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第14讲直线与圆1.(1)2015全国卷 一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.(2)2015全国卷 过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26B.8C.46D.10试做 命题角度圆的方程(1)解决圆的方程问题:关键一,通过研究圆的性质求出圆的基本量;关键二,设出圆的一般方程,用待定系数法求解.(2)圆的常用性质:圆心在过切点且垂直于切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.2.(1)2018全国卷 直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32(2)2016全国卷 已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.试做 命题角度直线与圆的位置关系关键一:求直线被圆所截得的弦长时,一般考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理求解;关键二:弦心距可利用点到直线的距离公式求解.小题1直线的方程及应用1(1)若直线mx+ny+3=0(m,nR)在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线3x-y=33的倾斜角的2倍,则()A.m=-3,n=1B.m=-3,n=-3C.m=3,n=-3D.m=3,n=1(2)如果直线l1:2x-y-1=0与直线l2:2x+(a+1)y+2=0平行,那么实数a的值是.听课笔记【考场点拨】高考中关于直线的易失分点:(1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑斜率存在的一般情况,也要考虑斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零;(2)求参数的值时,在计算结束后还要把参数的值代入两个直线方程,看两条直线是否重合.【自我检测】1.已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1l2,则实数a的值为()A.4B.-4C.4D.22.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则实数k的值为()A.-24B.24C.6D.63.已知点A(1,-2),B(m,2),线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-n=0,则实数m,n的值分别是()A.-2,2B.-7,3C.3,2D.1,-2小题2圆的方程及应用2(1)已知M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内的一点,则过点M最长的弦所在的直线方程是()A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0(2)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,已知圆C:(x+1)2+y2=2,点A(2,0),若圆C上存在点M,满足|MA|2+|MO|210,则点M的纵坐标的取值范围是.听课笔记 【考场点拨】高考中关于圆的常考点:(1)由圆心和半径可直接得到圆的标准方程;(2)过不在同一条直线上的三点可确定一个圆;(3)弦的垂直平分线一定过圆心.与圆上的点有关的问题常转化为与圆心有关的问题去处理.考查有关圆的知识时,有时也通过构建方程或不等式去解决.【自我检测】1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,3)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.x2+(y-3)2=1D.x2+(y+3)2=12.圆x2+y2-2x-4y+3=0的圆心到直线x-ay+1=0的距离为2,则实数a的值为()A.-1B.0C.1D.23.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点P(1,3),Q(-1,1),则POQ外接圆的半径为()A.102B.10C.52D.54.已知直线l:y=x+m,mR.若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,则该圆的方程为.小题3直线与圆、圆与圆的位置关系3(1)动直线l:x+my+2m-2=0(mR)与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0相交于A,B两点,则弦AB最短为()A.2B.25C.6D.42(2)已知两点A(a,0),B(-a,0)(a0),若圆x2+y2-23x-2y+3=0上存在点P,使得APB=90,则实数a的取值范围为()A.(0,3B.1,3C.2,3D.1,2听课笔记【考场点拨】高考常考的有关直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解题思路:(1)当直线与圆的位置关系问题中含有参数时,可以根据圆心到直线的距离或者判别式列出方程(不等式)去解决问题.(2)圆与圆的位置关系是比较复杂的位置关系,通常利用圆心距和两圆半径的差与和的关系去判断、求解.【自我检测】1.直线ax-y+3=0(aR)与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且|AB|=23,则a=()A.0B.3C.2D.32.已知圆O1的方程为x2+y2=1,圆O2的方程为(x+a)2+y2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么实数a的所有取值构成的集合是()A.1,-1,3,-3B.5,-5,3,-3C.1,-1D.3,-33.已知P为直线x+y-2=0上的点,过点P作圆O:x2+y2=1的切线,切点为M,N,若MPN=90,则这样的点P有()A.0个B.1个C.2个D.无数个4.直线y=ax+1(aR)与圆x2+y2+bx-y=1(bR)交于两点,且这两个交点关于直线x+y=0对称,则a+b=()A.5B.4C.3D.2模块五解析几何第14讲直线与圆 典型真题研析1.(1)x-322+y2=254(2)C解析(1)设圆心为(t,0)(t0),则半径为4-t,所以4+t2=(4-t)2,解得t=32,所以圆的标准方程为x-322+y2=254.(2)方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以MN=225-1=46.方法二:因为kAB=-13,kBC=3,所以kABkBC=-1,所以ABBC,所以ABC为直角三角形,所以ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=12AC=5,所以MN=225-1=46.方法三:由ABBC=0得ABBC,下同方法二.2.(1)A(2)4解析(1)由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为|2+0+2|2=22.设点P到直线AB的距离为d,圆(x-2)2+y2=2的半径为r,则d22-r,22+r,即d2,32,又ABP的面积SABP=12|AB|d=2d,所以ABP面积的取值范围是2,6.(2)直线l:m(x+3)+y-3=0过定点(-3,3),又|AB|=23,|3m-3|1+m22+(3)2=12,解得m=-33.直线l的方程中,当x=0时,y=23.又(-3,3),(0,23)两点都在圆上,直线l与圆的两交点为A(-3,3),B(0,23).设过点A(-3,3)且与直线l垂直的直线为3x+y+c1=0,将(-3,3)代入直线方程3x+y+c1=0,得c1=23.令y=0,得xC=-2,同理得过点B且与直线l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD=2,|CD|=4. 考点考法探究小题1例1 (1)D(2)-2解析(1)对于mx+ny+3=0(m,nR),令x=0得y=-3n,由题意得-3n=-3,n=1.直线3x-y=33的倾斜角为60,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线3x-y=33的2倍,直线mx+ny+3=0的倾斜角为120,即-mn=-3,m=3,故选D.(2)因为直线l1:2x-y-1=0与直线l2:2x+(a+1)y+2=0平行,所以2(a+1)=-2,-(a+1)-2,解得a=-2,故填-2.【自我检测】1.B解析直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,且l1l2,a2-16=0,且2(2-a)+a0,a=-4,故选B.2.A解析 设交点坐标为(a,0),由题意得2a-k=0,a+12=0,a=-12,k=-24,故选A.3.C解析线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-n=0,线段AB的中点在直线x+2y-n=0上,直线AB与直线x+2y-n=0互相垂直,1+m2+2-2+22-n=0,-2-21-m(-12)=-1,m=3,n=2,故选C.小题2例2(1)B(2)-72,72解析(1)由圆x2+y2-8x-2y+10=0,得其标准方程为(x-4)2+(y-1)2=7,所以已知圆的圆心坐标为(4,1),又M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内的一点,所以过点M最长的弦所在的直线为经过M与圆心的直线,直线方程为y-01-0=x-34-3,整理得x-y-3=0,故选B.(2)设点M(x,y),因为|MA|2+|MO|210,所以(x-2)2+y2+x2+y210,即x2+y2-2x-30.因为(x+1)2+y2=2,所以y2=2-(x+1)2,所以x2+2-(x+1)2-2x-30,化简得x-12.又点M在圆C上,所以x2-1,故-12x2-1.因为y2=2-(x+1)2,所以0y274,所以-72y72,故答案为-72,72.【自我检测】1.C解析 圆心在y轴上,半径为1,不妨设圆的方程为x2+(y-a)2=1(aR),因为圆过点(1,3),所以1+(3-a)2=1,解得a=3,所以圆的方程为x2+(y-3)2=1,故选C.2.B 解析 圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=2,即圆心为(1,2),所以圆心到直线x-ay+1=0的距离为|1-2a+1|1+a2=2,解得a=0,故选B.3.A解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由圆过O,P,Q 三点,得F=0,1+9+D+3E+F=0,1+1-D+E+F=0,解得D=-1,E=-3,F=0,所以圆的方程为x2+y2-x-3y=0,故半径r=(-1)2+(-3)2-402=102,故选A.4.(x-2)2+y2=8解析 由题意可设点P(0,m)(mR),易知直线MP的斜率为-1,即m-00-2=-1,得m=2,可得点P(0,2),所以圆的半径为|MP|=22,故圆的方程为(x-2)2+y2=8.小题3例3(1)D(2)B解析(1)直线l:x+my+2m-2=0(mR)即(x-2)+m(y+2)=0,则该直线过定点M(2,-2),可得M(2,-2)在圆C:x2+y2-2x+4y-4=0内,当MCAB时,AB最短,即|AB|取最小值.由x2+y2-2x+4y-4=0,可得(x-1)2+(y+2)2=9,C(1,-2),r=3,|MC|=1,|AB|min=29-1=42,故选D.(2)以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2.圆x2+y2-23x-2y+3=0上存在点P,使得APB=90,圆x2+y2=a2与圆(x-3)2+(y-1)2=1有公共点.|a-1|3+1a+1,解得1a3,故选B.【自我检测】1.A解析 圆的圆心为M(1,2),半径r=2.因为|AB|=23,所以圆心到直线的距离d=r2-(|AB|2)2=4-(3)2=1,所以|a-2+3|a2+1=1,即|a+1|=a2+1,平方得a2+2a+1=a2+1,解得a=0,故选A.2.A解析 当两圆外切或内切时,它们有且只有一个公共点,所以圆心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,所以a=1,-1,3,-3,故选A.3.B解析 连接OM,ON,则MPN=ONP=OMP=90,|OM|=|ON|,四边形OMPN为正方形,圆的半径为1,|OP|=2,易求得原点(圆心)O到直线x+y-2=0的距离为2,符合条件的点P只有一个,故选B.4.D解析 圆的方程x2+y2+bx-y=1可化为x+b22+y-122=b2+54,则圆心为-b2,12.因为两个交点关于直线x+y=0对称,所以圆心在直线x+y=0上,且直线y=ax+1与直线x+y=0垂直,所以-b2+12=0,a(-1)=-1,解得a=1,b=1,所以a+b=2,故选D.备选理由 例1为求解点关于直线的对称点问题,求解方法具有一般性.例2为直线与圆、圆与圆的位置关系的综合题,涉及点到直线的距离、弦长公式、圆与圆位置关系的判断等知识,知识点覆盖较多,综合性较强.例1配例1使用 点M(1,4)关于直线l:x-y+1=0对称的点M的坐标是.答案(3,2)解析 设M(1,4)关于直线x-y+1=0对称的点M的坐标为(m,n)(m,nR),则线段MM的中点坐标为1+m2,4+n2,n-4m-1=-1,1+m2-4+n2+1=0,m=3,n=2,故答案为(3,2).例2配例3使用 已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离解析B圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2(a0),则圆心M(0,a),半径R=a,圆心M到直线x+y=0的距离d=a2.圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,2R2-d2=2a2-a22=22,解得a=2,则圆心M(0,2),半径R=2.圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1,1),半径r=1,|MN|=(0-1)2+(2-1)2=2,又R+r=3,R-r=1,R-r|MN|R+r,即两个圆相交,故选B.
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