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小专题(四)二次函数的应用本专题包括求图形面积的最值问题、求抛物线形运动问题、求抛物线形建筑物问题、求销售中最大利润问题,是中考常考的题型,特别是利润问题,是近年考查的热点题型.类型1求面积(体积)的最值问题1.如图,有一块边长为6 cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是932cm2.2.有一块直角三角形铁皮余料,BC=1 m,A=30.李老师想在这块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做演示用.请你帮李老师计算所取得最大矩形料的面积为34 m2,这时CE=32 m,CF=12 m.3.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体.其中,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)解:已知抽屉底面宽为x cm,则底面长为(90-x) cm.由题意得y=x(90-x)20=-20(x2-90x)=-20(x-45)2+40500,当x=45时,y有最大值,最大值为40500.答:当抽屉底面宽为45 cm时,抽屉的体积最大,最大体积为40500 cm3.4.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长为多少时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示.设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去).答:裁掉的正方形的边长为2 dm时,长方体底面面积为12 dm2.(2)由题意得10-2x5(6-2x),解得0x2.5,设总费用为w元,由题意可知w=0.52x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,对称轴为直线x=6,开口向上,当01.55,此球能过网.(2)把(0,1),7,125代入y=a(x-4)2+h,得16a+h=1,9a+h=125,解得a=-15.6.李刚在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线y=-15x2+85x,其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2 m.(1)请写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴;(2)请求出球飞行的最大水平距离;(3)若李刚再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其表达式.解:(1)y=-15x2+85x=-15(x-4)2+165,抛物线y=-15x2+85x开口向下,顶点为4,165,对称轴为直线x=4.(2)令y=0,得-15x2+85x=0,解得x1=0,x2=8.球飞行的最大水平距离是8 m.(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10 m,抛物线的对称轴为直线x=5,顶点为5,165.设此时对应的抛物线的表达式为y=a(x-5)2+165,又点(0,0)在此抛物线上,25a+165=0,解得a=-16125,此时球飞行路线应满足的抛物线的表达式为y=-16125(x-5)2+165,即y=-16125x2+3225x.类型3求抛物线形建筑物问题7.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米.求校门的高.(结果精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)解:以大门地面为x轴,它的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则抛物线过(-4,0),(4,0),(-3,4)三点.抛物线关于y轴对称,可设表达式为y=ax2+c,则16a+c=0,9a+c=4,解得a=-47,c=647,表达式为y=-47x2+647.顶点坐标为0,647.校门的高为6479.1(米).8.图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,从O,A两处观测P处,仰角分别为,且tan =12,tan =32,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)求点P的坐标;(2)水面上升1 m,水面宽多少?(2取1.41,结果精确到0.1 m)解:(1)过点P作PHOA于点H,如图.设PH=3x,在RtOHP中,tan =PHOH=12,OH=6x.在RtAHP中,tan =PHAH=32,AH=2x,OA=OH+AH=8x=4,x=12,OH=3,PH=32,点P的坐标为3,32.(2)若水面上升1 m后到达BC位置,如图,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的表达式可设为y=ax(x-4),P3,32在抛物线y=ax(x-4)上,3a(3-4)=32,解得a=-12,抛物线的表达式为y=-12x(x-4).当y=1时,-12x(x-4)=1,解得x1=2+2,x2=2-2,BC=(2+2)-(2-2)=222.8.答:水面上升1 m,水面宽约为2.8 m.9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为34 m,到墙边OA的距离分别为12 m,32 m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案?解:(1)根据题意,得B12,34,C32,34,把B,C的坐标代入y=ax2+bx,得34=14a+12b,34=94a+32b,解得a=-1,b=2,拋物线的函数关系式为y=-x2+2x.图案最高点到地面的距离为-224(-1)=1 m.(2)令y=0,得-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,102=5,最多可以连续绘制5个这样的拋物线形图案.类型4求销售中的最大利润问题10.(黄石中考)小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律:该蔬菜的销售价P(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足关系:P=9-x.该蔬菜的平均成本y(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足二次函数关系y=ax2+bx+10,已知4月份的平均成本为2元/千克,6月份的平均成本为1元/千克.(1)求该二次函数的表达式;(2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位:元/千克)最大?最大平均利润是多少?(注:平均利润=销售价-平均成本)解:(1)将x=4,y=2和x=6,y=1代入y=ax2+bx+10,得16a+4b+10=2,36a+6b+10=1,解得a=14,b=-3,y=14x2-3x+10.(2)根据题意,知L=P-y=9-x-14x2-3x+10=-14(x-4)2+3,当x=4时,L取得最大值,最大值为3.答:4月份的平均利润L最大,最大平均利润是3元/千克.11.某企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:y=7.5x(0x4),5x+10(44,不符合题意,5x+10=70,解得x=12.答:工人甲第12天生产的产品数量为70件.(2)由函数图象知,当0x4时,P=40;当4x14时,设P=kx+b,将(4,40),(14,50)代入,得4k+b=40,14k+b=50,解得k=1,b=36,P=x+36.当0x4时,W=(60-40)7.5x=150x,W随x的增大而增大,当x=4时,W最大=600元;当4600,当x=11时,W取得最大值,最大值为845元.答:第11天时,利润最大,最大利润是845元.
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