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专题突破三离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例1已知双曲线两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_思维切入双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可考点题点答案2或解析由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30，如图2所示所以双曲线的一条渐近线的斜率k或k，即或.又b2c2a2，所以3或，所以e24或，所以e2或.同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有或，所以或，亦可得到e或2.综上可得，双曲线的离心率为2或.点评双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助进行互求一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论跟踪训练1中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A.B.C.D.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析由题意知，过点(4，2)的渐近线的方程为yx，24，a2b.方法一设bk(k0)，则a2k，ck，e.方法二e211，故e.二、以焦点三角形为指向求离心率例2如图，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_思维切入连接AF1，在F1AF2中利用双曲线的定义可求解考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案1解析方法一如图，连接AF1，由F2AB是等边三角形，知AF2F130.易知AF1F2为直角三角形，则|AF1|F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，从而双曲线的离心率e1.方法二如图，连接AF1，易得F1AF290，F1F2A30，F2F1A60，于是离心率e1.点评涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值跟踪训练2椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_考点题点答案1解析方法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|OF2|c，|NF1|c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，a，e1.方法二注意到焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，则由离心率的三角形式，可得e1.三、寻求齐次方程求离心率例3已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_思维切入通过2|AB|3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2c2a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案2解析如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)点评求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2a2b2，化简为参数a，c的关系式进行求解跟踪训练3已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c的齐次关系式得离心率答案解析在ABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因为0e0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_思维切入画图，通过图像找出直线l与双曲线渐近线斜率的关系，利用e求解考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案2，)解析由题意知，即23，e2，故离心率e的取值范围是2，)点评(1)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到的范围，再利用e得到离心率的取值范围(2)当直线与双曲线有两个公共点时，可联立方程组应用判别式0，从而可得的范围，再利用e即可得离心率的取值范围跟踪训练4设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.B(，)C.D.(，)考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1a20a21，且此时4a2(2a2)0a2b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_思维切入答案(1,1)解析在PF1F2中，由正弦定理知，因为，所以，即|PF1|e|PF2|.又因为点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a.将代入得|PF2|，又ac|PF2|ac，同除以a得，1e1e，又0e1，解得1e0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.B.C2D.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案B解析P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，|PF1|4|PF2|，4|PF2|PF2|2a，即|PF2|a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|aca，ac，又e1，10，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是()A.B3C2D4考点题点答案C解析不妨设双曲线的一条渐近线的方程为yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以双曲线的离心率e2.2若双曲线1(a0，b0)与直线y2x无交点，则离心率e的取值范围是()A(1,2) B(1,2 C(1，) D(1，考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案D解析由题意可得，双曲线渐近线的斜率2，所以e.又e1，所以离心率e的取值范围是(1，3.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.1B2C.D.考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案A解析过F1的直线MF1是圆F2的切线，F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|MF1|c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，椭圆离心率e1.4已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，)考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围答案B解析由题设条件可知ABF2为等腰三角形，且AF2BF2，只要AF2B为钝角即可由题设可得AF1，所以有2c，即2ac0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_考点题点答案2解析由双曲线的对称性，不妨设直线方程为y(xc)由得x.由2a，e，解得e2(e2舍去)6已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为_考点题点答案解析因为|MF2|7|MF1|，所以|MF2|MF1|6|MF1|，即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，即e，当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立故此双曲线离心率的最大值为.7已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2y2b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则的最小值是_考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案解析如图，连接PF1，OQ，由OQ为PF1F2的中位线，可得OQPF1，|OQ|PF1|.由圆x2y2b2，可得|OQ|b，则|PF1|2b.由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a，即|PF2|2a2b.又OQPF2，所以PF1PF2，即(2b)2(2a2b)2(2c)2，即b2a22abb2c2a2b2，化简得2a3b，即ba.ca，则e.2，当且仅当a，即a时等号成立，所以的最小值为.
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