二次函数与几何图形的综合有解析（2019年中考数学复习专题）

二次函数与几何图形的综合有解析（2019 年中考数学复习专题）专题八 二次函数与几何图 形的综合中考备考攻略二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函数与线段的长(1)一般设抛物线上点的横坐标为 x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为 x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；(3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.2.二次函数与图形的面积(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积.3.二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论；(2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论.4.二次函数与特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5.二次函数与相似三角形结合相似三角形判定 方法, 如果一个角为直角 ,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破二次函数与线段的长例 1 (2018遂宁中考改编)如图,已知抛物线yax232x4 的对称轴是直线 x3,且与 x 轴相交于 A,B 两点(B 点在 A 点右侧),与 y 轴交于 C 点. (1)求抛物线的解析式和 A,B 两点的坐标；(2)若 M 是抛物线上任意一点,过点 M 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于点 N,当 MN3 时,求点 M 的坐标.【解析】(1)由抛物线的对称轴 x 3,利用二次函数的性质即可得到 a 的值 ,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与 x 轴交点的纵坐标为 0 可求出点 A,B 的坐标；(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标.由点 B,C 的坐标 ,利用待定系数法可得直线 BC 的解析式.设点 M 的横坐标为 m,可表示点 M 的纵坐标.又由 MNy 轴, 可表示出点 N 的横纵坐标,进而可用m 的代数式表示出 MN 的长,结合 MN3 即可得出关于 m 的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.【答案】解：(1)抛物线 yax232x 4 的对称轴是直线 x3, 322a3,解得 a14,抛物线的解析式为 y14x2 32x4.当 y0 时 ,14x232x 40,解得 x12,x2 8.点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(8,0) ；(2)当 x0 时,y14x232x 44,点 C 的坐标为(0,4).设直线 BC 的解析式为 ykxb(k0).将 B(8,0),C(0,4)代入 ykxb,得8kb0，b4，解得 k12， b4 ，直线 BC 的解析式为 y12x4.设点 M 的坐标为 m，14m232m4,则点 N 的坐标为 m，12m4,MN 14m232m412m414m22m.又MN 3,14m22m3.当14m22m0,即 0m8 时,14m2 2m3,解得 m12,m26,此时点 M 的坐标为(2,6)或(6,4).同理,当14m22m0,即 m8 或 m0 时,点 M 的坐标为(427,71)或(427,71).综上所述,点 M 的坐标为(2,6),(6,4),(427,7 1)或(427,71).1.(2018安顺中考改编) 如图,已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x1, 且抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直线 ymx n 经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求出点 M 的坐标.解：(1)依题意,得b2a 1，a bc 0，c3，解得 a1，b2，c3，抛物线的解析式为 yx2 2x3.令 y0,则x22x30,解得 x11,x2 3,点 B(3, 0).把 B(3,0),C(0,3) 代入 ymxn,得3mn0，n3，解得 m1，n3，直线 BC 的解析式为 yx3；(2)设直线 BC 与 x1 的交点为 M,连接 AM.点 A,B 关于抛物线的对称轴对称,MAMB,MAMCMB MCBC,当点 M 为直线 BC 与 x1 的交点时,MAMC 的值最小.把 x1 代入 yx3,得 y2,M(1,2).二次函数与图形的面积例 2 (2018达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求抛物线的解析式；(2)连接 OA,过点 A 作 ACOA 交抛物线于点 C,连接OC,求AOC 的面积.【解析】(1)设交点式 yaxx 72,然后把 A 点坐标代入求出 a,即可得到抛物线的解析式；(2)延长 CA 交 y 轴于点 D,易得 OA2,DOA45,则可判断AOD 为等腰直角三角形 ,由此可求出 D 点坐标,利用待定系数法求出直线 AD 的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于 x 的一元二次方程 ,解方程可得点 C 的坐标,利用三角形面积公式及 SAOCS CODSAOD 进行计算,进而得出AOC 的面积.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为 yaxx72.把 A(1,1)代入 yaxx72,可得 a25,抛物线的解析式为 y25xx72,即 y25x2 75x；(2)延长 CA 交 y 轴于点 D.A(1,1),OAC90,OA2,DOA 45,AOD 为等腰直角三角形,OD2OA2,D (0,2).由点 A(1,1),D(0,2),得直线 AD 的解析式为 yx2.令25x275xx2,解得 x11,x25.当 x 5 时,yx23,C(5, 3),SAOC S CODSAOD122512214.2.(2018眉山中考改编) 如图,已知抛物线yax2bxc 经过点 A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x 2,过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C,AOB 的平分线交线段 AC 于点 E,点 P 是抛物线上的一个动点 ,设其横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上 ,连接 PE,PO,当 m 为何值时, 四边形 AOPE 的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得 D(3,0),设抛物线的解析式为 ya(x 1)(x3).把 A(0,3)代入 ya(x1)(x3),得 33a,解得 a1,抛物线的解析式为 yx2 4x3 ；(2)由题意知 P(m,m24m3).OE 平分AOB,AOB 90,AOE45 ,AOE 是等腰直角三角形 ,AE OA3,E(3,3).易得 OE 的解析式为 yx.过点 P 作 PGy 轴,交 OE 于点 G,则 G(m,m),PGm(m24m3) m25m 3.S 四边形 AOPESAOE SPO E12 3312PGAE92 12 (m25m3) 332m2152m32m522758.32 0,当 m52 时,四边形 AOPE 的面积最大, 最大值是758.二次函数与特殊三角形例 3 (2018枣庄中考改编)如图,已知二次函数yax232xc(a0)的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与x 轴交于点 B,C,点 C 坐标为(8,0),连接 AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点 N 在 x 轴上运动 ,当以点 A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标.【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案；(2)分别以 A,C 两点为圆心,AC 长为半径画弧,与 x 轴交于三个点,由 AC 的垂直平分线与 x 轴交于一个点,即可求得点 N 的坐标.【答案】解：(1)二次函数 yax232x c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 C(8,0),c4，64a 12 c 0，解得 a 14，c4，二次函数的表达式为 y14x232x4；(2)A(0,4),C(8,0),AC4282 45.以点 A 为圆心,AC 长为半径作圆,交 x 轴于点 N,则ANAC,故NAC 是以 NC 为底边的等腰三角形,此时N 点坐标为(8,0)；以点 C 为圆心,AC 长为半径作圆,交 x 轴于点 N,则CNCA,故ACN 是以 NA 为底边的等腰三角形,此时N 点坐标为(8 45,0)或(845,0) ；作 AC 的垂直平分线,交 x 轴于点 N,则 NANC,故ANC 是以 AC 为底边的等腰三角形,此时点 N 为 BC 的中点.令 y14x232x 40,解得 x18,x2 2,此时 N 点坐标为(3,0).综上所述,点 N 在 x 轴上运动,当以点 A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标为(8,0),(845,0),(3,0)或(845,0).3.(2018兰州中考) 如图,抛物线 yax2 bx4 经过A(3,0),B(5, 4)两点,与 y 轴交于点 C,连接 AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：AB 平分CAO；(3)抛物线的对称轴上是否存在点 M,使得ABM 是以AB 为直角边 的直角三角形？若存在,求出点 M 的坐标；若不存在,请说明理由.(1)解：将 A(3,0),B(5, 4)代入 yax2bx 4,得9a 3b40，25a5b44 ，解得a16，b56，抛物线的表达式为 y16x2 56x4；(2)证明：AO 3,OC4,AC5.取 D(2,0),则 AD AC5.由两点间的距离公式可知 BD（5 2）2（40）2 5.C(0,4),B(5, 4),BC5.ADACBDBC.四边形 ACBD 是菱形 ,CABBAD,AB 平分CAO；(3)解：如图,抛物线的对称轴交 x 轴与点 E,交 BC 与点F,过点 A,B 分别作 MAAB,MBAB,交对称轴于点M,M.抛物线的对称轴为 x52,AE 115.A(3,0),B(5, 4), tan EAB 12.MAB90 ,tan MAE2.ME2AE11,M52，11.同理,tan MBF 2.又BF52, FM5,M52，9.综上所述,抛物线的对称轴上存在点 M52，11 或52， 9,使得ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形.二次函数与四边形例 4 (2018河南中考改编)如图,抛物线yax26xc 交 x 轴 于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,直线yx5 经过点 B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点 A 的直线交直线 BC 于点 M,当 AMBC 时,过抛物线上一动点 P(不与点 B,C 重合),作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q,若以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P 的横坐标； 【解析】(1)利用直线 BC 的解析式确定点 B,C 的坐标 ,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先利用抛物线的解析式求出 A 点坐标 ,再判断OCB 为等腰直角三角形,继而得到OBCOCB45,则AMB 为等腰直角三 角形,进而求出点 M 的坐标,根据抛物线和直线 BC 的解析式设点 P,Q 的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分, 即可列出等式方程,解方程即可得到点 P 的横坐标.【答案】解：(1)当 x0 时,y 5,则 C(0,5).当 y0 时 ,yx 50,解得 x5, 则 B(5,0).把 B(5,0),C(0,5)代入 yax26xc,得25a30c0， c5，解得 a 1，c5 ，抛物线的解析式为 yx2 6x5 ；(2)令 y x26x50,解得 x11,x2 5,A(1,0).B(5,0),C(0,5),BAC90, OCB 为等腰直角三角形,OBCOCB 45.又AMBC,AMB 为等腰直角三角形,AM22AB22422.以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,AMPQ,PQAM 22,PQ BC.作 PDx 轴交直线 BC 于点 D,则PDQ45,PD2PQ 2 224.设 P(m,m26m5),则 D(m,m5).当点 P 在直线 BC 上方时,PDm2 6m5(m5)m25m4,解得 m11( 舍去),m2 4；当点 P 在直线 BC 下方时,PDm5(m26m 5)m25m4,解得 m35412,m4 5412.综上所述,点 P 的横坐标为 4,5412 或 5412.4.(2018济宁中考改编) 如图,已知抛物线yax2bxc(a0)经过点 A(3,0),B(1,0),C(0,3).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 Q 在 x 轴上,点 P 在抛物线上,是否存在以点 B ,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求点 P的坐标；若不存在,请说明理由. 解：(1)把 A(3,0),B(1,0),C(0, 3) 代入 yax2bxc,得9a 3bc0，abc0，c3，解得a1，b 2，c3，该抛物线的解析式为 yx2 2x3 ；(2)存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形.设直线 BC 的解析式为 ykx3,把 B(1,0)代入,得k30,即 k3,直线 BC 的解析式为 y3x3.设 Q(x,0),P(m,m22m3).当四边形 BCQP 为平行四边形时 ,BCPQ,且 BCPQ.由 B(1,0),C(0, 3),得点 P 的纵坐标为 3,即m22m33, 解得 m17,此时 P(17,3)或 P(17,3)；当四边形 BCPQ 为平行四边形或四边形是以 BC 为对角线的平行四边形时,点 P 的纵坐标为 3,即m22m33,解得 m0 或 m2, 此时 P(2,3).综上所述,存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形,P 的坐标为(17,3) 或(1 7,3),(2,3).二次函数与相似三角形例 5 (2018德州中考改编)如图,在平面直角坐标系中, 直线 yx1 与抛物线 yx2bx c 交于 A,B两点,其中 A(m,0),B(4,n),该抛物线与 y 轴交于点 C,与x 轴交于另一点 D.(1)求 m,n 的值及该抛物线的解析式；(2)连接 BD,CD,在线段 CD 上是否存在点 Q,使得以A,D,Q 为顶点的三角形与 ABD 相似？若存在,请求出点 Q 的坐标；若不存在, 请说明理由.【解析】(1)把点 A,B 的坐标代入 yx1 求出 m 与n 的值,确定点 A,B 的坐标,然后代入 yx2bxc求出 b 与 c 的值即可；(2)由点 C,D 的坐标易得直线 BC 的解析式为 yx5,再由直线 AB 的解析式易得 ABCD,因此ADC BAD. 分类讨论：当 DAQABD 或DQAABD 时, 根据对应边成比例求出 DQ 的长,即可求出点 Q 的坐标.【答案】解：(1)把点 A(m,0),B(4,n)代入 yx1,得m 1,n3,A(1,0),B(4,3).yx2bxc 经过 A,B 两点,1bc0，164bc3，解得b6，c5，该抛物线的解析式为 yx2 6x5 ；(2)在线段 CD 上存在点 Q,使得以 A,D,Q 为顶点的三角形与ABD 相似.由(1)中结果可知 C(0,5),D(5,0),直线 CD 的解析式为 yx5.又直线 AB 的解析式为 yx1,ABCD,BADADC.设 Q(x,x5)(0x5).当ABDDAQ 时,ABDAADDQ,即 3244DQ, 解得 DQ823,由两点间的距离公式,得(x5)2 (x5)28232,解得x73 或 x233(舍去),此时 Q73，83；当ABDDQA 时,ABDQ ADDA1, 即 DQ32,(x 5)2(x5)2(32)2,解得 x 2 或 x8( 舍去), 此时 Q(2,3).综上所述,点 Q 的坐标为 (2,3) 或 73，83.5.(2018深圳中考改编) 已知顶点为 A 的抛物线yax1222 经过点 B32 ，2.(1)求抛物线的解析式；(2)如图, 直线 AB 与 x 轴相交于点 M,与 y 轴相交于点 E,抛物线与 y 轴相交于点 F,在直线 AB 上有一点 P,若OPMMAF,求POE 的面积.解：(1)把点B32 ，2 代入 yax122 2,解得 a1,抛物线的解析式为 yx 1222,即 yx2x74；(2)由(1) 中结果得 A12，2,F0，74.设直线 AB 的解析式为 ykxb,由点 A,B 的坐标,得2 12kb，232kb，解得k2，b1，直线 AB 的解析式为 y2x1,OE1,FE34.若OPMMAF,则当 OPAF 时,OPE FAE,OPFAOEFE13443,OP43FA431202 274253.设点 P(t,2t1),则 OPt2（2t1）2 53,即(15t2)(3t2)0,解得 t1215,t223.由对称性知,当 t1215 时, 也满足OPM MAF,t1,t2 的值都满足条件.SPOE12OE|t|,当 t215 时 ,SOPE121215115 ；当 t23 时,SOPE1212313.综上所述,POE 的面积为 115 或 13.中考专题过关1.(2018自贡中考改编) 如图,抛物线 yax2 bx3过 A(1,0),B(3,0)两点,直线 AD 交抛物线于点 D,点 D的横坐标为2,点 P(m,n)是线段 AD 上的动点.(1)求直线 AD 及抛物线的解析式；(2)过点 P 的直线垂直于 x 轴,交抛物线于点 Q,求线段PQ 的长度 l 与 m 的关系式,m 为何值时 ,PQ 最长？解：(1)把(1,0),(3,0)代入 yax2bx 3, 得ab3 0，9a3b 30，解得 a1，b2 ，抛物线的解析式为 yx2 2x3.当 x2 时,y( 2)22(2)3 3,即 D(2,3).设直线 AD 的解析式为 ykxb .将 A(1,0),D(2,3) 代入,得k b0，2kb3，解得k 1，b1，直线 AD 的解析式为 yx1 ；(2)由(1) 可得 P(m,m1),Q(m,m2 2m3),l(m 1)(m22m3),即 lm2m2( 2m1),配方,得 lm122 94,当 m12 时,PQ 最长.2.(2018中考改编) 如图,在平面直角坐标系中 ,抛物线yax2bx5 交 y 轴于点 A,交 x 轴于点 B(5,0)和点 C(1,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点,当点 P 运动到某一位置时,ABP 的面积最大,求出此时点 P 的坐标和ABP 的最大面积.解：(1)抛物线 yax2bx 5 交 y 轴于点 A,交 x 轴于点 B(5,0)和点 C(1,0),25a5b50，ab50，解得 a1 ，b4，该抛物线的解析式为 yx2 4x5 ；(2)设点 P 的坐标为(p,p24p5),如图.由点 A(0,5),B(5,0) 得直线 AB 的解析式为yx5.当 x p 时,yp5.OB5,SABP（p5）（p24p5 ）2552p522 254.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点,5p0,当 p52 时,S 取得最大值,此时 S 1258,点 P 的坐标是52，354,即当点 P 的坐标为 52，354 时,ABP 的面积最大,此时ABP 的面积是 1258.3.(2018泰安中考改编) 如图,在平面直角坐标系中 ,二次函数 yax2 bxc 交 x 轴于点 A(4,0),B(2,0), 交y 轴于点 C(0,6),在 y 轴上有一点 E(0,2),连接 AE.(1)求二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴上是否存在点 P,使 AEP 为等腰三角形？若存在,请求出所有 P 点坐标；若不存在 ,请说明理由.解：(1)二次函 数 yax2bxc 经过点 A(4,0),B(2,0),C(0,6),16a4bc0 ，4a2bc 0，c6 ，解得a34 ，b32，c6 ，二次函数的表达式为 y34x232x6；(2)在抛物线对称轴上存在点 P,使 AEP 为等腰三角形.抛物线 y34x2 32x6 的对称轴为 x1, 设 P(1,n).又E(0,2),A(4,0),PA9n2,PE1（n2）2,AE 16425.当 PAPE 时,9n21（n2）2,解得 n1,此时 P(1,1) ；当 PAAE 时,9n225,解得 n11,此时 P(1,11)；当 PEAE 时,1（n2 ）225,解得 n219,此时 P (1,219).综上所述,点 P 的坐标为 (1,1),(1, 11)或(1,219).4.(2018上海中考) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y12x2 bxc 经过点 A(1,0) 和点B0，52,顶点为 C,点 D 在其对称轴上且位于点 C 下方,将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90,点 C 落在抛物线上的点 P 处 .(1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段 CD 的长；(3)将抛物线平移,使其顶点 C 移到原点 O 的位置,这时点 P 落在点 E 的位置,如果 点 M 在 y 轴上,且以 O,D,E,M为顶点的四边形面积为 8,求点 M 的坐标.解：(1)把 A(1,0),B0，52 代入 y12x2bxc,得12 bc0 ，c52，解得 b2，c52，这条抛物线的表达式为 y12x22x 52；(2)y 12(x2)292,C2，92,抛物线的对称轴为直线 x2.如图,设 CDt, 则 D2，92t.由题意,得PDC90 ,DPDC t,P2t， 92t.把 P2t ，92t 代入 y12x22x52,可得t10(舍去),t22.线段 CD 的长为 2；(3)由(2) 易知 P4，52,D2，52.平移后,E 点坐标为(2,2).设 M(0,m),则 12|m|52228,m 72,点 M 的坐标为 0，72 或 0， 72.5.(2018绵阳中考改编) 如图,已知抛物线yax2bx(a0)过点 A(3,3)和点 B(33,0).过点 A 作直线 ACx 轴, 交 y 轴于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点 P,过点 P 作直线 AC 的垂线,垂足为点 D.连接 OA,使得以 A,D,P 为顶点的三角形与AOC 相似,求出对应点 P 的坐标.解：(1)把点 A(3,3),B(33,0)代入 yax2bx,得3a 3b3，27a33b0，解得 a12，b332.抛物线的解析式为 y12x2 332x；(2)设 P 点坐标为 x，12x2 332x.若点 P 在直线 AD 上方, 则ADx3,PD12x2 332x 3.当OCAADP 时,OCADCADP,即 3x3312x2332x3,x 833 或 x3( 舍去), 此时 P833，43；当OCAPDA 时,OCPDCADA,即 312x2332x33x 3,x 43 或 x3( 舍去), 此时 P(43,6)；若 P 在直线 AD 下方, 同理可得点 P 的坐标为433，103.综上所述,点 P 的坐标为 833，43,(43,6)或433，103.6.如图,在 C 的内接AOB 中,AB AO4,tan AOB34,抛物线 yax2bx 经过点 A(4,0),(2,6).(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线 m 与C 相切于点 A,交 y 轴于点 D.动点 P 在线段 OB 上,从点 O 出发向点 B 运动；同时动点 Q 在线段 DA 上, 从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1 个单位长度,点 Q 的速度为每秒 2 个单位长度.当 PQAD 时,求运动时间 t 的值.解：(1)抛物线 yax2bx 经过点 A(4,0),(2,6),16a4b0，4a2b6，解得 a12，b2.抛物线的解析式为 y12x2 2x.(2)连接 AC 交 OB 于点 E,由垂径定理得 ACOB.AD 为C 的切线,ACAD.ADOB.AOBOAD.tan AOB34,tan OAD34.ODOA tan OAD4343.当 PQAD 时,OPt,DQ 2t.过点 O 作 OFAD 于点 F,则四边形 OFQP 是矩形.DFDQ FQ DQOP2t t t.DOFAOFOAF AOF 90,DOFOAF.tan DOFDFOFtan OAD 34.OF43DF.在 RtODF 中,OD3,OF 43DF,OD2OF2 DF2,32 ( DF)2DF2.DF1.8.t1.8(s).