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一二维形式的柯西不等式学习目标1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值知识点二维形式的柯西不等式思考1(a2b2)(c2d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2b2)(c2d2)与(acbd)2的大小关系又如何？答案(a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考2当且仅当ab且cd时，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么条件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?答案当且仅当adbc时，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考3若向量(a，b)，向量(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？答案|acbd|.梳理(1)二维形式的柯西不等式定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立二维形式的柯西不等式的推论：|acbd|(a，b，c，dR)；|ac|bd|(a，b，c，dR)(2)柯西不等式的向量形式定理2：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)二维形式的三角不等式定理3：(x1，y1，x2，y2R)当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据P1P2P3的边长关系有|P1P3|P2P3|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立类型一利用柯西不等式证明不等式例1已知a1，a2，b1，b2R，求证：(a1b1a2b2)(a1a2)2.证明a1，a2，b1，b2R，(a1b1a2b2)2(a1a2)2.(a1b1a2b2)(a1a2)2.反思与感悟利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法跟踪训练1已知为锐角，a，bR，求证：(ab)2.证明(cos2sin2)2(ab)2，(ab)2.例2若实数x，y，z满足x24y2z23，求证：|x2yz|3.证明因为x24y2z23，所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2.整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.反思与感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件(2)此类题也可以用三角不等式，把ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可跟踪训练2设a，b，c为正数，求证：(abc)证明由柯西不等式知，ab，即ab，同理，bc，ac.将上面三个同向不等式相加，得()2(abc)，(abc)类型二利用柯西不等式求最值例3若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2，当且仅当时等号成立，点(x，y)为所求最小值点，解方程组得因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.反思与感悟利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一跟踪训练3已知a，bR，且9a24b218，求3a2b的最值解由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2，9a24b218，36(3a2b)2.|3a2b|6.当即或时等号成立当a1，b时，3a2b有最大值6.当a1，b时，3a2b有最小值6.1已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为()A4B2C8D9答案B解析(a2b2)(3222)(3a2b)2，当且仅当3b2a时取等号，所以(3a2b)2413.所以3a2b的最大值为2.2已知a0，b0，且ab2，则()AabBabCa2b22Da2b23答案C解析(a2b2)(1212)(ab)24，a2b22.3设xy0，则的最小值为_答案9解析(12)29，当且仅当xy，即xy时，取等号最小值为9.4设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_答案解析(a2b2)(m2n2)(manb)225，m2n25.当且仅当anbm时取等号5已知a2b21，求证：|acosbsin|1.证明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acosbsin)2，|acosbsin|1.1利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试2柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号成立的条件是adbc，可以把a，b，c，d看成等比，则adbc来联想记忆一、选择题1已知a，bR且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQBPQCPQDPQ答案A解析设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n|，(axby)2ax2by2.即PQ.2若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2B2，2C，D(，)答案A解析(a2b2)12(1)2(ab)2，a2b210，(ab)220.2ab2.3函数y2的最大值是()A.B.C3D5答案B解析根据柯西不等式知，y12(当且仅当x时取等号)4若3x22y21，则3x2y的取值范围是()A0， B，0C， D5,5答案C解析(3x2y)25(3x22y2)5，3x2y.5已知a，b，c，d，m，nR，P，Q，则P与Q的大小关系为()APQBPQCPQDPQ答案A解析PQ.PQ.6已知a，b0，且ab1，则()2的最大值是()A2B.C6D12答案D解析()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即ab时等号成立二、填空题7设实数x，y满足3x22y26，则P2xy的最大值为_答案解析由柯西不等式，得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611，所以2xy.8设x，yR，则(xy)的最小值是_答案52解析(xy)2()252，当且仅当时，等号成立9已知x0，y0，且1，则2xy的最小值为_答案32解析2xy(2xy)()2()2232，当且仅当时，等号成立，又1，则此时10已知函数f(x)34，则函数f(x)的最大值为_答案5解析由柯西不等式知，(34)2(3242)()2()225.当且仅当34时，等号成立，因此f(x)5.11函数f(x)3cosx4的最大值为_答案5解析设m(3,4)，n(cosx，)，则f(x)3cosx4mn|m|n|5.当且仅当mn时，上式取“”此时，34cosx0.解得sinx，cosx.故当sinx，cosx时f(x)3cosx4取得最大值5.12已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4则的最大值为_答案4解析由|xa|b，得baxba，则解得a3，b1.又24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.三、解答题13设a，bR，且ab2.求证：2.证明根据柯西不等式，有(2a)(2b)()2()22(ab)24.2.原不等式成立四、探究与拓展14若ab1，则22的最小值为()A1B2C.D.答案C解析22a22b22.ab1，a2b2(a2b2)(11)(ab)2.又8，以上两个不等式都是当且仅当ab时，等号成立22228，当且仅当ab时等号成立15已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.证明由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式，可得(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x1x2，当且仅当，即x1x2时取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.
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