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第14讲直线与圆1.(1)2015全国卷一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.(2)2015全国卷过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26B.8C.46D.10试做命题角度圆的方程(1)解决圆的方程问题,关键一:通过研究圆的性质求出圆的基本量.关键二:设出圆的一般方程,用待定系数法求解.(2)圆的常用性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.2.(1)2018全国卷直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32(2)2016全国卷已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.试做命题角度直线与圆的问题关键一:求直线被圆所截得的弦长时,一般考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理求解.关键二:弦心距可利用点到直线的距离公式求解.小题1直线的方程及应用1 (1)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且直线ax+by+1=0在y轴上的截距为13,则a+b的值为 ()A.-7B.-1C.1D.7(2)过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+2a-1=0交于点P(异于M,N),则|PM|PN|的最大值为 ()A.4B.3C.2D.1听课笔记 【考场点拨】(1)求直线方程主要有直接法和待定系数法.直接法是选择适当的形式,直接求出直线方程.待定系数法是由条件建立含参数的方程,再据条件代入求参数得方程.(2)平行与垂直位置关系问题主要依据:已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),若l1l2,则A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10或A1C2-A2C10;若l1l2,则A1A2+B1B2=0.【自我检测】1.命题“m=-2”是命题“直线2x+my-2m+4=0与直线mx+2y-m+2=0平行”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知直线l的斜率为3,在y轴上的截距为直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为 ()A.y=3x+2B.y=3x-2C.y=3x+12D.y=-3x+23.已知直线l经过直线l1:x+y=2与l2:2x-y=1的交点,且直线l的斜率为-23,则直线l的方程是 ()A.-3x+2y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y+1=04.设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根,0c18,则这两条直线间的距离的最大值为 ()A.24B.22C.12D.2小题2圆的方程及应用2 (1)已知一圆的圆心为A(2,-3),圆的某一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52(2)已知A(-3,0),B(0,4),点C在圆(x-m)2+y2=1上运动,若ABC的面积的最小值为52,则实数m的值为()A.12或112B.-112或12C.-12或112D.-112或-12听课笔记 【考场点拨】(1)由圆心和半径可直接得圆的标准方程;(2)过不在同一条直线上的三点可确定一个圆;(3)弦的垂直平分线一定过圆心;(4)与圆上的点有关的问题常转化为圆心的有关问题去处理.【自我检测】1.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0和2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为 ()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=52.若直线ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.103.已知两点A(-m,0)和B(2+m,0)(m0),若在直线l:x+3y-9=0上存在点P,使得PAPB,则实数m的取值范围是 ()A.(0,3)B.(0,4)C.3,+)D.4,+)4.若方程x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0 表示圆,则m的取值范围是.小题3直线与圆的位置关系3 (1)已知圆C:x2+y2=1,点P为直线x+2y-4=0上一动点,过点P向圆C引两条切线分别为PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点 ()A.12,14B.14,12C.34,0D.0,34(2)已知直线3x-4y+m=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,C为圆外一点,若四边形OACB是平行四边形,则实数m的取值范围为.听课笔记 【考场点拨】直线与圆的问题:(1)解决直线与圆的位置关系问题主要是利用几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断;(2)弦长问题,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;(3)经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.【自我检测】1.已知ABC的三边长为a,b,c,直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离,则ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上情况都有可能2.已知直线4x-3y+a=0与圆C:x2+y2+4x=0相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则实数a的值为 ()A.3B.10C.11或21D.3或133.已知圆O:x2+y2=r2(r0)及圆上的点A(-r,0),过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,若|AB|=2|BC|,则直线l的斜率为.4.点P(x,y)是直线l:kx+y+3=0上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-4y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则k的值为.模块五解析几何第14讲直线与圆典型真题研析1.(1)x-322+y2=254(2)C解析 (1)设圆心为(t,0)(t0),则半径为4-t,所以4+t2=(4-t)2,解得t=32,所以圆的标准方程为x-322+y2=254.(2)方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以MN=225-1=46.方法二:因为kAB=-13,kBC=3,所以kABkBC=-1,所以ABBC,所以ABC为直角三角形,所以ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=12AC=5,所以MN=225-1=46.方法三:由ABBC=0得ABBC,下同方法二.2.(1)A(2)4解析 (1)由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为|2+0+2|2=22.设点P到直线AB的距离为d,圆(x-2)2+y2=2的半径为r,则d22-r,22+r,即d2,32,又ABP的面积SABP=12|AB|d=2d,所以ABP面积的取值范围是2,6.(2)直线l:m(x+3)+y-3=0过定点(-3,3),又|AB|=23,|3m-3|1+m22+(3)2=12,解得m=-33.直线方程中,当x=0时,y=23.又(-3,3),(0,23)两点都在圆上,直线l与圆的两交点为A(-3,3),B(0,23).设过点A(-3,3)且与直线l垂直的直线为3x+y+c1=0,将(-3,3)代入直线方程3x+y+c1=0,得c1=23.令y=0,得xC=-2,同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD=2,|CD|=4.考点考法探究小题1例1(1)A(2)D解析 (1)因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以3a=4b,又因为直线ax+by+1=0在y轴上的截距为13,所以13b+1=0,解得b=-3,所以a=-4,所以a+b=-7,故选A.(2)由题意可知,M(0,1).x-ay+2a-1=0,即x-1+a(2-y)=0,则N(1,2).过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+2a-1=0始终垂直,P又是两条直线的交点,PMPN,|PM|2+|PN|2=|MN|2=2.故|PM|PN|PM|2+|PN|22=1,当且仅当|PM|=|PN|=1时取等号.【自我检测】1.C解析 当两直线平行时,m2=4,m=2,若m=2,则两直线均为x+y=0;若m=-2,则两直线分别为x-y+4=0,x-y-2=0.所以“m=-2”是“直线2x+my-2m+4=0与直线mx+2y-m+2=0平行”的充要条件,故选C.2.A解析 直线x-2y-4=0的斜率为12,直线l在y轴上的截距为2,直线l的方程为y=3x+2,故选A.3.C解析 解方程组x+y=2,2x-y=1,得x=1,y=1,所以两直线的交点为(1,1).因为直线l的斜率为-23,所以直线l的方程为y-1=-23(x-1),即2x+3y-5=0.故选C.4.B解析 因为a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,所以a+b=-1,ab=c.两条直线间的距离d=|a-b|2,所以d2=(a+b)2-4ab2=1-4c2.因为0c18,所以121-4c1,即d214,12,所以两条直线间的距离的最大值为22,故选B.小题2例2(1)A(2)D解析 (1)设该直径的两个端点分别为P(a,0),Q(0,b),则A(2,-3)是线段PQ的中点,所以P(4,0),Q(0,-6),圆的半径r=|PA|=(4-2)2+32=13.故圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.故选A.(2)直线AB:x-3+y4=1,即4x-3y+12=0,若ABC的面积最小,则点C到直线AB的距离d最小,易知dmin=|4m+12|5-1,又ABC的面积的最小值为52,125|4m+12|5-1=52,即|4m+12|=10,解得m=-112或-12.故选D.【自我检测】1.A解析 由题易知,圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入上式可得a=1,即圆心为(1,1),半径r=|2-1+4|5=5,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.2.B解析 由直线ax+by+1=0始终平分圆M,知直线ax+by+1=0必过圆M的圆心,由圆的方程可得圆心为M(-2,-1),代入ax+by+1=0中,可得2a+b-1=0.(a-2)2+(b-2)2表示点(2,2)与点(a,b)之间的距离的平方.点(2,2)到直线2a+b-1=0的距离d=|22+21-1|5=5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5,故选B.3.C解析 以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+y2=(1+m)2.若在直线l:x+3y-9=0上存在点P,使得PAPB,则直线l与圆有公共点,所以|1-9|21+m,解得m3.故选C.4.(-,6)解析 方程x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0,即(x-4)2+(y+m)2=6-m,由方程表示圆,可得6-m0,解得m6,故m的取值范围为(-,6).小题3例3(1)B(2)(-10,-5)(5,10)解析 (1)设P(4-2m,m).PA,PB是圆C的切线,A,B为切点,CAPA,CBPB,AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦.易知以PC为直径的圆的方程为x-(2-m)2+y-m22=(2-m)2+m24,圆C的方程为x2+y2=1,-得直线AB的方程为2(2-m)x+my=1,即4x-14+m(y-2x)=0,直线AB恒过定点14,12,故选B.(2)如图所示,四边形OACB是平行四边形,且OA=OB,平行四边形OACB是菱形,OCAB.设OC,AB相交于点E,则|AE|=|BE|,|OE|=|CE|.圆心O到直线3x-4y+m=0的距离为|OE|=|m|32+(-4)2=|m|5,|OC|=2|m|5.点C在圆外,点E在圆内,1|m|52,解得5m10或-10m2,即c2a2+b2,故ABC是钝角三角形.2.D解析 圆C的标准方程为(x+2)2+y2=4,作CDAB于点D,由圆的性质可知ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|.由AOB=120,易得|CD|=1,即圆心(-2,0)到直线4x-3y+a=0的距离d=1,即|-8+0+a|42+(-3)2=1,即|a-8|=5,解得a=3或13.3.33或3解析 由题知,直线l的方程为y-1x=1r,即x-ry+r=0,联立直线与圆的方程x2+y2=r2,x-ry+r=0,得Cr3-rr2+1,2r2r2+1,|AB|=2|BC|,r2+1=2r3-rr2+12+2r2r2+1-12,解得r=3或r=33,直线l的斜率k=1r=13=33或k=1r=133=3.4.2解析 根据题意画出图形,如图所示,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=4,由题易得S四边形PACB=2SPCB=212|PB|BC|=2|PB|=2|PC|2-|BC|2=2|PC|2-4,当|PC|取得最小值时,四边形PACB的面积取得最小值.而|PC|的最小值即为点C到直线l:kx+y+3=0的距离d,d=|k0+12+3|k2+1=5k2+1.2d2-4=2,d=5,则5k2+1=5,解得k2=4,即k=2.备选理由 例1在直线与圆的位置关系的基础上,考查圆的面积的计算,需要从特殊的等边三角形入手分析;例2考查直线与圆的综合问题,涉及圆的方程的确定,点到直线及两点间的距离问题等;例3在直线与圆的位置关系的基础上,考查最值问题,理解不难,但运算量大,对培养学生的计算与求解能力有所帮助.例1配例3使用已知直线y=ax与圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于A,B两点,且CAB为等边三角形,则圆C的面积为.答案 6解析 圆C的标准方程为(x-a)2+(y-1)2=a2-1,则圆心C(a,1),半径R=a2-1.直线y=ax和圆C交于A,B两点,且CAB为等边三角形,圆心C到直线ax-y=0的距离为Rsin 60=32a2-1,又圆心C到直线ax-y=0的距离d=|a2-1|a2+1,|a2-1|a2+1=32a2-1,解得a2=7,圆C的面积为R2=(7-1)=6.例2配例3使用已知圆C经过原点O且圆心在x轴正半轴上,经过点N(-2,0)且倾斜角为30的直线l与圆C相切于点Q,点Q在x轴上的射影为点P,设点M为圆C上的任意一点,则|MN|MP|=()A.4B.3C.2D.1解析 C如图所示,由题可知直线l:y=33(x+2),即x-3y+2=0.设圆心C(a,0)(a0),则|a+2|12+(3)2=a,得a=2,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.由图易知,|PC|=1,则|OP|=1,则P(1,0).设M(x,y),则|MN|2|MP|2=(x+2)2+y2(x-1)2+y2=x2+y2+4x+4x2+y2-2x+1,将圆C的方程x2+y2=4x代入得|MN|2|MP|2=8x+42x+1=4,所以|MN|MP|=2,故选C.例3配例3使用 直线ax+ay-1=0与圆a2x2+a2y2-2a+1=0有公共点(x0,y0),则x0y0的最大值为()A.-14B.49C.43D.2解析 B因为直线ax+ay-1=0与圆a2x2+a2y2-2a+1=0有公共点(x0,y0),所以圆心到直线的距离d不大于圆的半径,易知d=|-1|2a2,则012a22a-1a2,解得a34.由ax0+ay0=1,a2x02+a2y02-2a+1=0,即a2x02+a2y02+2a2x0y0=1,a2x02+a2y02-2a+1=0,得2a2x0y0+2a-1=1,所以x0y0=1-aa2=1a2-1a.设1a=t,则0t43,则x0y0=t2-t=t-122-14,0t43,由二次函数的性质可得当t=43时,x0y0取得最大值49,故选B.
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