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16 不等式（组）阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在： 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于的不等式组恰好有5个整数解，则t的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、(xx 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围.【例2】如果关于的不等式那么关于的不等式的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于的不等式，求出m，n的值或m，n的关系.【例3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值. （天津市竞赛试题）解题思路：解关于，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a2bc5和2ab3c1，若m3ab7c，求m的最大值和最小值. （江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.【例6】设是自然数，求的最大值. （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a，b满足且a2b有最大值，求8a2003b的值.解题思路：解法一：已知ab的范围，需知b的范围，即可知a2b的最大值得情形. 解法二：设a2bm（ab）n（ab)（mn)a（mn)b能力训练A级1、 已知关于x的不等式那么m的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组 的解集是，那么ab的值为 （湖北省武汉市竞赛试题）3、 若ab0，ab0，ab，则的大小关系用不等式表示为 （湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围 是 （河南省中考试题）5、 关于x的不等式的解集为，则a应满足（ ） A、a1 B、a1 C、 D、(xx年全国初中数学竞赛预赛试题）6、 适合不等式的x的取值的范围是（ ）7、 已知不等式的解集那么m等于（ ） A、 B、 C、3 D、38、 已知，下面给出4个结论：；，其中，一定成立的结论有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 （江苏省竞赛试题）9、当k为何整数值时，方程组 有正整数解？（天津市竞赛试题）10、如果是关于x，y的方程的解，求不等式组的解集11、已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B级1、 如果关于x的不等式的正整数解为1，2，3那么的取值范围是 （北京市”迎春杯“竞赛试题）2、 若不等式组有解， 则的取值范围是_.（海南省竞赛试题）3、已知不等式只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题）4、 已知则的取值范围为 .(“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a，b，c满足不等式组 ，则a，b，c的大小关系是（ ） A、abc B、 bca C、cab D、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、 一共（ ）个整数x适合不等式 A、10000 B、20000 C、9999 D、80000（五羊杯“竞赛试题）7、 已知m，n是整数，3m25n3，且3m230，5n340，则mn的值是（ ） A、70 B、72 C、77 D、848、 不等式的解集为（ ）A、 B、 C、 D、（山东省竞赛试题）9、 的最大值和最小值.（北京市”迎春杯”竞赛试题）10、 已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x2yz5，xyz2，若s2xyz，求s的取值范围.（天津市竞赛试题）11、 求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使成立.12、 已知正整数a，b，c满足abc，且，试求a，b，c的值.专题16 不等式（组）例1 C 提示：解不等式组得，则5个整数解为x19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足1432t15，故6t.例2 提示：，.例3 或 提示：解方程组得，由得1m0例4 提示：由已知条件得 ,解得,m=3c2.由得,解得,故m的最大值为,最小值为例5先用x1和x2表示x3,x 4，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010.于是得.因为x2是自然数,所以是整数，所以x1是10的奇数倍.又因为x1x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2 +x3的最大值为2(x1+x2)=2118=236.例6解法一 ：0ab1，1a+b4 ，由知4ab1，+得42b0，即2b0，+得2a2b1要使a2b最大，只有ab=1且b=0. a=1 且b=0，此时8a+2003b=8.解法二 ：设a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+ (mn)b,知,解得.而,a2b=+2a2b1当a2b 最大时，a +b=1，ab=1b=0，a=1，此时8a+2003b=8.A 级1.2.11.1提示:原不等式组变形为由解集是0x2知,解得故a+b=2+(1)=13.abba 4.m75.B提示：由ax+3a3+x,得(a1)(x+3)0,.由不等式的解集为x3知x+30,所以a10,得a1.6.C 7.B 8.C 9.k=2或3.10.提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x3.11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，所以其解不可能是必有，由整数解的情况可知,得a=5,4,3;b=5,6.故整数对(a,b)共有23=6对.B 级1. 提示:由题意可知:.由正整数解为1,2,3知,解得2.a1 提示:原不等式组变形为由不等式组有解知a1,故a13. 9a12 4.5. B 提示:原不等式组变形为,.6. C示：若x2000，则(x2000)+x9999，即2000x5999, 共有4 000个整数;若0x2000,则(x2000)+x9999.20009999，恒成立，又有2000个整数适合若x0，则2000x+(x) 9999即3999.5x0，共有3999个整数适合，故一共有4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合.7. D 8.C 提示:由原不等式得x2(x+5)29.提示：解不等式，得,原式=,从而知最大值为4，最小值为10.提示：s=x+2，2s311.提示:由,得，即.又n与k是都是正整数，显然n8，当n取9,10,11,12,13,14时，k都取不到整数.当n=15时,即 此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13.12.由得，故，即，又因为，故a=2，从而有，又，则，即b4，又ba=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.
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