2019年秋季六年级上学期奥数第七讲比和比例应用题答案 (I).doc

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2019年秋季六年级上学期奥数第七讲比和比例应用题答案 (I)一、 生产队饲养的鸡与猪的只数比为26:5,羊与马的只数比为25:9,猪与马的只数比为10:3。求鸡、猪、马和羊的只数比。解:由题设鸡:猪26:5,羊:马25:9,猪:马10:3由比的基本性质可得:猪:马10:330:9羊:马25:9鸡:猪26:5156:30从而鸡:猪:马:羊156:30:9:25答:鸡、猪、马、羊的只数比为156:30:9:25。二、 下列各题中的两个量是否成比例?若成比例,请说明成正比例还是成反比例。(1) 路程一定时,速度与时间(2) 速度一定时,路程与时间(3) 播种面积一定时,总产量与单位面积的产量;(4) 圆的面积与该圆的半径;(5) 两个相互啮合的大小齿轮,它们的转速与齿数。解:(1)由于速度与时间的乘积等于路程,所以,当路程一定时,速度与时间成反比例。(2)由于路程与时间的比值为速度,所以,当速度一定时,路程与时间成正比例。(3)由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积,所以,当播种面积一定时,总产量与单位面积的产量成正比例。(4)设圆的半径为R,则圆的面积为R2,所以圆的面积与半径的积为R3,随半径的变化而变化,即圆的面积与半径不成反比例;而圆的面积与半径的比值为R,也随半径的变化而变化,即圆的面积与半径不成正比例。综上,圆的面积与半径不成比例。(5)由于齿轮的转速与的积等于单位时间内齿轮转过的总齿数,而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等,所以,他们的转速与齿数成反比例。三、 某小学共有学生697人,已知低年级学生数的等于中年级学生数的,低年级学生数的等于高年级学生数的,求该校低、中、高年级各有多少名学生?解:设低年级的学生数为“1”,则中年级学生数为,高年级的学生数为,从而,低、中、高年级的学生数的比为:低:中:高1:12:15:14,按比例分配得,低年级学生数:204(人),中年级学生数:255(人),高年级学生数:238(人),答:该校低、中、高年级的学生数分别为204人、255人、238人。四、 雏鹰小分队为“希望工种”搞了一次募捐活动。她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品,这三种商品的单价分别为30元、15元、和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6,乙商品与丙商品的数量之比为4:11,且购买丙商品比购买甲商品多花了210元,求这次募捐所得的钱数。解:已知:甲商品数:乙商品数5:6乙商品数:丙商品数4:11于是,甲商品数:乙商品数:丙商品数10:12:33,即甲、乙、丙商品分别有10份、12份、33份。由于购买丙商品比购买甲商品多花210元,所以,每份的商品数为210(1033-3010)7(件)。于是,甲商品数为:71070(件),乙商品数为:71284(件),丙商品数为:733231(件)。由此,募捐所得到的钱数为:3070+1584+102315670(元)。答:募捐所得到的钱为5670元。五、 A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时,B恰好转3圈;当B转4圈时,C恰好转5圈。问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少?解:由题设知,A转:B转4:3,B转:C转4:5,于是,A转:B转:C转16:12:15,从而,A齿:B齿:C齿15:20:16。由于15,20,16三数互质,且齿轮的齿数必为自然数,所以A、B、C的齿数最小分别为15,20,16齿。答:这三个齿轮的齿数最小数分别为12,20,16齿。六、 某高速公路收费站对过往车辆收费标准是:大客车30元,中巴车15元,其他车10元。某日通过该收费站的大客车和中巴车的数量之比为5:6,中巴车与其他车(不含大客车)的数量之比为4:11,收取标准为10元的其他车的通行费比大客车多270元。问:这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车各有多少辆?这天的总收入为多少元?解:由题设,大客:中巴5:6,中巴:其他4:11,故大客:中巴:其他10:12:33,于是270(1033-3010)9。因而大客车有91090(辆),中巴车有912108(辆),其他车有923297(辆)。由此,这天收入有3090+15108+102977290(元)。答:这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车分别有90辆、108辆、297辆。这天的总收入为7290元。十一、比和比例我们已经学习过比和比例的有关知识,下面我们首先复习一下有关的主要内容:(一)两个数的比实际上就是两个数的商.两个数a与b(b0)的比可记为:因此,除法、分数、比例实质上是一回事.我们在实际应用当中可以选择不同的形式。(二)两个数的比叫做单比,两个以上的数的比叫做连比,如abc(b0,C0),我们有时需要把几个单比化成连比.连比也满足比例的基本性质,即:abcnanbnc(n0)(三)如果两个变数y和x的比值(也就是商)一定,那么称y与x成正比例关系。下面举出一些两个变数成正比例关系的例子。(1)速度一定时,路程与时间成正比;时间一定时,路程与速度成正比.即:(2)亩产量一定时,播种面积与总产量成正比;播种面积一定时,总产量与亩产量成正比.即:(3)工作效率一定时,工作总量与工作时间成正比;工作时间一定时,工作总量与工作效率成正比.即:同学们还可以举出很多两个变数成正比例的例子,注意成正比例的关键在于两个变数的比恒定.又如商品单价一定,则商品总价与商品数量也成正比例。(四)如果两个变数x和y的乘积一定,那么称x与y成反比例关系。下面举出一些两个变数成反比例关系的例子。(1)路程一定时,速度与时间成反比例关系,即:速度时间=路程(定值)。(2)总产量一定时,亩产量与播种面积成反比,即:亩产量播种面积=总产量(定值)。同学们还可以举出很多两个变数成反比例的例子,注意成反比例的关键在于两个变数的积恒定.在日常生活中,如果多加观察,可以找到许多例子.如两个互相咬合的齿轮,齿数与转数成反比例关系。掌握好正、反比例关系对于分析解决一些实际问题有很大帮助.如全国人民要吃粮食,则粮食总需求量一定,而随着农田沙漠化和城市建设占用农田,使播种面积减小,我们就必须提高亩产量,以保证总产量不变。下面,我们就看一看具体的例子:例1 某单位买甲、乙两种钢笔共100支,已知甲钢笔每支3元,乙钢笔每支2元,且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多.求甲、乙两种钢笔各买了多少支。分析与解 我们前面已谈到,当某种商品单价一定时,所花钱总数与商品数量成正比,而本题中,所花钱总数(对于甲、乙两种钢笔来说)相同,则购物数量与单价成反比. 因为甲、乙两种钢笔单价之比为32,而它们所用总钱数相同,则由购物数量与单价成反比可知:甲、乙两种钢笔的数量之比为23,所以甲钢笔有:乙钢笔有 10040=60支。例2 解放前夕,中国人民解放军在数量上已占有优势,与国民党军队人数之比为32,以毛泽东为首的中国共产党人又发动强大的政治攻势,瓦解了10万国民党军队的军心,并促其投诚,这样,中国人民解放军与国民党军队在数量上的比值由32增强到21.求中国人民解放军人数。分析与解 设中国人民解放军人数为3份,国民党军队人数为2份,则有:所以,中国人民解放军总人数30万3=90万,加上投诚过来的10万,共有100万军队,这就是百万雄师渡长江的基础,这就是中国革命取得最终胜利的基础。例3 如图1,甲、乙、丙三个齿轮咬合,当甲轮转4圈时,乙轮恰好转3圈;当乙轮转4圈时,两轮恰好转5圈.求这三个齿轮的齿数最少应分别是多少?分析与解 为书写及叙述简便,我们用甲来表示甲的齿轮齿数,其余类同.由已知:甲乙=34(这是因为两个互相咬合的齿轮,齿数与转数成反比例关系),类似地,乙丙=54。这两个单比中,乙所占的份额分别是4和5,这两个数的最小公倍数是20,利用比例的基本性质,将这两个比变形为:甲乙=1520;乙丙=2016将这两个单比写成连比的形式,就有:甲乙丙=152016由于15, 20,16这3个数互质,且齿数必须为自然数,所以甲、乙、丙三个齿轮的齿数应最少分别为15,20,16。我们总结一下,“比和比例”的问题,首先在于理解其基本概念,尤其是“正比例”与“反比例”概念,分清题目中所给的是比值为定值还是乘积为定值.其次,对于出现两个或者两个以上的单比,我们要善于找到它们的联系,有的时候需要把它们化成连比。下面我们看一看“比和比例”在两类重要的应用题浓度问题、行程问题中的应用:例4 如图2,甲、乙二人绕一个长方形操场跑步.该操场长160米,宽120米,甲从A,乙从B相向而跑.结果第一次在E处相遇,E距A处60米,相遇后,甲、乙二人继续跑。问甲、乙二人能否在E处再次相遇?若相遇,这是甲、乙的第几次相遇?分析与解 由图知:BE=100米,这说明乙的速度比甲快,甲乙速度之比为35。假设能够再次在E处相遇,则此时,甲、乙都又跑了整数圈,由于时间相同,路程与速度成正比,所以甲、乙所跑路程(也就是圈数)与速度成正比,即:甲、乙所跑圈数为35.只需甲跑3圈,乙跑5圈,二人恰好在E处再次相遇。因为甲、乙相遇一次,就相当于合起来共跑了一圈,所以甲、乙共跑了(3+5=)8圈.所以从E处出发后,甲、乙两人共相遇了8次,这说明最后在E点相遇是甲、乙的第九次相遇(包括第一次在E点相遇)。行程问题的关键在于抓住路程、速度、时间三者中哪一个是不变的,从而另二者相应成正比或成反比。练习十一1.A、B两种商品的价格之比为73,如果它们的价格分别上涨70元,价格之比为74,问这两种商品原来的价格是多少元?2.猎犬发现在离它9米远的地方有一只奔跑着的野兔,立刻追赶,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔子要跑9步,但兔子动作较快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步.问:猎犬至少要跑多少米才能追上兔子?3.一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20,可以比原定时间提前一个小时到达,如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25,则可提前40分钟到达,求甲、乙两地相距多少千米?4.甲容器中有8的食盐水300千克,乙容器中有12.5的食盐水120千克.往甲、乙两个容器中倒入等量的水,使两个容器中食盐水浓度一样,问倒入水多少千克?5.甲齿轮有60齿,乙齿轮有36齿,为了使甲轮转动15圈带动乙轮转动8圈,需在甲、乙齿轮之间连接一个丙齿轮.丙齿轮是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮.丙轮上大轮与甲轮咬合,小轮与乙轮咬合,求丙轮上大、小齿轮齿数最少应分别是多少齿?(如图3)练习十一1. 210元,90元。设A种商品原来价格为7份,B种商品原来价格为3份,那么有:所以,A种商品原价:307210(元);B种商品原价:30390(元)。2. 54米。由题意,有(1)兔9步距离等于犬5步的距离;(2)兔3步时间等于犬两步时间.我们想办法将这两个已知条件转化为速度比,从而求出猎犬需经过多少米追上兔子。因为兔9步距离等于犬5步距离,所以可设兔一步为5距离单位,犬一步为9距离单位;又因为兔3步的时间等于犬两步的时间,所以可设兔每跑一步需2时间单位,犬每跑一步需3时间单位,由速度距离时间,有:所以兔、犬速度比为2.5356。因为当犬开始追兔子直到追上兔子,所用时间相同,即时间一定,因此,它们跑的速度与跑的距离成正比.兔在犬前9米,如果兔跑5个9米时.犬正好跑6个9米追上兔,也就是犬跑54米追上兔子。3. 270千米。车速提高20,现在车速与原来车速之比为:(120)165。现在行完全程的时间与原来时间的比为速度比的反比56,用现在车速行完全程可提前一小时到达,所以原车速行完全程用6小时。车速提高25,现车速与原车速之比为(125)154, 设甲乙两地相距x千米.则有:这是成正比例关系的,所以:4. 180千克。设倒入水x千克,由浓度相同,溶质重量与溶液重量成正比,有:5. 25齿,8齿记丙轮上大、小齿轮齿数分别为丙大、丙小,丙轮所转圈数为丙圈,根据齿数与转数成反比,有:15:丙圈=丙大:60;丙圈:8=36:丙小这两个比例的联系在于丙圈相同,由比例基本性质,有15:丙圈=3丙大:180;丙圈:8=180:5丙小,化为连比,有:15:丙圈:8=3丙大:180:5丙小.所以有 15:8=3丙大:5丙小,即丙大:丙小.=25:8.所以丙轮大小齿轮齿数最少分别是25齿和8齿。 比和按比例分配 XX年1月班级 姓名 一、填表比整数比比值比整数比比值75:100125:2:0.13.6:0.83.6:13:1:0.4吨:200千克米:15厘米二、填空。1、一个比的前项是,比值是,后项是( )。2、A:B=,若A扩大3倍,要使比值不变,B应( )3、男生的与女生的同样多,男生与女生的比是( )4、甲数除以乙数的商是0.8,乙数与甲数的比是( )5、盐占水的25%,盐与盐水的比是( )6、如果男生比女生多,男生与女生的比是( )。7、若A+B=,A:B=3:8,那么A= ( ),B=( )8、若A-B=,A:B=8:3,那么A= ( ),B=( )9、男生与女生的比为2:3,男生占全班人数的( ),女生占全班人数的( )10、两个圆的半径比为3:2,它们的周长比是( ),面积比是( )11、 已知AB:BC=1:4,那么三角形ABD与三角形DBC的面积的比为( )。 12、A:B=,那么2A:2B=( )13、甲乙两数的比是3:4,乙丙两数的比是5:6,那么甲乙丙三个数的比是( )14、正方形边长与周长的比是( );方体的表面积与一个底面积的比是( );的直径与周长的比是( )。15、把一个比的前项缩小5倍,后项扩大2倍后,比值是0.3,原来比值是( )16、3:4的前项加上6,要使比值不变,后项应加上( )。17、一个三角形的三个角的度数比为1:2:3,这个三角形中最大的角是( ),这是一个( )三角形。18、一个等腰三角的顶角与一个底角的度数比为2:5,这个三角形的底角是( )19、一项工程,甲要10天完成,乙要15天完成,甲乙完成这项工程的时间比为( ),工作效率比为( )。20、在一道减法算式中,被减数与减数的比为8:5,差比减数少24,这道减法算式是( )。二、选择题。1、若A的与B的相等(A与B均不为0),那么A:B=( ) 1 2、甲比乙多,那么甲数和乙数的比是( ) 1:4 4:5 5:4 3、一杯糖水,糖与水的比是1:16,喝掉一半后,糖与水的比是( ) 1:8 1:16 1:32 无法判断4、把甲班人数的调入乙班后,则两班人数相等,原来乙班与甲班的人数比是( ) 5:4 5:3 3:5 4:55、把15克的盐加在300克的水中,盐和盐水的比是( ) 1:19 1:21 1:20 15:300三、应用题1、学校买来一批书,共1000本,把这批书按3:4:5分给四、五、六三个年级,每个年级各分到多少本?2、(1)果园里梨树与桃树的比是3:5,这个果园里共有果树40棵,梨树与桃树各多少棵? (2)果园里梨树与桃树的比是3:5,已知桃树有40棵。这个果园共有果树多少棵? (3)果园里梨树与桃树的比是3:5,已知梨树比桃树少40棵,这个果园共有果树多少棵?3、一个长方形的周长是40分米,它的长与宽的比是3:2,这个长方形的面积是多少?4、小明在期末考试中数文、数学、英语的均分为75分,它的三门学科成绩的比为8:8:9,它的三门成绩分别是多少?5、把一段长96厘米的铁丝做一个长方体框架,长方体的长宽高的比是5:4:3,这个长方体的长、宽、高分别是多少?6、加工一批零件,王师傅每小时加工48个,与李师傅每小时加工个数的比是4:5。两个共同加工3小时,可以加工多少个零件?7、工厂买来120吨生产原料,其中的分给一车间,其余的按3:5分给甲乙两个车间,甲乙两个车间各分到多少吨?8、一种药水是用药粉和水按3:100配成的。(1)要配制这种药水515千克,需要药粉多少千克?(2)有水60千克,需要药粉多少千克?(3)用90千克的药粉,可配成多少千克的药水?9、一杯盐水,盐与盐水的比为1:5,再加上16克盐后,盐与盐水的比为1:4,原来盐水有多少千克?10、甲乙两地相距600千米,两车分别从两地相向同时出发,3小时后两车相遇,已知快车与慢车的速度比为11:9,快车与慢车的速度分别是多少?11、某车间有140名职工,分成三个生产小组,已知第一组和第二组人数比为2:3,第二组和第三组人数比为4:5,这三个小组名有多少人?12、一班和二班的人数比为8:7,如果将一班的8名同学调到二班去,那么一班和二班的人数的比为4:5,求原来两班各有多少人?13、小明骑车去旅游,2小时行了全程的,离中点还有8千克,小明离目的地还有多远?14、校图书室有故事书、科技书、文艺书三种,其中故事书是总数的,科技书与故事书的比为7:8,已知故事书比文艺书多144本,三种书各有多少本?比和比例应用题1.小明三天读完一本书,第一天读了全本书的一半少32页,第二天读了2、甲、乙两人去看电影,一张电影票价是甲所有钱的6/25,是乙所有钱的3/5。当他们各自买了电影票后,甲剩下的钱比乙剩下的钱多3元。问甲、乙买电影票前各有多少钱?3、男生比全校学生总数的3/5还少63人,男生比女生多26人。六年级中,男生与女生的人数之比是3531,男生比女生多8人.问其他年级中女生有多少人?4.A,B两个盘子,放着黑子和白子.在A中有2700个棋子,其中黑子 多少个?5.陆地与海洋的面积之比,在北半球是23,在南半球是14.求地球上陆地与海洋的面积之比.6、一块地由三台拖拉机耕完。甲耕了这块地的2/5,乙耕的地比丙耕的多1/4,乙比甲少耕100亩。问这块地有多少亩?7.孙悟空有仙桃,机器猫有甜饼,米老鼠有泡泡糖.他们按下面比例互换:仙桃与甜饼为35,仙桃与泡泡糖为38,甜饼与泡泡糖为710. 现在孙悟空各拿出90个仙桃与其他两位互换,机器猫共拿出甜饼269个与其他两位互换,问米老鼠拿出互换的泡泡糖有多少个?8.水池的水面上立着两根木桩,露出水面部分的长度之比是101.当水面下降20厘米后,露出水面部分的长度之比变成52.求较短的一根木桩,原来露出水面部分是多少厘米?9.小明有12元,小强有7.8元,他们去买每本0.75元的笔记本,小明比小强多买了2本,小明与小强剩下的钱数之比是53.问小明买了几本笔记本?10.甲、乙两人收入的钱数之比是85,开支的钱数之比是43,甲结余152元,乙结余69元.问甲、乙两人收入各多少元? 11.有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑、白两色棋子.第一堆 三堆棋子集中在一起,求黑子数与白子数之比.12.小明要写152页字,小强要写150页字.从暑假第一天起,小明每天写3页,小强每隔一天写4页(第一天写4页,第二天不写,第三天写4页).当小强未写的页数是小明未写的页数的2倍时,问这是第几天?比和比例应用题1.按比例分配问题,我们一般知道或先求出其各部分的比,再把各部分的比转化为关于总数的几分之几,就可以按分数应用题的方法来解答了。根据所给条件的不同,有给单比或连比的,有有的给两个比要化为连比,有的给两个乘积要转化为比。2.正、反比例问题主要是要善于分析数量关系中每份数、份数和总数量的关系,确定其中是正比例关系还是反比例关系。3.浓度配比问题,一般有一个基本数量关系:溶液浓度=溶质。对于几种溶液的混合,我们要抓住几个相等关系:溶质+溶剂=溶液;新溶液质量=原溶液质量之和,当抓住其中的等量关系后,一般用方程解答较方便。题1xx全国小学数学奥林匹克预赛幼儿园大班和中班共有32个男生,18个女生。已知大班中男生数与女生数的比为5:3,中班中男生数与女生数的比为2:1,那么大班中女生有多少人? 全解设大班中女生数为x,则大班中男生数为5x/3,中班女生为(18-x),男生为(18-x)2/1,列方程,得5x/3(18-x))2/1=32 解得 x=12答:那么大班的女生人数为12人。 精析两个数量之间比的关系,也就是两个数量的倍数关系,由题意可知,大班中男生数是女生数的5/3,中班中男生数是女生数的2/1。假如设大班中女生数为 x,则男生数为5x/3;中班女生数为18x,男生数为(18x)2,这样可以列方程解答。 题2xx第九届“小学生数学报”数学竞赛某种产品由A、B、C三个部件组成,一个工人每天可生产5个 A,或者生产3个B,或者生产6个C,要使工厂每天生产的产品尽量多,该厂的210名工人应如何分工?该厂一天最多可生产多少个这种产品? 全解生产A、B、C三种部件的人数比是:。生产A、B、C部件的人数是: 每个部件个数是: 650=300(个)答:生产A、B、C产品的人数是60人,100人,50人。该厂一天最多可生产300个。 精析要使每天生产的产品尽量多,就要使 A、B、C三种部件的个数一样多。人数就要按需要按比例分配,在部件个数一样的情况下,效率与人数成反比,所以生产A、B、C部件的人数之比是。把210人按6:10:5的比例分配人数,再计算出每天的部件数,就是产品数。 题3xx“我爱数学”少年数学夏令营竞赛已知小明与小强步行的速度比是2:3,小强与小刚步行的速度比是4:5。已知小刚10分钟比小明多走420米,那么小明在20分钟里比小强少行多少米? 全解小明、小强步行的速度比是2:3=8:12;小强、小刚步行的速度比4:5=12:15;所以小明、小强、小刚步行速度连比是8:12:15。小刚和小明速度差是4201042米,那么小明和小强的速度差就是42010(15-8)(12-8)=24(米)。所以 2420=480(米) 答:20分钟少走480米。 精析本题反映小明、小强、小刚三者之间的速度关系,首先把两者之间速度比转化为三者速度的连比:8:12:15,由题意42010就对应1587(份);小明与小强的速度差就对应1284分。先求出每份的速度,再求出3份对应的速度。进而求出小明20分钟里比小强少走的米数。 题4xx广东省小学数学竞赛小芳爱读书,她读一本少年英雄故事书,读了几天后,已读的页数与未读页数之比是3:5,后来又读27页,这时已读页数与未读页数之比是9:7。这本书共有多少页?全解几天后已读页数占总页数的后来已读页数占总页数的, 故此书共有:27()=144(页)答:这本书共有144页。 精析将比转化为已读页数与总页数之比。把总数看成单位“1”,分率()对应于27页,所以27()就求出总页数。 题5xx北京市第十四届“迎春杯”小学数学竞赛某车间把一笔奖金分为一、二、三等奖。已知每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍,每个二等奖的奖金又是每个三等奖金的2倍。如果评出一、二、三等奖各两人,那么每个一等奖的奖金是308元;如果评出一个一等奖,两个二等奖,三个三等奖,那么一等奖的奖金是多少元? 全解第一种评法一、二、三等奖金额之比是(42):(22):(12)=4:2:1,奖金总额为3082=1078(元)。第二种评法一、二、三等奖金金额之比是(41):(22):(13)=4:4:3。故可得。 答:一等奖的奖金是392元。 精析由题意第一种评法,一、二、三等奖金额的比是(42):(22):(12)=4:2:1,由此可知总奖金金额:第二种评法,一、二、三等奖金额之比是(14):(22):(13)=4:4:3,把奖金按比例分配就可求出一等奖的奖金。 题6xx“我爱数学”少年数学夏令营竞赛一队和二队两个施工队的人数之比是3:4,每人工作效率之比为5:4。两队同时分别接受两项工作量完全相同的工程,结果二队比一队早完工9天。后来,由一队工人的2/3与二队工人的1/3组成新一队,其余的工人组成新二队,两支新队又同时分别接受两项工作量完全相同的工程,结果新二队比新一队早完工6天。那么前后两次工程的工作量之比是多少? 全解根据原一队与二队工效之比(35):(44)=15:16,设原一队工作x天,则x:(x-9)=x=144根据新一队与新二队工效之比(532/3+441/3):(531/3+442/3)=46:47,则两种工程工作总量之比是: (45144):(46282)=540:1081答:前后两次工程的工作量之比是540:1081。精析首先抓住两队工效之比:(35):(44)=15:16,假设一队完成工作时间为x,则x:(x-9)=,x=144,为原一队完成工作的时间。再根据新一队、新二队工效之比就是新一队完成工作的时间。然后,由原一队与新一队工效之比是:求出前后两种工程的工作量之比。 题7xx北京市小学数学竞赛使用甲种农药每于克要兑水20千克,使用乙种农药要兑水40千克。根据农科院专家的意见,把两种农药混合起来可以提高药效。现在两种农药共50千克,要配药水1400千克,那么其中甲种农药用了多少千克? 全解设甲种药用了x千克,需兑水20x千克,则乙种药需要(50-x)千克,需兑水(50-x)40千克,列方程20x+(50-x)40+50=1400答:其中甲种农药用了32.5千克。 精析由题意可知第一种药水中,药与水的比是1:20,第二种药水中,药与水的比是1:40,现在要配药水1400千克,必有药+水=药水的等量关系。根据等量关系式可列方程解答。/P比和比例应用题【求比的问题】例1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是23,第二个容器中盐与水的比是34,把这两个容器中的盐水混合起来,则混合溶液中盐与水的比是_。(无锡市小学数学竞赛试题)则混合溶液中,盐与水的比是:某电子产品去年按定价的80出售,能获利20,由于今年买入价降(1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题)即:【比例问题】例1 甲、乙两包糖的重量比是41,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比变为75 那么两包糖重量的总和是_克。(1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题)例2 甲容器中有纯酒精11升,乙容器中有水15升,第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5,乙容器中纯酒精含量为25,那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是_升。(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)讲析:因为现在乙容器中纯酒精含量为25,所以,乙容器中酒精与水的比为25(1-25)=13第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器,才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是515=13又甲容器中纯酒精含量为62.5,则甲容器中酒精与水的比为62.5(1-62.5)=53第二次倒后,要使甲容器中纯酒精与水的比为53,不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份,水作3份。那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6(升)6升算作4份,这样可恰好配成53。而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为13=4(份),所以也应是6升。比的应用例1 幼儿园买来4箱苹果,每箱30千克,把这些苹果按1:2:3分给大班、中班、小班的小朋友,每个班的小朋友各分得多少千克?分析:本题可根据“把这些苹果按1:2:3分给大班、中班、小班的小朋友”推出大班小朋友应分得总数的,大班小朋友应分得总数的,大班小朋友应分得总数的,再找出苹果的总千克数:304=120(千克),最后再根据求一个数的几分之几是多少的方法进行计算。当堂练习:1某小学小卖部新进8盒钢笔,每盒12支。一个星期后已经卖出的和剩下的比是5:3,还剩多少支没有卖?例2 一块长方形草地,周长80米,长与宽的比是3:2,这块地的面积为多少平方米?分析:本题要求这块长方形地的面积,需要知道这块地的长和宽,题中已经知道长和宽的比是3:2,还必须知道长与宽的和(或差)才能求出长和宽。特别要注意周长不是长与宽的和,长+宽=周长2,最后用“按比例分配”的方法求出长和宽,再用“长宽”求出长方形草地的面积。结论:以上两例题是典型的按比例分配解答的实际问题,但没有将总数直接告诉我们,需根据题中的条件求出,再进行分配。当堂练习:2用48厘米长的铁丝正好搭成一个长方体框架(接头处忽略不计)。已知它的长、宽、高的比是3:2:1,求它的体积。例3 甲、乙两筐苹果的重量比是5:3,从甲筐取出12千克放入乙筐,这时两筐苹果一样重,两筐苹果原来各重多少千克?分析:从“从甲筐取出12千克放入乙筐,这时两筐苹果一样重”说明甲筐苹果要比乙筐苹果多122=24千克,甲、乙两筐苹果的重量比是5:3,说明甲筐苹果比乙筐多甲筐的,再用“24”得出甲筐苹果的千克数。想一想,还可以怎样做?若本题改一个条件“从甲筐取出12千克放入乙筐,这时乙筐苹果比甲筐苹果多8千克”,其余条件不变,你还能解答吗?结论:本类题已知两个量的比及两个量的差,可根据“比”找出差对应的分率,再用差除以分率求出其中一个量,再求出另一个量,本题也可利用差和比求出每份数,再用每份数乘相应的数即可。当堂练习:3书橱上、下两层书的本数比是,如果从上层拿12本书放到下层,则两层书的本数同样多,原来上、下两层的书各有多少本?例4 实验小学美术、舞蹈、合唱三个课外小组共有140名学生,美术与舞蹈小组人数的比是2:3,舞蹈与合唱小组的人数比是4:5。这三个小组各有多少人?分析:本题中三个小组的总人数知道了,只要知道三组的人数比即可,从“美术与舞蹈小组人数的比是2:3,舞蹈与合唱小组的人数比是4:5”中可以发现舞蹈小组人数是两个比的中间量,要把3份和4份统一成相同的份数,3和4的最小公倍数是12,则2:3=8:12,4:5=12:15,则三个小组的人数比是8:12:15。结论:本题在应用比解题时,三个量的比没有直接告诉我们,而是两个两个呈现出来,可抓住一个中间量,求出三个量的比,再用按比例分配的方法解答。当堂练习:4植物园一共种了三种树共1230棵,其中杉树与樟树的棵数比是4:5,樟树与柳树的棵数比是15:14,三种树各种多少棵?综合练习:1一杯果汁,喝去后用水加满,又喝去后,再用水加满,这时杯子里的水和果汁的比是( )。2A是B的倍,B是C的,那么A:B:C=( )。3一本书,小红用3天看完,冬冬用4天看完,则小红和冬冬每天所看页数的最简比是( ),冬冬和小红所看的时间比是( )。4如图所示的圆表示一天的时间,阴影部分表示小军昨天的睡眠时间,估计一下,小军昨天的睡眠时间与一天的时间比大约是( ):( ),这一天中小军除去睡眠的时间大约还有( )小时。5在一个花篮里,有郁金香、百合、康乃馨这三种花,且是按4:3:2的比搭配的。如果一个花篮要插90朵花,那么这三种花各有多少朵? 6一种什锦糖是由软糖、水果糖、奶糖按1:3:4的比配制而成。(1)如果要配制120千克这样的什锦糖,那么三种糖各需要多少千克?(2)如果三种糖各有27千克,那么配制上述什锦糖时,当水果糖用完后,奶糖应增加多少千克?软糖还剩多少千克?7一瓶盐水,盐和水的重量比是1:24,如果再放入75克水,这时盐与水的重量比是1:27,原来瓶内的盐水重多少千克? 8某小学男、女生人数之比是16:13,后来有几位女生转学到这所学校,男、女生人数之比变成为6:5,这时全体学生共有880人,则转来的女生有多少人? 9小明读一本书,已读的和未读的页数比是1:5,如果再读30页,则已读的和未读的页数之比是3:5。这本书共有多少页? 10一个直角三角形的周长为36厘米,三条边的边长之比是3:4:5,这个三角形的面积是多少平方厘米? 11某天上午9时,一位工作人员准备测量一座建筑物的高度,已知他手上的一根测杆长0.8米,影长1.2米,此时建筑物的影长为99米,你知道这座建筑物的高吗? 比的应用(一)测试题1、 某化学品店一种硫酸溶液是将硫酸和水按1:9配制的,根据这些信息,你能知道什么?2、 六(1)班将56名同学,分成三个小组进行课外活动。已知第一小组和第二小组人数的比是3:5,第二小组和第三小组人数的比是5:6.这三个小组各有多少人?3、 甲、乙两校原有篮球只数的比是2:1,如果甲校给乙校4只,甲、乙两校篮球只数的比是4:3.原有甲校有篮球多少只?4、 修一条路,已修和未修的千米数比是3:5.如果再修12千米,则已修的和未修的千米数比为9:11.这条路共长多少千米?5、 甲、乙、丙三人同时从A向B跑,当甲跑到B时,乙离B还有40米;当乙跑到B时,丙离B还有20米,A、B相距多少米?6、 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是2:3;第二个容器中盐与水的比是3:4.把这两个容器中的盐水都倒入另一个大容器中。那么,混合溶液中盐与水的比是多少?7、 幼儿园的小朋友分三队参加游戏。第一队与第二队人数的比是6:5,第二队与第三队人数的比是3:4,已知第一队的人数比二、三两队人数的总和少17人。幼儿园参加游戏的共有多少人?8、 科技组与气象组人数的比是5:4,气象组与美术组人数的比是2:3.已知美术组与科技组共有55人。美术组比气象组多多少人?9、 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,当甲到达B地时,乙车距A地10千米,当乙车到达A地时,甲车超过B地20千米,A、B两地相距多少千米?10、 师徒两人各加工同样多的零件,同时加工,当师傅完成任务时,徒弟还有30个没有完成,当徒弟完成任务时,师傅可以超额完成50个,这批零件总数共多少个?11、 甲、乙两班人数相同,甲班男生与女生人数的比是3:4,乙班男生与女生人数的比是4:5,求甲、乙两班总人数中男、女人数的比是多少?12、 一个长方形与一个正方形的周长之比是6:5,长方形的长是宽的倍,求这个长方形与正方形的面积之比?比的应用(二)测试题1、 小华和小刚分别从家到电影院看电影,小华比小刚走的路程少,而小刚比小华花的时间多,求两人的速度比。2、 甲、乙两个学生放学回家,甲比乙多走的路,乙用的时间比甲少,求甲、乙两人的速度比。3、 制造一个零件,甲需8分钟,乙需6分钟,丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人,要求在相同时间内完成,毎人应该分配到多少个零件?4、 有甲、乙两杯含盐量不同的盐水,甲杯盐水重100克,乙杯盐水重60克。现在从两杯中倒出等量的盐水,分别交换倒入两杯中,这时盐水的含盐量相等,从毎杯倒出盐水多少克?5、 甲书架上的书是乙书架上的4:7,两个书架上各增加55本后,甲书架上的书与乙书架上的书的比是5:6,甲、乙两书架上原来各有多少本书?6、 甲、乙两个圆柱体容器,底面积之比为5:3,甲容器水深6厘米,乙容器水深4厘米,再往两个容器注入同样多的水,直到水深相等,这样乙容器的水面上升多少厘米?7、 甲、乙、丙三人进行锻炼,甲走的路程比乙多,乙走的路程比丙少,甲用的时间比乙多,乙用的时间比丙少,甲、乙、丙三人的速度比是多少?8、 一辆自行车毎小时行12千米,一辆摩托车毎行1千米比自行车少用3分钟,摩托车的速度是自行车的多少倍?9、 小明的课外书是小芳的6倍,如果两人各拿走2本后,小明现有的课外书就是小芳的8倍,小明原有课外书多少本?10、 加工西服要三道工序,专做第一、二、三工序的工人毎小时分别能完成西服30套、24套、20套,现有90名工人,要使每天三道工序完成的套数相同,毎道工序应安排多少名工人?11、 甲、乙两个圆柱体容器,底面积之比为4:1,甲容器水深8厘米,乙容器水深5厘米,再往两个容器中注入同样多的水,直到水深相等,这样乙容器的水面应上升多少厘米?12、有大、小两个圆,小圆的面积是50平方厘米,大圆的直径比小圆大20%,大圆的面积比小圆的面积大多少平方厘米?比和比的应用练习题一、填空题:1、六(1)班有男生20人,女生30人,男生与女生人数的比是( ),男生与总人数的比是( )。2、甲数是乙数的3/5,甲数与乙数的比是( )。3、一本书,看了2/7,看了的与没看的比是( )。4、一辆汽车6小时行了360千米,这辆汽车行驶的路程和时间的比是( ),比值是( ),比值表示( ),这辆汽车行驶的时间和路程的比是( ),比值是( ),比值表示( )。5、3:8=( )24=24( )=( )%6、甲数的等于乙数的5/9,甲数与乙数的比是( )7、甲、乙、丙三个数的平均数是60。甲、乙、丙三个数的比是321。甲、乙、丙三个数分别是( )、( )、( )。8、一个直角三角形的两个锐角度数的比是21,这两个锐角分别是( )度,( )度。9、甲数除以乙数的商是0.35,甲乙两数的最简整数比是( )。10、两个连续的偶数的和是74,这两个偶数的最简比是( )。11、小明2小时行5km,小华3小时7km,小明和小华所行时间的比是( ):( ),小明和小华所行路程的比是( ):( )12、六(1)班有男生25人,女生20人,男生和女生人数的最简整数比是( ):( ),女生和全班人数的比是( ):( )13、( ):6=0.75 6:( )=0.7514、9( )=0.6=( ):20=30:( )15、一项工程,甲队单独做5天完成,乙队单独做7天完成,甲乙两队单独完成这项工程的时间比是( ):( ),每天完成的工作量的比是( ):( )。16、甲乙两数的比是4:5,如果甲乙两数的和是45,甲数是( );如果和是81,甲数是( )。二、求比值2432 561.4 0.152.5 0.8 1.2三、化简比(12分) 128340.542.70.4米60厘米四、判断1、50米:5米=10米( )2、一杯盐水,盐占盐水的1/10,盐和水的比是19( )3、4:3的后项加上6,要想比值不变,前项也要加上6。( )4、2/3既可以看作分数,也可以看作比。( )5、六一班有男生25人,女生24人,女生和全班人数的比是2425( )6、苹果和梨的质量比是8:5,苹果的质量是梨的。( )7、一场足球比赛的比分是2:0,因此,比的后项可以是0。( )8、小强身高1m,爸爸身高170cm,爸爸和小强身高的比是17:10。( )9、六(1)班男生是女生的1.2倍,男生和女生的比是6:5。( )10、0.8:0.4化简比的结果是2.( )五、解决问题1、沙、石共36吨,沙与石的比是18,沙、石各是多少吨?2、一个长方形周长是88cm,长与宽的比是47。长方形的长、宽各是多少厘米?面积是多少?3、男工40人,男工与女工的比是45,女工有多少人?一共有多少人?4、男工与女工的比是45,女比男多4人,男、女各多少人?5、一个三角形的内角度数的比是321,按角分这是个什么三角形?6、水是由氢和氧按1:8的质量比化合而成的,7.2 kg水中,含氢和氧各多少千克?7用84cm长的铁丝围成一个三角形,这个三角形三条边长度的比是3:4:5.这个三角形的三条边各是多少厘米?8小明和小华存钱数的比是3:5,如果小明再存入400元,就和小华的存钱一样多。小明原来存了多少钱?9一种什锦糖是按2份奶糖、5份水果糖和3份软糖混合成的。要配制这样的什锦糖40kg,需要水果糖多少千克?10一个长方形的长和宽的比是5:4,这个长方形的周长是36cm。它的长和宽分别是多少?比的应用 练习一一、填空:1、甲、乙两数的比是3:2,甲数是乙数的( )倍,乙数是甲数的。2、某班男生人数与女生人数的比是,女生人数与男生人数的比是( ), 男生人数和女生人数的比是( ),女生人数是总人数的比是( )。3、一本书,小明计划每天看,这本书计划( )天看完。4、一根绳长2米,把它平均剪成5段,每段长是米,每段是这根绳子的。5、王老师用180张纸订5本本子,用纸的张数和所订的本子数的比是( ),这个比的比值的意义是( )。6、一个正方形的周长是米,它的面积是( )平方米。7、甲乙两数的比是5:6,甲数是10,乙数是( )。8、甲数的等于乙数的,甲数与乙数的比是( )。9、把甲数的给乙,甲、乙两数相等,甲数是乙数的,甲数比乙数多。10、甲数比乙数多,甲数与乙数比是( )。乙数比甲数少。二、化简比并求比值。三、应用题:1、建筑工人用水泥、沙子、石子按2:3:5配制成96吨的混凝土,需要水泥、沙子、石子各多少吨?2、甲、乙两个数的平均数是25,甲数与乙数的比是3:4,甲、乙两数各是多少?3、一个直角三角形的两个锐角的度数比是1:5,这两个锐角各是多少度?4、一块长方形试验田的周长是120米,已知长与宽的比是2:1,这块试验田的面积是多少平方米?5、一种药水是用药物和水按3:400配制成的。(1)要配制这种药水1612千克,需要药粉多少千克?(2)用水60千克,需要药粉多少千克?(3)用48千克药粉,可配制成多少千克的药水?6、商店运来一批电冰箱,卖了18台,卖出的台数与剩下的台数比是3:2,求运来电冰箱多少台?7、六(1)班原有学生52人,后来又调进女生4人,这时女生人数是男生人数的,六(1)班原来有女生多少人?四、思维训练纸箱里有红绿黄三色球,红色球的个数是绿色球的,绿色球的个数与黄色球个数的比是4:5,已知绿色球与黄色球共81个,问三色球各有多少个?比的应用 练习二1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积比是3 :1,另一个瓶中酒精与水的体积比是4 :1。如果把这两个瓶中酒精溶液混合,混合溶液中酒精和水的比是(
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