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锐角三角函数一、选择题1.计算 =（ ） A.B.1C.D.【答案】B 【解析】 ： tan 45 =1故答案为:B。【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。2.下列运算结果正确的是 A.3a32a2=6a6B.(-2a)2= -4a2C.tan45= D.cos30= 【答案】D 【解析】 A、原式=6a5 ， 故不符合题意；B、原式=4a2 ， 故不符合题意；C、原式=1，故不符合题意；D、原式= ，故符合题意故答案为：D【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tanABD= ,则线段AB的长为( ).A.B.2 C.5D.10【答案】C 【解析】 ：菱形ABCD,BD=8ACBD， 在RtABO中，AO=3 故答案为：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出ACBD，求出BO的长，再根据锐角三角函数的定义，求出AO的长，然后根据勾股定理就可求出结果。4.数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡 的坡度i=1:4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为 ，已知 ，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m.A.7.4B.7.2C.7D.6.8【答案】D 【解析】 如图所示:过点C作 延长线于点G,交EF于点N,根据题意可得: ,计算得出: , ,设 ,则 ,故 ,即 ,计算得出: ,故 ,则 ,故答案为：D.【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：过点C作 C G A B 延长线于点G,交EF于点N,因为斜坡 D E 的坡度i=1:4，所以,解得EF=2，而 sin=，设AG=3x,则AC=5x ,所以BC=4x ,即8+1.6=4x ,解得 x = 2.4 ，所以AG=2.43=7.2m ,则AB=AGBG=7.20.4=6.8m。5. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，CAB=，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ） A.B.C.D.hcos【答案】B 【解析】 ：CAD+ACD=90，ACD+BCD=90， CAD=BCD，在RtBCD中，cosBCD= ，BC= = ，故选：B【分析】根据同角的余角相等得CAD=BCD，由osBCD= 知BC= = 6.如图，ABC内接于O，AD为O的直径，交BC于点E，若DE2，OE3，则 （ ）A.4B.3C.2D.5【答案】A 【解析】 ：如图，连接BD，CDDO=2，OE=3OA=OD=5AE=OA+OE=8ABE=EDC，AEB=DECABEDEC同理可得：AECBED由得AD是直径ABD=ACD=90tanACB=ADB=tanABC=tanADC=tanACBtanABC=4故答案为：A【分析】根据OD和OE的长，求出AE的长，再根据相似三角形的性质和判定，得出，利用锐角三角函数的定义，可证得tanACBtanABC=，代入求值即可。7.在RtABC中，C=90，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（ ） A.3B.4C.5D.【答案】D 【解析】 ：RtABC中，C=90，cosA的值等于cosA=解之：AB=故答案为：D【分析】根据锐角三角函数的定义，列出方程cosA=，求出AB的值即可。8. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）A.15 海里B.30海里C.45海里D.30 海里【答案】B 【解析】 ：作BDAP，垂足为D根据题意，得BAD=30，BD=15海里，PBD=60，则DPB=30，BP=152=30（海里），故选：B【分析】作CDAB，垂足为D构建直角三角形后，根据30的角对的直角边是斜边的一半，求出BP9.如图，在 中， ， ， ，则 等于（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 ：在RtABC中，AB=10、AC=8，BC= ，sinA= .故答案为：A【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ） A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里【答案】B 【解析】 ：根据题意画出图如图所示：作BDAC，取BE=CE，AC=30，CAB=30ACB=15，ABC=135，又BE=CE，ACB=EBC=15，ABE=120，又CAB=30BA=BE，AD=DE，设BD=x，在RtABD中，AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，x= = 5.49，故答案为：B.【分析】根据题意画出图如图所示：作BDAC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，RtABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.二、填空题 11.在ABC中，C=90，若tanA= ，则sinB=_ 【答案】【解析】 ：如图所示：C=90，tanA= ，设BC=x，则AC=2x，故AB= x，则sinB= .故答案为： 【分析】根据正切函数的定义由tanA=， 设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理表示出AB的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。12.如图，在菱形纸片ABCD中， ，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点 分别在边 上，则 的值为_ 【答案】【解析】 如图，作EHAD于H，连接BE，BD、AE交FG于O，因为四边形ABCD是菱形，A=60，所以ADC是等边三角形，ADC=120，点E是CD的中点，所以ED=EC= ，BECD，RtBCE中，BE= CE= ，因为ABCD，所以BEAB，设AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x，在RtEBF中，则勾股定理得，x2=(3-x)2+( )2 ， 解得x= ，RtDEH中，DH= DE= ，HE= DH= ，RtAEH中，AE= = ，所以AO= ，RtAOF中，OF= = ，所以tanEFG= = ，故答案为 .【分析】作EHAD于H，连接BE，BD、AE交FG于O，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法得出ADC是等边三角形，ADC=120，根据等边三角形的三线合一得出ED=EC= ，BECD，RtBCE中，根据勾股定理得出BE,CE的长，根据平行线的性质得出BEAB，设AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x，在RtEBF中，则勾股定理得出方程求解得出x的值，RtDEH中，DH= DE=，HE= DH= ，RtAEH中，利用勾股定理得出AE的长，进而得出AO的长，RtAOF中，利用勾股定理算出OF的长，根据正切函数的定义得出答案。13.如图，在RtABC中，B=90，C=30，BC= ，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是_【答案】【解析】 ：连接BEB=90，C=30，BC= ，A=60，AB=1AB=EB，ABE是等边三角形，ABE=60，S弓形=S扇形ABESABE= = 故答案为： 【分析】连接BE因为B=90，C=30，BC= ， 由C的正切可得tanC=,所以AB=1，由题意以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E可得AB=EB，所以ABE是等边三角形，则ABE=60，图中阴影部分面积=扇形ABE的面积-三角形ABE的面积=-1=-.14.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45和30若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_米（结果保留根号）【答案】【解析】 ：依题可得：ACD=45,BCD=30,CH=1200,CDAB，CAH=ACD=45,CBH=BCD=30,AH=CH=1200,设AB=x米，在RtCHB中，tanCBH= ,即 = ，解得：x=1200 -1200.故答案为：1200 -1200.【分析】根据平行线的性质结合已知条件得CAH=ACD=45,CBH=BCD=30,设AB=x米，在RtCHB中，根据正切三角函数定义建立等式，代入数值解方程即可得AB长.15.如图，在菱形ABCD中，AB=2，B是锐角，AEBC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME若EMD=90，则cosB的值为_。【答案】【解析】 ：延长DM交CB的延长线于H，四边形ABCD为菱形，AB=AD=BC=2,ADBC，ADM=H，又M是AB的中点，AM=BM=1，在ADM和BHM中， ，ADMBHM（AAS），DM=HM，AD=BH=2,EMDM，EH=ED,设BE=x，EH=ED=2+x，AEBC，AEB=EAD=90,AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,即22-x2=（2+x）2-22,化简得：x2+2x-2=0，解得：x=-1，在RtABE中，cosB=.故答案为： .【分析】延长DM交CB的延长线于H，由菱形的性质和平行线的性质可得：AB=AD=BC=2,ADM=H；由全等三角形的判定AAS得ADMBHM，再根据全等三角形的性质得DM=HM，AD=BH=2,根据等腰三角形三线合一的性质可得EH=ED,设BE=x，则EH=ED=2+x，根据勾股定理得AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入数值解这个方程即可得出BE的长.16.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tanAOD=_.【答案】2 【解析】 ：连接BE交CF于点G（如图），四边形BCEF是边长为1的正方形，BE=CF= ，BECF，BG=EG=CG=FG= ,又BFAC，BFOACO， ,CO=3FO，FO=OG= CG= ，在RtBGO中，tanBOG= =2,又AOD=BOG,tanAOD=2.故答案为:2.【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BECF，BG=EG=CG=FG= ,又根据相似三角形的判定得BFOACO，由相似三角形的性质得 ,从而得FO=OG= CG= ，在RtBGO中根据正切的定义得tanBOG= =2,根据对顶角相等从而得出答案.17.如图。在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则 的正弦值是_【答案】【解析】 AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2 ， ABC为直角三角形，且ACB=90，则sinBAC= = 故答案为： 【分析】首先根据方格纸的特点，算出AB2，AC2，BC2，然后根据勾股定理的逆定理判断出ABC为直角三角形，且ACB=90，根据正弦函数的定义即可得出答案。18.一副含30和45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是_现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为_（结果保留根号）【答案】；【解析】 ：如图如图1中，作HMBC于M，HNAC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a.在RtABC中,ABC=30，BC=12，AB=8， 在RtBHM中，BH=2HM=2a， 在RtAHN中,AH=a，2a+=8， a=66，BH=2a=1212.如图2中,当DGAB时,易证GH1DF，BH1的值最小,则BH1=BK+KH1=3+3，HH1=BHBH1=915，当旋转角为60时，F与H2重合，易知BH2=6， 观察图象可知,在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH1+HH2=1830+6(1212)=1218，故答案为：1212,1218.【分析】如图1中，作HMBC于M，HNAC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a，利用解直角三角形求出AB的长，用含a的代数式分别表示BH、AH的长，再根据AB=AH+BH，就可求出a的值，从而求出BH的值即可；如图2中,当DGAB时,易证GH1DF，得出此时BH1的值最小，求出BH1的值，再求出BH2的值，然后求值在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长即可。三、解答题题 19. 先化简，再求值：（ ） ，其中a=2sin60tan45 【答案】解：原式= （a1） = （a1）= 当a=2sin60tan45=2 1= 1时，原式= = 【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可20.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45的方向上，如图所示求凉亭P到公路l的距离（结果保留整数，参考数据： ， ）【答案】解：依题可得：AB=200米，PAC=60，PBD=45，令PG=x米，作PGl，PAG=30，PBG=45，PBG为等腰直角三角形，BG=PG=x,在RtPAG中，tan30= ,即 ，x=100（ +1）273答：凉亭P到公路l的距离是273米 【解析】【分析】令PG=x米，作PGl，根据题意可得PBG为等腰直角三角形，即BG=PG=x,在RtPAG中，根据锐角三角函数正切定义可得tan30= ,代入数值解方程即可.21.如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹角CAB=37，沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角CBA=45.问湛河的宽度约多少米?(参考数据：sin370.60，cos37=0.80，tan37=0.75)【答案】解：过C作CDAB于点D，设CD=x米在RtBDC中，CDB=90，CBD=45，BD=CD=x 在RtADC中，ADC=90，CAD=37，AD= AB=AD+DB=140， ，x=60答：湛河的宽度约60米 【解析】【分析】过C作CDAB于点D，设CD=x米，在RtBDC中，CDB=90，CBD=45，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=x ，在RtADC中，ADC=90，CAD=37，由tanCAD=tan37=,所以AD=,而由题意得AB=AD+DB=140，所以+ x = 140，解得x=6022.已知:在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点,四边形ABCD为菱形.（1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2,连接AC,点P为ACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且APB=60,点E在线段AP上,点F在线投BP上,且BF=AE.连接AF、EF,若AFE=30,求AF +EF 的值; （3）如图3在(2)的条件下,当PE=AE时,求点P的坐标. 【答案】（1）解：如图1 :BO= ，CO= 在RBCO中四边形ABCD为菱形AB=BC=7AO=AB-BO= （2）解：如图2AO= =BO，COABAC=BC=7AB=AC=BCABC为等边三角形ACB=60,APB=60APB=ACBPAG+APB=AGB=CBG+ACBPAG=CBG连接CE、CFAE=BFACEBCFCE=CFACE=BCFECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60CEF为等边三角形CFE=60EF=FCAFE=30AFC=AFE+CFE=90在RtACF中AF2+CF2=AC2=72=49AF2+EF2=49（3）解：如图由(2)知CEF为等边三角形CEF=60EC=EF延长CE、FA交于点HAFE=30CEF=H+EFHH=CEF-EFH=30H=EFHEH=EFEC=EH连接CPPE=AECEP=HEACPEHAEPCE=H:CPFHHFP=CPF在BP上截取TB=AP连接TC由(2)知CAP=CBTAC=BC,ACPBCTCP=CTACP=BCTPCT=ACP+ACT=BCT+ACT=ACB=60CPT为等边三角形CT=PTCPT=CTP=60CPFHHFP=CPIT=60APB=60APB=AFPAP=AFAPF为等边三角形CFP=AFC-AFP=90-60=30TCF=CTP-TFC=60-30=30TCF=TFCTF=TC=TP连接AT则ATBP设BF=m则AE=PE=mPF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m在RtAPT中AT= 在RtABT中,AT2+TB2=AB2 m1=- (舍去)m2= BF= ,AT= ,BP=3 , 作PQAB垂足为点Q,作PKOC,垂足为点K,则四边形PQOK为矩形则OK=PQ=BPsinPBQ=3 x2=3 【解析】【分析】（1）先求出直线BC与两坐标轴的交点B、C的坐标，再利用勾股定理求出BC的长，根据菱形的性质得出AB=BC，然后求出AO的长，就可得出点A的坐标。（2）根据点A、B的坐标，可证得ABC是等边三角形，可得出AC=AB，再证明PAG=CBG，根据已知AE=BF，就可证得ACEBCF，得出CE=CF,ACE=BCF，然后证明AFC=90，在RtACF中，利用勾股定理就可结果。（3）延长CE、FA交于点，根据等边三角形的性质及已知条件，先证明EC=EH，连接CP，易证CPEHAE，得出PCE=H，根据平行线的性质，可得出HFP=CPF，在BP上截取TB=AP，连接TC，证明ACPBCT，根据等边三角形的性质及平行线的性质，去证明TF=TC=TP，连接AT，得出ATBP，设BF=m,AE=PE=m,再根据勾股定理求出m的值，作PQAB，PKOC，可得出四边形PQOK是矩形，利用解直角三角形求出PQ的长，就可求出BQ、OQ的长，从而可得出点P的坐标。
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