圆的综合带解析（2019年中考数学复习专题）

圆的综合带解析（ 2019 年中考数学复习专题）专题七 圆的综合中考备考攻略纵观近 5 年中考数学试卷,圆的综合考查在每年的第26 题出现,主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型和直角三角 形模型,其中 2014 年第 26 题属 于直角三角形模型；2015 年第 26 题属于等腰三角形模型；2016 年第 26 题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017 年第 26 题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018 年第 26 题属于等腰三角形模型和直角三角形模型,切线的判定为必考考点,2019 年第 26 题将继续考查.解决圆的综合问题的几个要点：(1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系,找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角；(2)已知直径,找直径所对的圆周角；(3)已知切线或证 明相切关系,连接过切点的半径；(4)已知“弦的中点”和“弧的中点”,连接中点和圆心, 利用垂径定理的推论得出相关结果；(5)圆心是直径的中点,考虑中位线；(6)同圆的半径相等,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理；(7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”.中考重难点突破垂径定理模型例 1 (2018郴州中考)已知 BC 是 O 的直径,点 D 是BC 延长线上一点,AB AD,AE 是O 的弦,AEC 30 .(1)求证：直线 AD 是O 的切线；(2)若 AEBC, 垂足为点 M,O 的半径为 4,求 AE 的长.【解析】(1)先得出ABC30,进而求出OAB30,BAD120 ,结论得证；(2)先求出AOC60,用三角函数求出 AM,再用垂径定理即可得出结果.【答案】(1)证明：连接 OA.AEC30 ,ABC30.ABAD,D ABC 30 .根据三角形的内角和定理得,BAD120 .OAOB, OABABC30,OADBADOAB90,OAAD. 点 A 在O 上,直线 AD 是O 的切线；(2)解：A EC30,AOC60.BCAE 于点 M,AE2AM, OMA90.在 RtAOM 中,AMOAsin AOM4sin 6023,AE 2AM43.等腰三角形模型例 2 (2018 永州中考)如图,线段 AB 为O 的直径,点 C,E 在O 上,BCCE ,CDAB,垂足为点 D,连接BE,弦 BE 与线段 CD 相交于点 F.(1)求证：CFBF ；(2)若 cos ABE45,在 AB 的延长线上取一点 M,使BM4,O 的半径为 6.求证：直线 CM 是O 的切线.【解析】(1)延长 CD 交O 于点 G,如图,利用垂径定理得到 BCBG,则可证明 CEBG,然后根据圆周角定理得CBEGCB,从而得到 CFBF ；(2)连接 OC 交 BE 于点 H,如图,先利用垂径定理得到OCBE, 再在 RtOBH 中利用解直角三角形得到BH245,OH185, 接着证明OHBOCM 得到OCMOHB 90,然后根据切线的判定定理得到结论.【答案】证明：(1)延长 CD 交O 于点 G.CDAB,BCBG .BCCE,CE BG,CBEGCB,CF BF；(2) 连接 OC 交 BE 于点 H,如图.BCCE,OCBE.在 RtOBH 中,cos OBH BHOB45,BH456245, OH622452185.OHOC 185635,OBOM66435,OHOCOBOM.又HOB COM,OHB OCM,OCMOHB90,OCCM,直线 CM 是O 的切线.1.(2018宿迁中考) 如图,AB,AC 分别是O 的直径和弦,ODAC 于点 D,过点 A 作O 的切线与 OD 的延长线交于点 P,PC,AB 的延长线交于点 F.(1)求证：PC 是O 的切线；(2)若ABC60 ,AB10,求线段 CF 的长.(1)证明：连接 OC.ODAC,OD 经过圆心 O,ADCD,PAPC.在OAP 和OCP 中,OAOC，PAPC，OPOP ，OAPOCP(SSS), OCP OAP.PA 是 O 的切线,OAP90.OCP 90 ,即 OCPC,PC 是 O 的切线；(2)解：AB 是直径,ACB90 .ABC60,CAB30,COF60.PC 是 O 的切线,AB10,OCPF,OC OB12AB 5,CFOCtan COF53.2.(2018白银中考) 如图,在ABC 中,ABC 90.(1)作ACB 的平分线交 AB 边于点 O,再以点 O 为圆心,OB 的长为半径作O；( 要求：不写作法 ,保留作图痕迹)(2)判断(1)中 AC 与O 的位置关系,直接写出结果.解：(1)如图；(2)相切.过点 O 作 ODAC 于点 D.CO 平分ACB,OBOD,即圆心 O 到直线 AC 的距离 dr,O 与直线 AC 相切.3.(2018玉林中考 )如图,在ABC 中, 以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D,DACB.(1)求证：AC 是O 的切线；(2)点 E 是 AB 上一点,若BCE B,tan B 12,O的半径是 4,求 EC 的长.(1)证明：AB 是直径,ADB90,BBAD90.DACB, DAC BAD90,BAC90,ABAC. 又AB 是直径,AC 是O 的切线；(2)解：BCE B,EC EB.设 ECEBx.在 RtABC 中,tan BACAB 12,AB8,AC4.在 RtAEC 中,EC2AE2AC2,x2(8x)242,解得 x5,EC5.直角三角形模型例 3 (2018聊城中考)如图,在 RtABC 中,C90,BE 平分ABC 交 AC 于点 E,作 ED EB 交 AB 于点D,O 是BED 的外接圆.(1)求证：AC 是O 的切线；(2)已知O 的半径为 2.5,BE4, 求 BC,AD 的长.【解析】(1)连接 OE,由 OBOE 知OBEOEB,又由 BE 平分ABC 知OBECBE,据此得OEBCBE,从而得出 OEBC,进一步即可得证；(2)证BDEBEC 得 BDBEBEBC,据此可求得 BC 的长度,再证AOEABC 得 AOABOEBC,据此可得AD 的长.【答案】(1)证明：连接 OE.OBOE,OBEOEB.BE 平分ABC,OBECBE.OEBCBE,OEBC.又C90, AEO90,即 OEAC.AC 是O 的切线；(2)解：EDBE, BED C90.又DBEEBC,BDE BEC,BDBEBEBC,即 544BC, BC 165.AEOC90,AA,AOEABC, AOAB OEBC,即AD2.5AD5 2.5165,AD457.4.(2018柳州中考) 如图,ABC 为O 的内接三角形,AB 为O 的直径, 过点 A 作O 的切线交 BC 的延长线于点 D.(1)求证：DACDBA；(2)过点 C 作O 的切线 CE 交 AD 于点 E,求证：CE12AD；(3)若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点,连接 CF 交 AB 于点 G,且 AD6,AB3,求 CG 的长. (1)证明：AB 是O 直径,ACDACB 90 .AD 是O 的切线,BAD90,ACDBAD90.D D,DA CDBA；(2)证明：EA,EC 是O 的切线,AE CE( 切线长定理 ).DACECA.ACD90,ACEDCE90,DACD90.D DCE. DECE.ADAEDECECE 2CE.CE12AD；(3)解：在 RtABD 中, AD6,AB3,tan ABDADAB 2.过点 G 作 GHBD 于点 H,则 tan ABDGHBH2,GH 2BH.点 F 是直径 AB 下方半圆的中点,BCF 45 .CGHCHGBCF45,CHGH2BH,BC BHCH 3BH.在 RtABC 中,tan ABCACBC 2,AC2BC.根据勾股定理,得 AC2BC2 AB2,4BC2 BC29,BC355.BH55,GH 2B H255.在 RtCHG 中,BCF45,CG2GH 2105.中考专题过关1.(2018昆明中考) 如图,AB 是O 的直径,ED 切O 于点 C,AD 交O 于点 F,AC 平分BAD, 连接 BF. (1)求证：ADED；(2)若 CD4,AF2,求O 的半径.(1)证明：连接 OC,如图.AC 平分BAD,OACCAD.OAOC,OACOCA,CADOCA,OC AD.ED 切O 于点 C,OCED,ADED；(2)解：设 OC 交 BF 于点 H,如图.AB 为直径, AFB90,易得四边形 CDFH 为矩形,FHCD4, CHF90,OHBF,BHFH4, BF8.在 RtABF 中,ABAF2BF22282217,O 的半径为 17.2.(2018北部湾中考) 如图,ABC 内接于O,CBGA,CD 为直径,OC 与 AB 相交于点 E,过点 E 作 EFBC,垂足为点 F,延长 CD 交 GB 的延长线于点 P,连接 BD.(1)求证：PG 与O 相切；(2)若 EFAC58,求 BEOC 的值；(3)在(2) 的条件下,若O 的半径为 8,PDOD,求 OE 的长.(1)证明：连接 OB,则 OBOD,BDCDBO.BDCBACCBG,CBGDBO.CD 是O 的直径,DBOOBC 90,CBGOBC90,OBG90,PG 与O 相切；(2)解：过点 O 作 OMAC 于点 M,连接 OA,则AOMCOM 12 AOC.又BFEOMA90,EBF 12AOCAOM,BEF OAM,EFAMBEOA.AM12AC,OAOC,EF12AC BEOC.又EFAC58, BEOC2EFAC25854；(3)解：PDOD,PBO90,BDOD8.在 RtDBC 中,BCDC2BD283 ,cos BDOBDCD816 12, BDO60,OCB30,EFEC12,FCEF3.设 EFx,则 EC 2x,FC3x,BF833x.在 RtBEF 中,BE2 EF2BF2,BE54OC 10.100x2(83 3x)2,解得 x6 13.6 13 8( 舍去),x6 13,EC12213.OE8(12 213)2134.3. (2018襄阳中考)如图,AB 是O 的直径,AM 和 BN是O 的两条切线, E 为O 上一点 ,过点 E 作直线 DC分别交 AM,BN 于点 D,C,且 CBCE. (1)求证：DADE；(2)若 AB 6,CD43,求图中阴影部分的面积.(1)证明：连接 OE,OC,BE.OBOE,OBEOEB.CBCE,CBE CEB,OBCOEC.BC 为O 的切线,OECOBC90.OE 为半径,CD 为O 的切线.AD 切O 于点 A,DADE ；(2)解：过点 D 作 DFBC 于点 F,则四边形 ABFD 是矩形,ADBF,DFAB6,DCBC AD 43.FCDC2DF223,BC AD23,BC33.在 RtOBC 中,tan BOCBCBO 3,BOC60.在OEC 与OBC 中,OEOB，OCOC，CE CB，OECOBC(SSS),BOE2BOC 120.S 阴影 S 四边形 BCEOS 扇形OBE2 12BCOB120OB2360933.