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第16讲等腰三角形与证明A组基础题组一、选择题1.下列命题错误的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2.如图,等边OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)3.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()A.5B.6C.7D.84.(xx滨州)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小为()A.40B.36C.30D.25二、填空题5.如图,ABC是等边三角形,BD平分ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,E=30,则BC=.三、解答题6.(xx肥城模拟)已知:如图,ABC中,ABC=45,CDAB于D,BE平分ABC,且BEAC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.(1)求证:BF=AC;(2)求证:CE=12BF.7.(xx淄博)(1)操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是;(2)类比思考:如图2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中ABAC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;(3)深入研究:如图3,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN的形状,并给予证明.B组提升题组一、选择题1.已知直线y=-3x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-13(x-3)2+4上,能使ABP为等腰三角形的点P的个数是()A.3B.4C.5D.6二、填空题2.(xx泰安宁阳模拟)“在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行”这个命题的条件是,结论是,它是一个命题.3.有一面积为53的等腰三角形,它的一个内角是30,则以它的腰长为边长的正方形的面积为.三、解答题4.动手操作题:如图,在一张长为7 cm,宽为5 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),求剪下的等腰三角形的面积.第16讲等腰三角形与证明A组基础题组一、选择题1.C2.D3.A如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.4.B根据题目中给定的条件,可以判定ADC、ABD和ABC均为等腰三角形,设C=x,则B=x,ADB=2x(三角形中两内角和为等于第三个角的外角),BAD=2x,根据三角形内角和180,解得x=36,所以答案为B.二、填空题5.答案2解析ABC是等边三角形,ABC=ACB=60,BA=BC.BD平分ABC,DBC=E=30,BDAC,BDC=90,BC=2DC.ACB=E+CDE,CDE=E=30,CD=CE=1,BC=2CD=2.故答案为2.三、解答题6.证明(1)CDAB,ABC=45,BCD是等腰直角三角形.BD=CD.DBF=90-BFD,DCA=90-EFC,且BFD=EFC,DBF=DCA.在RtDFB和RtDAC中,BDF=CDA,BD=DC,DBF=DCA,RtDFBRtDAC(ASA),BF=AC.(2)BE平分ABC,ABE=CBE.在RtBEA和RtBEC中,AEB=CEB,BE=BE,ABE=CBE,RtBEARtBEC(ASA).CE=AE=12AC.由(1)知BF=AC,CE=12BF.7.解析(1)MG=NG;MGNG,连接BE,CD相交于H,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,AB=AC,BAD=CAE=90,CAD=BAE,ACDAEB(SAS),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,点M,G分别是BD,BC的中点,MG12CD,同理:NG12BE,MG=NG,MGNG,故答案为MG=NG,MGNG.(2)成立,理由如下:连接CD,BE,相交于H,同(1)的方法得,MG=NG,MGNG.(3)等腰直角三角形.连接EB,DC并延长,使其相交于H,M,N,G分别是BD,CE,BC的中点,MGCD,MG=12CD,NGBE,NG=12BE,同(1)的方法得,ABEADC,AEB=ACD,BE=DC,CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE=ACD-45+180-ACD-45=90,MG=NG,DHE=90,MGNG.B组提升题组一、选择题1.A以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,交抛物线于点C、M、N,连接AC、BC,如图所示.令一次函数y=-3x+3中x=0,则y=3,点A的坐标为(0,3).令一次函数y=-3x+3中y=0,即-3x+3=0,解得x=3.点B的坐标为(3,0).AB=23.由题意知抛物线的对称轴为x=3,点C的坐标为(23,3),AC=23=AB=BC,ABC为等边三角形.令y=-13(x-3)2+4中y=0,即-13(x-3)2+4=0,解得x=-3或x=33.点M的坐标为(-3,0),点N的坐标为(33,0).ABP为等腰三角形分三种情况:当AB=BP时,以B点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M、N三点;当AB=AP时,以A点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M两点;当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,与抛物线交于C、M两点.能使ABP为等腰三角形的点P的个数是3.故选A.二、填空题2.答案同一平面内两直线垂直于同一条直线;这两条直线平行;真3.答案203或20解析在等腰ABC中,设AB=AC=x.当顶角A=30时,如图1,作CDAB,垂足为D.sin 30=CDAC=12,CD=12x,12x12x=53,x2=203,即以它的腰长为边长的正方形的面积为203;当底角B=ACB=30时,如图2,作CDBA,交BA的延长线于D.DAC=B+ACB=60,sin 60=CDAC=32,CD=32x,12x32x=53,x2=20,即以它的腰长为边长的正方形的面积为20.综上,以它的腰长为边长的正方形的面积为203或20.三、解答题4.解析分三种情况计算:(1)当AE=AF=4 cm时,如图1:SAEF=12AEAF=1244=8(cm2);(2)当AE=EF=4 cm时,如图2:则BE=5-4=1 cm,BF=EF2-BE2=42-12=15 cm,SAEF=12AEBF=12415=215(cm2);(3)当AE=EF=4 cm时,如图3:则DE=7-4=3 cm,DF=EF2-DE2=42-32=7 cm,SAEF=12AEDF=1247=27(cm2).故剪下的等腰三角形的面积为8 cm2或215 cm2或27 cm2.
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