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专题05 三角函数与解三角形的综合应用知识必备一、三角函数、解三角形、三角恒等变换的综合及其应用1三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数 （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定【注】函数，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.2三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(x)t或y=Acos(x)t的形式（2）利用公式求周期（3）根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x)t或y=Acos(x)t的单调区间3三角恒等变换与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=x1x2y1y2，abx1y2=x2y1，abx1x2y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.4三角恒等变换与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在内角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.5三角形中的综合问题（1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.（2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.（3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.6三角函数图象、性质与其他知识的综合问题常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y=Asin(x)B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解二、解三角形的实际应用1测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)（3）方向角相对于某一正方向的水平角.北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏西等其他方向角类似（4）坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比2解三角形实际应用题的步骤核心考点考点一 三角函数、解三角形、三角恒等变换的综合及其应用【例1】（三种三角函数间的综合）已知函数和函数在区间上的图象交于，三点，则的面积是A BC D【答案】C【例2】（三角函数性质的综合）已知函数的最小正周期为，的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则的最大值为A BC1 D2【答案】A【解析】因为函数的最小正周期为，所以，且其图象向左平移个单位后得到的为偶函数，则，又因为，所以，则.故选A【例3】（三角函数型图象问题）函数的图象大致为A BC D【答案】C 【解析】为偶函数，则图象关于轴对称，排除A、D，把代入得，故图象过点，C选项适合，故选C【例4】（三角函数与平面几何的综合）已知函数（1）若，把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位后得到函数的图象，求在区间上的值域；（2）若函数的图象上有如图所示的三点，且满足，求的值【解析】（2）由图知点是函数图象的最高点，设，函数的最小正周期为，则，所以，因为，所以，解得，故【例5】（三角函数与解三角形的综合）已知.（1）求函数的单调递增区间；（2）中，角的对边分别为，若，且，的面积，求.【解析】（1）. 由（），解得（）.故函数的单调递增区间为（）.（2）由，即，得. 所以（），解得（）. 因为，所以.由已知的面积，解得. 由余弦定理可得. 所以. 【例6】（三角恒等变换与解三角形的综合）已知中，分别为角所对的边，且，则的面积为A B C D【答案】C 【名师点睛】本题主要考查两角和的正切公式的变形和应用，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形面积的求法.本题主要条件是，这是两角和的正切公式的变形，由此可得到的弧度数，再利用余弦定理联立，可求得各边的长度，进而求得面积的值.考点二 三角与其他问题的综合【例7】（解三角形与向量的综合）已知在中，角的对边分别为，向量，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【解析】（1）由已知得，由倍角公式和降幂公式得（2）由余弦定理得解得或当时，；当时，综上所述，或备考指南三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余这定理与向量有着密切的联系，解三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标,要求根据向量的关系解答相关的问题.【例8】（三角函数与向量、函数与方程的综合）已知向量，设函数（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.【解析】.（2）由（1）知，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减又，当或时有且只有一个零点即或，所以满足条件的备考指南（1）在解决已知三角函数的图象关于某条直线（或某点）对称的问题时，常用的解决方法是将横坐标代入原式中，让其等于正弦函数的对称轴（或对称中心），即（或），再解出参数即可；（2）在解决已知函数的零点个数求参数，或者讨论函数的零点个数问题时，常用分离参数的方法，将问题转化为，画出的图象，通过对直线进行上下平移，从而得到参数的取值范围或零点个数的不同情况.【例9】（三角函数与导数的综合）已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A BC D【答案】A【解析】令，由对任意的满足可得，所以函数在上为增函数，所以，即，所以，故选A考点三 平面几何中的解三角形问题【例10】ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.（1）求B的大小；（2）若,且AC边上的中线长为,求ABC的面积.【解析】（1）由ABC中可得,因为,所以,即,即,因为,所以,.（2）由得, ,在ABC中, ,取中点,连接.因为,所以在CBD中,=,所以,把代入,化简得,解得,或（舍去）,所以.所以ABC的面积.备考指南几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.考点四 三角函数的应用问题【例11】（解三角形的应用）某观察站与两灯塔，的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站北偏西，灯塔在观察站北偏东，则两灯塔，间的距离为A米B米C米D米【答案】C 【解析】依题意，作出示意图（图略），因为，所以由余弦定理可得：，故选C【例12】（三角函数、解三角形的应用）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.【解析】（1）由图得：，又，公共绿地的面积.（2）由图得：且，在中，由正弦定理可得:，记，又，时，取最大，最短，则此时.备考指南解答三角函数实际应用问题的一般步骤1阅读理解材料:三角函数应用题的语言形式多为文字语言、图形语言、符号语言并用.阅读理解时要读懂题目所反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,把题目中出现的边角关系和三角形联系起来,确定以什么样的三角形(直角三角形、斜三角形)为模型,用哪些定理(勾股定理、正弦定理、余弦定理)或边角关系,列出等量或不等量关系2建立变量关系:根据上面的分析,把实际问题抽象成数学习题,建立变量关系,这一步一般是通过解直角三角形或解斜三角形实现的,要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方法.3讨论变量性质:根据(2)中建立的变量关系,结合题目的要求,与学过的数学模型的性质对照,讨论变量的有关性质,从而得到所求问题的理论值.4作出结论:根据(3)中得到的理论值,按题目要求作出相应的结论.能力突破1已知命题：函数图象的一条对称轴是；命题，则下列命题中的真命题为A BC D【答案】B2已知函数（且）和函数，若与两图象只有3个交点，则的取值范围是A B C D【答案】D【解析】作出函数与的图象如图所示，当时，与两图象只有3个交点，可得，当时，与两图象只有3个交点，可得，所以的取值范围是，故选D3存在实数，使得圆面恰好覆盖函数图象的最高点或最低点共三个，则正数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，知函数图象的最高点或最低一定在直线上，则由，得又由题意，得，解得正数的取值范围为4在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，已知，（1）求的值；（2）设D为AC的中点，若BD的长为，求ABC的面积 【解析】（1）由得，即，故，从而，与都是锐角，则. ，即. (2)由（1），得， 设，在中，由余弦定理得，解得，则.5已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式，并写出的最小正周期；（2）令，若在内，方程有且仅有两解，求的取值范围.【解析】（1）由图象可知：，又，.又点在图象上，又，.，最小正周期.（2），原方程可化为，则.，令，则，作出及的图象，当或时，两图象在内有且仅有一解，即方程在内有且仅有两解，此时的取值范围为.高考通关1（2018新课标理）函数在的零点个数为_【答案】【解析】，由题可知，或，解得,或，故有3个零点.2（2017浙江）已知ABC，AB=AC=4，BC=2点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_【答案】【解析】取BC中点E，由题意：，ABE中，解得或（舍去）综上可得，BCD的面积为，3（2017江苏）已知向量（1）若ab，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值【解析】（1）因为，ab，所以若，则，与矛盾，故于是又，所以4（2018新课标理）在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.5（2018北京理）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（1）求A；（2）求AC边上的高【解析】（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为你都掌握了吗？ 有哪些问题？整理一下！
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