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二次函数一、选择题1.若二次函数y(a1)x23xa21的图象经过原点，则a的值必为（ ） A.1或1B.1C.1D.02.对于抛物线yax2(2a1)xa3，当x1时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.把抛物线y- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A.y-(x-1)2-3B.y-(x1)2-3C.y-(x-1)23D.y-(x1)234.已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 . ， ，其对称轴在 轴右侧，有下列结论：抛物线经过点 ；方程 有两个不相等的实数根； .，正确结论的个数为（ ） A.0B.1C.2D.35.当axa+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ） A.-1B.2C.0或2D.-1或26.二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）A.B.C.D.7.已知二次函数 ( 为常数),当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值 的最大值为-1,则 的值为( ) A.3或6B.1或6C.1或3D.4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（ ）A4 B6 C8 D10 9.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A.2.76米B.6.76米C.6米D.7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1x0； 4a+b=0；若点A坐标为(1，0)，则线段AB=5； 若点M(x1 ， y1)、N(x2 ， y2)在该函数图象上，且满足0x11，2x23，则y1y2其中正确结论的序号为（ ）A.，B.，C.，D.，12.如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿 向点以 以 的速度移动，动点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动.若 ， 两点分别从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停止，则 的面积 随出发时间 的函数关系图象大致是（ ）A.B.C.D.二、填空题 13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为_. 14.将二次函数 的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是_ 15.已知二次函数 ，当 时，函数值 的最小值为 ，则 的值是_ 16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“0，解得：a1，2a-10， 0a0 经过点 ，a-b+c=0 经过点 ，c=3a-b=-3b=a+3，a=b-3-3a0，0b3-3a+b0，当x=-1时，a-b+c=0，由抛物线与y轴的交点得出c=3，从而得出b=a+3，a=b-3，故-3a0，0b3，根据不等式的性质得出-3a+b3.5.【答案】D 【解析】 当y=1时，有x2-2x+1=1，解得：x1=0，x2=2当axa+1时，函数有最小值1，a=2或a+1=0，a=2或a=-1，故答案为：D【分析】把y=1代入抛物线的解析式得出对应的自变量的值，又当axa+1时，函数有最小值1，从而得出a=2或a+1=0，求解得出a的值。6.【答案】C 【解析】 ：由二次函数开口向上可得：a0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b0，故反比例函数y= 图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限故答案为：C【分析】根据二次函数的图像及性质，确定出a、b的取值范围，再根据反比例和一次函数的图像和性质，得出它们所经过的象限，即可得出正确选项。7.【答案】B 【解析】 如图，当h2时，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2h5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h5时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6综上所述：h的值为1或6故答案为：B【分析】根据当h2时，有-（2-h）2=-1，可求出h的值，再根据h的取值范围即y的最值，可得出符合题意的h的值；当h5时，有-（5-h）2=-1，解方程求出h的值，综上所述，可求得h的值。8.【答案】A 【解析】 试题分析：抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1x3）有交点， ，解得6c14，故答案为：A【分析】根据图像过点A可列出关于b，c的二元一次方程，根据对称轴与线段BC即与x轴交点的范围可列出关于b的不等式组，两者结合起来即可求得c的取值范围.9.【答案】B 【解析】 设该抛物线的解析式为y=ax2 ， 在正常水位下x=10，代入解析式可得4=a102a= 故此抛物线的解析式为y= x2 因为桥下水面宽度不得小于18米所以令x=9时可得y=- =3.24米此时水深6+43.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过故答案为：B【分析】先根据建立的直角坐标系求得拱形桥抛物线的解析式，再求得桥下水面宽度为18米时，水位距拱顶的距离，从而求得正好通过时桥下的水深，即为所求答案.10.【答案】D 【解析】 如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=-5，由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1x5的范围内有解，直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，-5t4故答案为：D【分析】根据题意可知，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，分别求出x=1、5时对应的函数值，利用图像法即可解决问题。11.【答案】D 【解析】 ：抛物线开口向下，a0对称轴 ，b=4a0抛物线与y轴交点在y轴正半轴，c0，abc0，故错误；由得：b=4a，4a+b=0，故正确；若点A坐标为（1，0），因为对称轴为x=2，B（5，0），AB=5+1=6故错误；a0，横坐标到对称轴的距离越大，函数值越小0x11，2x23， ，y1y2 ， 故正确故答案为：D【分析】（1）根据抛物线开口向下可得a0，对称轴在y轴的右侧，所以a、b异号，即b0，而抛物线与y轴交点在y轴正半轴，所以c0，所以abc0（2）由图知对称轴x=2=-,整理得4a+b=0；（3）因为A、B两点关于对称轴x=2对称，所以当点A坐标为（1，0）时则B（5，0），所以AB=5+1=6；（4）由（1）知a0，所以横坐标到对称轴的距离越大，函数值越小已知0x11，2x2 | x 2 2 | ，即可得y1y2。12.【答案】C 【解析】 ：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，则PBQ的面积S= PBBQ= （3-t）2t=-t2+3t，故PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下故答案为：C【分析】由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。二、填空题13.【答案】（-2,4） 【解析】 ：抛物线y=2(x+2)+4的顶点坐标为：（-2,4）故答案为：（-2,4）【分析】此抛物线的解析式为顶点式，可直接写出其顶点坐标。14.【答案】【解析】 ：二次函数 的图像向上平移3个单位长度， +3=x2+2.故答案为： .【分析】根据平移的性质：上+下-，由此即可得出答案.15.【答案】【解析】 ：y=x22mx=(xm)2m2 ， 若m2，当x=2时，y=44m=2，解得：m=2(舍)；若1m2,当x=m时,y=m2=2，解得：m=或m=1(舍)，m的值为或，【分析】将二次函数化为顶点式，然后分若m2，若1m2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质即可求解。16.【答案】pabq 【解析】 如下图，关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根p、q(Pq)是二次函数y=-(x-a)(x-b)与直线y=-2的两个交点的横坐标，由图可得pabq.故答案为：pabq.【分析】根据二次函数的图像和性质可得，若p、q是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根，则相对应的二次函数y=2-(x-a)(x-b)与x轴有两个公共点，且已知a0,根据条件可画出简易图像，然后从图像中比较大小即可。17.【答案】， 【解析】 ：抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），方程组 的解为 ， ，即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1故答案为x1=-2，x2=1【分析】方程 a x 2 = b x + c 的解就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c交点横坐标。18.【答案】2 【解析】 ：如图，B，C是线段AD的三等分点，AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当y=0时，x2+2x3=0，（x1）（x+3）=0，x1=1，x2=3，A（3，0），B（1，0），AB=3+1=4，AC=BC=2，m=2，故答案为：2【分析】根据B，C是线段AD的三等分点，得出AC=BC=BD，根据平移的性质得出AC=BD=m，由抛物线与坐标轴交点的坐标特点得出A,B两点的坐标，从而得出AB的长。进而得出m的值。19.【答案】24-8 【解析】 如图，建立直角坐标系，过A作AGOC于G，交BD于Q，过M作MPAG于P，由题意可得，AQ=12，PQ=MD=6，AP=6，AG=36，RtAPM中，MP=8，故DQ=8=OG，BQ=128=4，BQCGBQ：CG=AQ：AG,即4：CG=12：36，CG=12，OC=12+8=20，C(20,0)，水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24)，设抛物线为y=ax2+bx+24，把C(20,0),B(12,24)代入抛物线得解之：y=-x2+x+24点E的纵坐标为10.2，当y=10.2时,则10.2=x2+x+24，解之：x1=6+8，x2=682(舍去)，点E的横坐标为6+8，又ON=30，EH=30(6+8)=248.故答案为：248.【分析】先建立直角坐标系，过A作AGOC于G，交BD于Q，过M作MPAG于P，根据平行线分线段成比例（BQCG），求得点C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线， 求出抛物线的解析式，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标，根据ON的长，可求出EH的长。20.【答案】【解析】 ：DEBC，垂足为E，tanC= = ，CD=x，DE= ，CE= ，则BE=10 ，S= SBED= （10 ） 化简得： 故答案为： s【分析】根据锐角三角函数的定义，可得出,因此设CD=x，可表示出DE、CE的长，就可求出BE的长，再利用三角形的面积公式，可得出s与x的函数解析式。三、解答题21.【答案】 ：由图象可知：抛物线的对称轴为x=1， 设抛物线的表达式为：y=a（x1）2+k抛物线经过点（1，0）和（0，3） 解得 ，抛物线的表达式为：y=（x1）24，即y=x22x3 【解析】【分析】设顶点式y=a（x1）2+k，然后把图象上的两点坐标代入得到a与k的方程组，再解方程组即可22.【答案】解：（）设P=kx+b，根据题意，得： ，解得： ，则P=x+120；（）y=（x60）（x+120）=x2+180x7200=（x90）2+900；（）销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，60x（1+50%）60，即60x90，又当x90时，y随x的增大而增大，当x=90时，y取得最大值，最大值为900，答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元 【解析】【分析】（）抓住已知条件：销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件，利用待定系数法求出P与x的函数关系式即可。（）根据商场获得利润y=每一件的利润销售量P，可建立y与x的函数解析式。（）将（）的二次函数解析式配方成顶点式，再根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，求出自变量x的取值范围，利用二次函数的性质，即可求解。23.【答案】（1）将A（0，6）代入y=a（x+1）（x-9），得： 抛物线解析式为 （2）的值不变如图10，过点E作DGAB交AB于点D，交x轴于点G四边形OABC为矩形，DGOC，BD=GC由BEEF，易证BDEEGF，得： ，即 由A（0，6），抛物线对称轴为直线 ，得B（8，6），即OC=6.易知 ， （3）如图11，过点E作PQx，FPPQ，CQPQ易证FPEBQE可知QE=4，FP=3则CQ=3，BQ=9BE=BE= 【解析】【分析】（1）将A点的坐标代入y=a（x+1）（x-9），即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；（2）如图10，过点E作DGAB交AB于点D，交x轴于点G，根据矩形的性质由DGAB得出DGOC，BD=GC，然后证出BDEEGF，根据相似三角形对应边成比例得出 BEEF = BD EG ，即 BE EF =GCEG,根据A点的坐标及对称轴得出B点的坐标，从而得出AB的长度，根据矩形的性质得出OC的长，根据锐角三角函数的关系得出GC EG =COAO = 8 6 = 4 3 ，从而得出答案；（3）过点E作PQx，FPPQ，CQPQ，易证FPEBQE可知QE=4，根据相似三角形对应边成比例得出FP=3，根据矩形的性质及B点的坐标得出CQ=3，BQ=9，根据勾股定理得出BE，根据对称性得出BE=BE从而得出结论。24.【答案】（1）证明：连接BE CD与B相切于点EBECD 设点D的坐标为（x ， 0），则BD=x1 在OCD和EBD中，OCDEBD 即 CD=2x2 在RtOCD中，OC2+OD2=CD2即22+x2=（2x2）2解得x1= ，x2=0（舍去） 即点D的坐标为（ ，0） 把C（0，2），D（ ，0）代入y=ax22ax+c中得: 函数解析式为：y= x2+ x+2（2）解：连接BE ， CB ， CB交OE于H CD与O相切于E ， COOB于O ， BO为O半径 CO与O相切于OBCOE于点HOCH+COH=BOH+COH=90，BOH=COH即AOE=OCB sinAOE= sinOCB= 在RtOCB中，OB=1，OC=2 由勾股定理得 = （3）存在，理由如下： 连接DM ， 据题意有CM=t，OC=2，OD= ，则OM=2-t MN/CD ONM=ODC且SQMN=SDMN tanONM=tanODC ON= S=SQMN=SDMN= S= 点M在OC上运动 S与t成二次函数关系，且 0 当t=1时，S有最大值， MISSING IMAGE: , 【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出BECD，设点D的坐标为（x ， 0），则BD=x1，然后证出OCDEBD ，根据相似三角形对应边成比例得出OCEB=CDBD,即21=CDx-1,从而得出CD=2x2 ，在RtOCD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，得出D点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）连接BE ， CB ， CB交OE于H，根据切线的判定定理判断出CO与O相切于O，根据切线长定理得出BCOE于点H ，根据同角的余角相等得出 BOH=COH，即AOE=OCB，根据等角的同名三角函数值相等得出sinAOE= sinOCB= O B C B ，在RtOCB中，由勾股定理得出BC的长度，从而得出答案；（3）连接DM ， 据题意有CM=t，OC=2，OD=， 则OM=2-t；根据二直线平行同位角相等得出ONM=ODC，同时两平行线间的距离相等，根据同底等高得出SQMN=SDMN ， 再根据等角的同名三角函数值相等得出tanONM=tanODC，根据三角函数的定义，从而列出方程，表示出ON的长度，进而表示出ND，根据S=SQMN=SDMN=N D O M，从而得出s与t之间的函数关系式；根据点M在OC上运动 故 0 t 2 ，S与t成二次函数关系中二次项的系数 0，从而得出答案当t=1时，S有最大值， S 最 大 值 =。
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