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基础回扣(五)立体几何要点回扣1空间几何体的三视图在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主对点专练1若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()答案A2斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”对点专练2如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是_答案23计算空间几何体的表面积和体积(1)分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；(2)进行合理的转化和一些必要的等积变换对点专练3如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A4B3C2D.答案D4与球有关的切接问题长方体外接球半径为R时有(2R)2a2b2c2；棱长为a的正四面体内切球半径ra，外接球半径Ra.对点专练4已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_答案5空间直线、平面的位置关系不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由，l，ml，易误得出m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件对点专练5已知b，c是平面内的两条直线，则“直线a”是“直线ab，直线ac”的_条件答案充分不必要6用向量求空间中角的公式(1)直线l1，l2夹角有cos|cosl1，l2|；(2)直线l与平面的夹角有：sin|cosl，n|(其中n是平面的法向量)；(3)平面，夹角有cos|cosn1，n2|，则l二面角的平面角为或.(其中n1，n2分别是平面，的法向量)对点专练6已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于_答案7用空间向量求A到平面的距离公式d.对点专练7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为_答案易错盘点易错点1三视图认识不清致误【例1】已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_错解错因分析没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系正解如图所示，作几何体SABCD且知平面SCD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SECD于点E，得SE平面ABCD且SE20.VSABCDS正方形ABCDSE；这个几何体的体积是.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑对点专练1(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A.B.C1D.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为_解析(1)由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所求体积VV柱V锥22，故选A.(2)依题意，几何体是如图所示的三棱锥ABCD，其中CBD120，BD2，点C到直线BD的距离为，BC2，CD2，AB2，AB平面BCD，因此ACAD2，该几何体最长棱长的值为2.答案(1)A(2)2易错点2线面关系定理条件使用不当致误【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：EFB1C.错解证明：(1)连接BD1，E、F分别为DD1、DB的中点，EFD1B，EF平面ABC1D1.(2)ACBD，ACD1D，AC平面BDD1.EFAC.同理EFAB1.EF平面AB1C.EFB1C.错因分析推理论证不严谨，思路不清晰正解证明：(1)连接BD1，如图所示，在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EFD1B.D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，EF平面ABC1D1.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB面BCC1B1，B1CAB.又B1CBC1，AB，BC1平面ABC1D1，ABBC1B，B1C平面ABC1D1，BD1平面ABC1D1，B1CBD1.EFBD1，EFB1C.证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等对点专练2(1)下列命题中错误的是()A如果平面平面，平面平面，l，那么lB如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，l，过内任意一点作l的垂线m，则m(2)已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面，有下列命题：若m，n，则mn；若，l，则l；，则；若m，n为异面直线，m，n，m，n，则.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析(1)如果平面平面，平面平面，l，那么l，A正确；如果平面平面，那么平面内平行于交线的直线平行平面，B正确；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，C正确；若此点在直线l上，则不能推出m，D错误，故选D.(2)因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题错误；由直线与平面平行的定义知命题正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题正确故选C.答案(1)D(2)C易错点3空间角的范围不清致误【例3】如图所示，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC的中点(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值；(2)AP与平面ABCD所成角的正弦值错解如图所示，取DC的中点O，连接PO，PDC为正三角形，PODC.又平面PDC平面ABCD，PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P，A，B，C，D.(1)E为PC的中点，E.，.aaa2，|a，|a.cos，.异面直线PA与DE所成的角的余弦值为.(2)平面ABCD的法向量n，cos，n.AP与平面ABCD所成角的正弦值为.错因分析本题失分的根本原因是概念不清，混淆了空间角与向量所成角的概念正解(1)在求出cos，后，异面直线PA、DE所成角是锐角或直角，异面直线PA、DE所成角的余弦值是.(2)cos，n，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为.(1)异面直线PA与DE所成的角为锐角或直角，余弦值一定非负(2)直线AP与平面ABCD所成的角不是与平面ABCD的法向量所成的角对点专练3如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ABAC，ABACPA2，E是BC的中点(1)求异面直线AE与PC所成的角；(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值解(1)如图所示，以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)故E(1,1,0)，(1,1,0)，(0,2，2)，cos，即，60，故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)在四边形ABCD中，ABAC2，ABAC，ABCACB45，ADBC，DACACB45，又ADCD，ADCD，D(1,1,0)，又C(0,2,0)，(1，1,0)，(0,2，2)设n(x，y，z)是平面PCD的法向量，则n，n，即n0，n0，令x1得，y1，z1，即n(1,1,1)，|n|，又AB平面PAC，(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，cos，n，即二面角DPCA的平面角的余弦值为.
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