析 由f(x)=3x2-12=0,得x=2,易知x=-2为函数f(x)的极大值点,故函数f(x)在区间-3,3上的最大值f(x)max=maxf(-2),f(3)=max16,-9=16.3.ln xxex解析 构造函数f(x)=ln x-x,则f(x)=1x-1,可得x=1为函数f(x)在(0,+)上唯一的极大值点,也是最大值点,故f(x)f(1)=-10,所以ln xx.同理可得xex,故ln xxex.4.227a3解析 容积V=(a-2x)2x,0xa2,则V=2(a-2x)(-2)x+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),由V=0得x=a6或x=a2(舍去),则x=a6为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时Vmax=227a3.5.-7解析 f(x)=3x2+2ax+b,依题意得f(1)=10,f(1)=0,即a2+a+b=9,2a+b=-3,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.经验证,当a=-3,b=3时,f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)20,故f(x)在R上单调递增,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.当a=4,b=-11时,符合题意,所以a+b=-7.6.0不存在解析 结合函数图像可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f(x)=3(x-1)20,所以f(x)=0无变号零点,所以函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.7.1,4不存在解析 根据函数的单调性及最值的定义可得.8.1,+)-1,+)解析 对任意实数x,不等式sin xa恒成立(sin x)maxa,即a1.存在实数x0,使不等式sin x0a成立(sin x)mina,即a-1.【课堂考点探究】例1思路点拨 先求h(x0)的值,并结合图像判断x=x0是否为h(x)的极大值点或极小值点.B解析 由题设有g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以h(x)=f(x)-f(x0),所以h(x0)=f(x0)-f(x0)=0.结合图像可知,当xx0时,有h(x)x0时,有h(x)0,h(x)为增函数,所以x=x0是h(x)的极小值点.故选B.例2思路点拨 先根据极值的定义求得a的值,再根据导数符号的变化规律确定极值.A解析 x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,f(1)=0,即a+11=0,a=-1,f(x)=-1+1x=-x+1x,当x1时,f(x)0,当0x0,因此f(x)有极大值f(1)=-1,故选A.例3思路点拨 函数f(x)有两个极值点,等价于f(x)=0有两个根,换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系及判别式建立不等式(组)求解即可.B解析 f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x,f(x)=2(a+1)e2x-2ex+a-1.f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,f(x)=0有两个根.设t=ex0,则关于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有两个正根,可得a-12(a+1)0,22(a+1)0,4-8(a-1)(a+1)0,解得1a0,所以函数f(x)在(-,c)与(e,+)上单调递增;在(c,e)上,f(x)f(a),错误;函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,错误,正确.故选A.2.D解析 f(x)的定义域是(0,+),f(x)=2x-ax=2x2-ax.因为f(x)在(0,+)上不存在极值点,所以2x2=a无正实数根,因为2x20,所以a0,故选D.3.D解析 f(x)=2ef(e)x-1e,f(e)=2ef(e)e-1e,f(e)=1e,f(x)=2ln x-xe,f(x)=2x-1e.由f(x)=0,得x=2e,f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故选D.4.B解析 f(x)=3x2-a.当a0时,f(x)0,f(x)无极值.当a0时,易得f(x)在x=-a3处取得极大值,则有f-a3=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,则g(x)=3x2+(m-3). 当m-30时,g(x)0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.当m-30时,易知g(x)在x=3-m3处取得极小值,依题意有-33-m32,g3-m3m-1,解得-90),则h(x)=1-lnx-1x2=-lnxx2,所以当0x0,h(x)单调递增,当x1时,h(x)0,a0),由f(x)=0,得x=12或x=1a.当a1时,1a1,因为x1,e,所以f(x)0,f(x)单调递增,f(x)min=f(1)=-2,符合题意;当1ea1时,11ae,因为x1,e,所以当x1,1a时,f(x)单调递减,当x1a,e时,f(x)单调递增,f(x)min=f1af(1)=-2,不合题意,舍去;当0a1e时,1ae,因为x1,e,所以f(x)单调递减,f(x)min=f(e)f(1)=-2,不合题意,舍去.综上,实数a的取值范围是1,+).变式题(1)B(2)A解析 (1)令f(x)=1-xx+ln x,则f(x)=-1x2+1x,可得函数f(x)在1e,1上单调递减,在1,e上单调递增,又f(e)=1e0,则g(x)在(-,+)上为增函数,又g(-1)=1e0,x-时,g(x)-,所以存在x0-1,使g(x0)=0,即ex0+ax0+a=0,所以f(x0)=0,所以函数f(x)在(-,x0)上为减函数,在(x0,+)上为增函数,则f(x)的最小值为f(x0)=x0ex0ex0+a=-1,即x0ex0=-ex0-a. 联立,可得x0=-2.把x0=-2代入,可得a=1e2,故选A.例5思路点拨 (1)设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则阴影部分的面积为矩形AO1O2B的面积减去三部分的面积,这三部分分别为梯形O1O2FE,扇形O1AE和扇形O2FB;(2)设AO1E=,0,2,将修建费用表示为的函数,即可利用导数求最小值.解:(1)如图所示,设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则ME=20米,O1M=203米.梯形O1O2FE的面积为12(120+80)203=20003(平方米),矩形AO1O2B的面积为12040=4800(平方米),易得AO1E=6,则扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为1261600=4003(平方米),故阴影部分的面积为4800-20003-8003平方米.(2)设AO1E=,0,2,则AE与BF的长都是40,EF=120-240sin =120-80sin ,所以修建费用f()=20080+400(120-80sin )=16 000(+3-2sin ),所以f()=16 000(1-2cos ).令f()=0,得=3,当变化时,f(),f()的变化情况如下表:0,333,2f()-0+f()极小值由上表可得,当=3,即AO1E=3时,f()有极小值,也为最小值.故当AO1E为3时,修建费用最低.变式题解:(1)若商品单价降低x元,则一个星期增加的销售量为kx2件,由已知条件得k22=24,解得k=6,则f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x0,21.(2)由(1)知f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).令f(x)=0,解得x=2或x=12. 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)-0+0-f(x)9072极小值极大值0当x=12时,f(x)取得极大值;当x=2时,f(x)取得极小值.f(0)=9072,f(12)=11 664,当x=12时,f(x)max=11 664,故定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.【备选理由】 例1主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数极值的个数;例2是已知极值点的个数求参数取值范围,并考查了化归与转化思想及计算能力,属于中档题;例3的两问都是利用导数解决函数的最值问题,而对于不等式恒成立问题要善于转化为函数的最值问题;例4为利用导数研究生活中的优化问题.例1配合例2使用 2018丹东二模 设f(x)=12x2-x+cos(1-x),则函数f(x)()A.有且仅有一个极小值B.有且仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值解析 A由f(x)=12x2-x+cos(1-x),得f(x)=x-1+sin(1-x).设g(x)=x-1+sin(1-x),则g(x)=1-cos(1-x)0,即g(x)为增函数,又g(1)=0,所以当x(-,1)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)单调递增.又f(1)=0,所以函数f(x)有且仅有一个极小值f(1).故选A.例2配合例3使用 若函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点,则实数a的取值范围是.答案 -12a0),f(x)=ln x+1+2ax.令g(x)=ln x+1+2ax,因为函数f(x)=ax2+xln x有两个极值点,所以g(x)=0在区间(0,+)上有两个不相等的实数根.g(x)=1x+2a=1+2axx,当a0时,g(x)0,则函数g(x)在区间(0,+)上单调递增,因此g(x)=0在区间(0,+)上不可能有两个不相等的实数根,应舍去.当a0,得0x-12a,此时函数g(x)单调递增;由g(x)-12a,此时函数g(x)单调递减. 所以当x=-12a时,函数g(x)取得极大值.要使g(x)=0在区间(0,+)上有两个不相等的实数根,则g-12a=ln-12a0,可得-12a0.故实数a的取值范围是-12a2时,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围;(2)当a0,1)时,函数g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x2)有最小值,设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.解:(1)因为f(x)=(x-4)ex-2+mx0对任意x(2,+)恒成立,所以x-4xex-2-m对任意x(2,+)恒成立.设(x)=x-4xex-2=1-4xex-2,则(x)=1-4x+4x2ex-2=(x-2)2x2ex-20,所以(x)在(2,+)上单调递增,所以(x)(2)=-1,则由题意得-m-1,即m1,所以实数m的取值范围为1,+).(2)对g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x2)求导,得g(x)=(x-4)ex-2+ax(x-2)3=x(x-4)ex-2x+a(x-2)3(x2).记F(x)=x-4xex-2+a(x2),由(1)知F(x)在区间(2,+)上单调递增,又F(2)=-1+a0,F(4)=a0,所以存在唯一正实数x0(2,4,使得F(x0)=x0-4x0ex0-2+a=0.所以当x(2,x0)时,F(x)0,g(x)0,g(x)0,函数g(x)在区间(x0,+)上单调递增.所以g(x)在(2,+)上有最小值g(x0)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2,由题设得h(a)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2.又因为-a=x0-4x0ex0-2,所以h(a)=1x0ex0-2.令u(x)=1xex-2(20,函数u(x)在区间(2,4上单调递增,所以u(2)u(x)u(4),即函数h(a)的值域为12,e24.例4配合例5使用 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解:(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=13622=24(m3),正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3). (2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h6,O1O=4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3),0h6,从而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).当0h0,V是增函数;当23h6时,V0,V是减函数.故当h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23 m时,仓库的容积最大.
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