2018-2019版高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 一 比较法学案 新人教A版选修4-5.docx

一比较法学习目标1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法知识点一作差比较法思考比差法的理论依据是什么？答案abab0；abab0；abab0.梳理作差比较法(1)作差比较法的理论依据：ab0ab；ab0ab；ab0ab.(2)作差比较法解题的一般步骤：作差；变形整理；判定符号；得出结论其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与0的大小关系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等知识点二作商比较法思考1对于两个正数a，b，若1，能够判断a，b的大小吗？答案能，根据不等式的性质知，对于正数a，b，1ab.思考2类比作差比较法，请谈谈作商比较法答案对于正数a，b，1ab；1ab；1ab.梳理(1)作商比较法：若a0，b0，要证明ab，只要证明1；要证明ba，只要证明1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：b0，若1，则ab；若1，则ab；b0，若1，则ab；若1，则ab.(3)作商比较法解题的一般步骤：判定a，b符号；作商；变形整理；判定与1的大小关系；得出结论.类型一作差比较法证明不等式例1已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2.证明因为正数a，b，c成等比数列，所以b2ac，b，又(a2b2c2)(abc)2a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc2ab4b22bc2b(a2bc)2b()20，所以a2b2c2(abc)2.反思与感悟作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小跟踪训练1已知a1，求证：.证明()()0，.类型二作商比较法证明不等式例2已知a0，b0，求证：aabb.证明因为aabb0，0，所以.当ab时，显然有1；当ab0时，1，0，所以由指数函数的单调性可知，1；当ba0时，01，0，所以由指数函数的单调性可知，1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb.引申探究1若a0，b0，求证：abba.证明因为abba0，0，所以所以当ab时，显然有当ab0时，1，0，由指数函数的单调性，可得01；当ba0时，01，0，由指数函数的单调性，可得01，综上可知，对任意a0，b0，都有abba.2当a0，b0时，比较aabb与abba的大小解由例2和探究1知，aabbabba.反思与感悟作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商(2)变形：化简商式到最简形式(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论跟踪训练2已知a0，b0，求证：.证明.又a2b22ab，1，当且仅当ab0时取等号，.类型三比较法的应用例3证明：若a，b，m都是正数，并且ab，则(糖水不等式)证明.a，b，m都是正数，且ab，ba0，b(bm)0，0，即0，.反思与感悟比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛跟踪训练3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？解设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有mns，t2.t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20，即t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点1已知不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)；a2b22(ab1)其中正确的个数为()A0B1C2D3答案C解析x232x(x1)220，故正确；取ab1，则a5b52，a3b2a2b32，故不正确；a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，故正确2.1成立的充要条件是()Aa1Ba0Ca0Da1或a0答案D解析1100a0或a1.3若x，yR，记wx23xy，u4xyy2，则()AwuBwuCwuD无法确定答案C解析wux2xyy220，wu.4a，b都是正数，P，Q，则P，Q的大小关系是()APQBPQCPQDPQ答案D解析a，b都是正数，P0，Q0，P2Q22()20.(当且仅当ab时取等号)P2Q20，PQ.5设ab0，求证：.证明方法一0(ab0)，原不等式成立方法二ab0，a2b20.左边0，右边0.11.原不等式成立1作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号2适用作商比较法证明的不等式的特点适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较一、选择题1设a，bR，且ab，若P，Qab，则()APQBPQCPQDPQ答案B解析PQab.因为a，bR，且ab，所以PQ0.2已知ab1，则与的大小关系为()A.B.C.D.答案B解析0，.3已知ab0，cd0，m，n，则m与n的大小关系是()AmnBmnCmnDmn答案C解析m2n2(ac2bd)(acbdadbc)ad2bc()20，m2n2.又m0，n0，mn.4当ab0时，下列关系式中成立的是()A.Blgb2lga2C.1D.答案B解析方法一取特殊值a4，b1，则选项A，C，D不正确，选项B正确，故选B.方法二ab0，a2b2.而函数ylgx(x0)为增函数，lgb2lga2，B项正确5已知a0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P，Q的大小关系是()APQBPQCPQD大小不确定答案A解析PQloga(a31)loga(a21)loga.当0a1时，0a31a21，则01，loga0，即PQ0.PQ.当a1时，a31a210，1，loga0，即PQ0.PQ.综上可知，PQ.6已知ab0且ab1，设c，Plogca，Nlogcb，Mlogc(ab)，则()APMNBMPNCNPMDPNM答案A解析令a2，b，则c，则Mlogc(ab)0，Plog20，Nlog0，PMN.二、填空题7设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系为_答案xyz解析abc0，x0，y0，z0.而x2y2a2b22bcc2(b2c22aca2)2bc2ac2c(ba)0，x2y2，即xy；又y2z2b2(ca)2c2(ab)22ac2ab2a(cb)0，yz.xyz.8已知a0,0b1，abab，则与的大小关系是_答案解析a0,0b1，abab，(1a)(1b)1abab1.从而1，.9某家电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电进行降价销售，现有四种降价方案：(1)先降价a%，再降价b%；(2)先降价b%，再降价a%；(3)先降价%，再降价%；(4)一次性降价(ab)%.其中a0，b0，且ab，则上述四种方案中，降价幅度最小的是_答案方案(3)解析设降价前彩电的价格为1，按四种方案降价后彩电的价格依次为x1，x2，x3，x4，则x1(1a%)(1b%)1(ab)%a%b%；x2(1b%)(1a%)x1；x31(ab)%2；x41(ab)%1(ab)%a%b%x1x2.又x3x12a%b%0，x3x1x2x4.故降价幅度最小的是方案(3)三、解答题10设a，b为非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5当ab时，从而()5()5，则()()5()50；当ab时，从而()5()5，则()()5()50，所以a3b3(a2b2)11已知b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，求证：.证明.因为b0，m10，m20，所以(bm1)(bm2)0.又ab，m1m2，所以ab0，m2m10，从而(ab)(m2m1)0.于是0，所以.12已知函数f(x)|x1|x1|，P为不等式f(x)4的解集(1)求P；(2)证明：当m，nP时，|mn4|2|mn|.(1)解f(x)|x1|x1|由f(x)4，得x2或x2.所以不等式f(x)4的解集Px|x2或x2(2)证明由(1)可知|m|2，|n|2，所以m24，n24，(mn4)24(mn)2(m24)(n24)0，所以(mn4)24(mn)2，所以|mn4|2|mn|.13若实数x，y，m满足|xm|ym|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2bab2比a3b3接近2ab.证明因为a0，b0，且ab，所以a2bab22ab，a3b32ab.所以a2bab22ab0，a3b32ab0.所以|a2bab22ab|a3b32ab|a2bab22aba3b32aba2bab2a3b3a2(ba)b2(ab)(ab)(b2a2)(ab)2(ab)0，所以|a2bab22ab|a3b32ab|，所以a2bab2比a3b3接近2ab.四、探究与拓展14已知a2，求证：loga(a1)log(a1)a.证明a2，a11，loga(a1)0，log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)22.a2，0loga(a21)logaa22.221.即1.log(a1)a0，loga(a1)log(a1)a.