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第11章 算法复数推理与证明 第3讲A组基础关1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析向量的数量积满足交换律，正确；向量的数量积满足分配律，正确；向量的数量积不满足结合律，不正确；向量的数量积不满足消去律，不正确；由向量的数量积公式，可知不正确；向量的数量积不满足消去律，不正确；综上知，正确的个数为2个，故B正确2在用演绎推理证明通项公式为ancqn(cq0)的数列an是等比数列的过程中，大前提是()AancqnB.q(n2)C若数列an满足(nN*)是常数，则an是等比数列D若数列an满足(n2)是常数，则an是等比数列答案C解析证明一个数列是等比数列的依据是等比数列的定义，其公式表示为(nN*)或(n2)是常数3(2018江西南昌模拟)已知13232,1323332,132333432，若13233343n33025，则n()A8 B9 C10 D11答案C解析观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令23025，则55，n10或n11(舍去)4.(2018山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式d，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x2y2z30的距离为()A3 B5 C. D3答案B解析利用类比的方法，在空间中，点(x0，y0，z0)到直线AxByCzD0的距离d，所以点(2,4,1)到平面x2y2z30的距离d5.5将自然数0,1,2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2017到2019的箭头方向是()答案B解析看作一个循环体，又因为20165044.所以从2017到2019的箭头方向是.6(2018安徽江淮十校三联)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定x2，则1()A. B. C. D.答案C解析1x，即1x，即x2x10，解得x，故1，故选C.7(2018陕西一模)设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知，四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于()A. B.C. D.答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为VV四面体SABC(S1S2S3S4)R，所以R.故选C.8(2018湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V8r3，则其四维测度W_.答案2r4解析在二维空间中，圆的二维测度(面积)Sr2，则其导数S2r，即为圆的一维测度(周长)l2r；在三维空间中，球的三维测度(体积)Vr3，则其导数V4r2，即为球的二维测度(表面积)S4r2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V8r3，则其四维测度W2r4.9(2018重庆调研)甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是_读的第一本书答案丙解析因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书10已知点A(x1，ax1)，B(x2，a x2)是函数yax的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数ysinx(x(0，)图象上任意不同的两点，则类似地有_成立答案sin解析由题意知，点A，B是函数yax的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有成立；而函数ysinx(x(0，)，其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论1，nN*)，若fm(x)(mN*)，则m()A9 B10 C11 D126答案B解析由题意可得f2(x)f1f1(x)f1，同理可得，f3(x)，f4(x)，f5(x)，fn(x)，由fm(x)(mN*)恒成立，可得2m225628，即有m28，即m10.3已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)，试归纳猜想出Sn的表达式为()ASn BSnCSn DSn答案A解析Snn2ann2(SnSn1)，SnSn1，又S1a11，则S2，S3，S4.猜想得Sn，故选A.4(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩答案D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D.5(2018黑龙江检测)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则_成等比数列答案T4，解析设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，故T4，成等比数列6如图，平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有(其中SPAB，SPCD分别为PAB，PCD的面积)；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有_(其中VPABE，VPCDF分别为四面体PABE，PCDF的体积)答案解析设PM与平面PDF所成的角为，则A到平面PDF的距离h1PAsin，C到平面PDF的距离h2PCsin，VPABEVAPBESPBEh1，VPCDFVCPDFSPDFh2，.7如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是_答案341解析边长为1,2,3，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,28,38，108，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(82838108)(3928272621)440341，故所求总数为341.8如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，1)处标2，点(0，1)处标3，点(1，1)处标4，点(1,0)处标5，点(1，1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为20192的格点的坐标为_答案(1010,1009)解析观察已知图形可知，点(1,0)处标1，即12，点(2,1)处标9，即32，点(3,2)处标25，即52，由此推断，点(n1，n)处标(2n1)2.当2n12019时，n1009，故标签为20192的格点的坐标为(1010,1009)
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