理想单色平面光波在晶体中的传播波法线菲涅耳方程ppt课件

4 2理想单色平面光波在晶体中的传播 Thetransmissionofidealnonochromeplanarlightwaveincrystals 4 2 1光在晶体中传播的解析法描述 analyticdescriptionoftransmissionoflightincrystals 4 2 2光在晶体中传播的几何法描述 Geometricdescriptionoftransmissionoflightincrystals 1 4 2 1光在晶体中传播的解析法描述 根据光的电磁理论 光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述 2 1 麦克斯韦方程组 均匀 不导电 非磁性的各向异性介质 晶体 中 若没有自由电荷存在 麦克斯韦方程组为 为简单起见 只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性 3 1 单色平面光波在晶体中的传播特性 1 晶体中光电磁波的结构 式中 设晶体中传播的单色平面光波为 4 5 对于这样一种光波 在进行公式运算时 可以以 i 代替 以 i n c k代换算符 6 经过运算 17 式 20 式变为 1 晶体中光电磁波的结构 由这些关系式可以看出 7 1 晶体中光电磁波的结构 D垂直于H和k H垂直于E和k 所以E D k在垂直于H的同一平面内 并且 在一般情况下 D和E不在同一方向上 8 1 晶体中光电磁波的结构 由能流密度的定义 可见 H垂直于E和s 故E D s k同在一个平面上 并且在一般情况下 s和k的方向不同 其间夹角与E和D之间的夹角相同 9 1 晶体中光电磁波的结构 可以得到一个重要结论 在晶体中 光的能量传播方向通常与光波法线方向不同 10 2 能量密度 根据电磁能量密度公式及 23 式 24 式 有 11 2 能量密度 总电磁能量密度为 对于各向同性介质 因s与k同方向 所以有 12 3 相速度和光线速度 光线速度vr是单色光波能量的传播速度 其方向为能流密度的方向s 大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度 即 相速度vp是光波等相位面的传播速度 其表示式为 13 3 相速度和光线速度 由 27 式 30 式可以得到 单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影 14 15 3 相速度和光线速度 在一般情况下 光在晶体中的相速度和光线速度分离 其大小和方向均不相同 对于各向同性介质 单色平面光波的相速度也即是其能量传播速度 16 2 光波在晶体中传播持性的描述 1 晶体光学的基本方程 由麦克斯韦方程组出发 将 23 式和 24 式的H消去 可以得到 17 1 晶体光学的基本方程 再利用矢量恒等式 变换为 18 1 晶体光学的基本方程 方括号 E k k E 实际上表示E在垂直于k 即平行于D 方向上的分量 记为 19 1 晶体光学的基本方程 由此 32 式可以写成 20 1 晶体光学的基本方程 因为 所以 21 1 晶体光学的基本方程 根据折射率的定义 可以在形式上定义 光线折射率 nr 22 1 晶体光学的基本方程 由此可将 34 式表示为 或 23 1 晶体光学的基本方程 24 1 晶体光学的基本方程 上式决定了在晶体中传播的光电磁波的结构 给出了沿某一k s 方向传播的光波电场E D 与晶体特性n nr 的关系 因而是描述晶体光学性质的基本方程 25 2 菲涅耳方程 选取主轴坐标系 因而物质方程为 26 波法线菲涅耳方程 波法线方程 将基本方程 32 式写成分量形式 并代入Di Ei关系 经过整理可得 27 28 将 39 式代入后 得到 波法线菲涅耳方程 波法线方程 由于D k 0 所以有 29 该式描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的折射率n和晶体光学参量之间的关系 波法线菲涅耳方程 波法线方程 30 波法线菲涅耳方程 波法线方程 上式还可表示为另外一种形式根据 p c n 可以定义三个描述晶体光学性质的主速度 它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向x1 x2 x3的相速度 由此可将 40 式变换为 31 32 波法线菲涅耳方程 波法线方程 上式描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的相速度 P和晶体的光学参量 1 2 3之间的关系 通常将 40 式和 41 式称为波法线菲涅耳方程 33 由波法线菲涅耳方程可见 对于一定的晶体 光的折射率 或相速度 随光波方向k变化 波法线菲涅耳方程 波法线方程 这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率 或相速度 的特性 即是晶体的光学各向异性 34 它们是n2或 p2的二次方程 一般有两个独立的实根n n 或 p p 因而 对应每一个波法线方向k 有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波 波法线菲涅耳方程 波法线方程 35 在由 40 式 41 式得到与每一个波法线方向k相应的折射率或相速度后 为了确定与波法线方向k相应的光波D和E的振动方向 可将 38 式展开 波法线菲涅耳方程 波法线方程 36 37 将由 40 式解出的两个折射率值n 和n 分别代入 42 式 即可求出相应的两组比值和 从而可以定出与n 和n 分别对应的E 和E 方向 波法线菲涅耳方程 波法线方程 38 求出相应的两组比值和 从而可以定出与n 和n 分别对应的D 和D 的方向 波法线菲涅耳方程 波法线方程 39 由于相应于E E 及D D 比值均为实数 所以E和D都是线偏振的 波法线菲涅耳方程 波法线方程 当Ex Ey二分量的相位差时 椭圆退化为一条直线 称为线偏振光 此时有 40 相应于每一个波法线方向k的两个独立折射率n 和n 的电位移矢量D 和D 相互垂直 证明如下 波法线菲涅耳方程 波法线方程 41 42 43 44 由于 n 2和 n 2都是 40 式的解 所以第一 三 五项之和为零 第二 四 六项之和也为零 波法线菲涅耳方程 波法线方程 45 对应于晶体中每一给定的波法线方向k 只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播 它们的D矢量相互垂直 具有不同的折射率或相速度 因此 波法线菲涅耳方程 波法线方程 46 由于E D s k四矢量共面 以及E s 所以这两个线偏振光有不同的光线方向 s 和s 和光线速度 vr 和vr 波法线菲涅耳方程 波法线方程 47 光线菲涅耳方程 光线方程 上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向k上 特许的两个线偏振光的折射率和偏振态 48 由于E D s k四矢量共面 以及E s 所以这两个线偏振光有不同的光线方向和光线速度 通常称这两个线偏振光为相应于给定k方向的两个本征模式 波法线菲涅耳方程 波法线方程 49 对应于晶体中每一给定的波法线方向k 只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播 它们的D矢量相互垂直 具有不同的折射率或相速度 因此 波法线菲涅耳方程 波法线方程 50 由于E D s k四矢量共面 以及E s 所以这两个线偏振光有不同的光线方向 s 和s 和光线速度 vr 和vr 波法线菲涅耳方程 波法线方程 51 光线菲涅耳方程 光线方程 上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向k上 特许的两个线偏振光的折射率和偏振态 52 光线菲涅耳方程 光线方程 类似地 也可以得到确定相应于光线方向为s的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程 光线菲涅耳方程 53 光线菲涅耳方程 光线方程 或 43 式和 44 式描述了在晶体中传播的光线方向s与相应的光线折射nr 光线速度 r和晶体的光学参量 主速度 1 2 3之间的关系 54 光线菲涅耳方程 光线方程 类似得出如下结论 在给定的晶体中 相应于每一个光线方向s 只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播 这两个光的E矢量相互垂直 55 光线菲涅耳方程 光线方程 注意到 32 式和 37 式在形式上的相似性 可以得到如下两行对应的变量 56 光线菲涅耳方程 光线方程 将式中的各量用 45 关系中另一行对应的量代替 就可以得到相应的另一个有效的关系式 57 光线菲涅耳方程 光线方程 应用这一规则 43 式和 44 式可以由 40 式和 41 式直接通过变量代换得出 58 3 光在几类特殊晶体中的传播规律 结合几类特殊晶体的具体光学特性 从晶体光学的基本方程出发 讨论光波在其中传播的具体规律 59 3 光在几类特殊晶体中的传播规律 1 立方晶体或各向同性介质 2 单轴晶体 方解石 石英 红宝石等 3 双轴晶体 云母 硫磺 蓝宝石等 1 2 3 n1 n2 n3 60 1 各向同性介质或立方晶体 将波法线菲涅耳方程 40 式通分 整理 得到 61 1 各向同性介质或立方晶体 代入 并注意到 k是波法线方向的单位矢量 该式简化为 由此得到重根n n n0 在各向同性介质或立方晶体中 沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率n0 光波折射率与传播方向无关 62 1 各向同性介质或立方晶体 进一步 把n n n0的结果代入 42 式 可以得到三个完全相同的关系式 此式即为k E 0 它表明 光电场矢量E与波法线方向垂直 63 1 各向同性介质或立方晶体 E平行于D s平行于k 所以 在各向同性介质或立方晶体中传播的光波电场结构 64 由于 47 式只限定了E垂直于k 而对E的方向没有约束 沿任意方向传播的光波 允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态 1 各向同性介质或立方晶体 65 2 单轴晶体 单轴晶体的主介电系数为 ne no的晶体 称为正单轴晶体 石英晶体 ne no的晶体 称为负单轴晶体 方解石晶体 66 1 两种特许线偏振光波 本征模式 为讨论方便起见 取k在x2Ox3平面内 并与x3轴夹角为 则 67 1 两种特许线偏振光波 本征模式 将 48 式和 49 式的关系代入下面关系式 得到 68 即 该方程有两个解 1 两种特许线偏振光波 本征模式 69 1 两种特许线偏振光波 本征模式 第一个解n 与光的传播方向无关 与之相应的光波称为寻常光波 第二个解n 与光的传播方向有关 随 变化 相应的光波称为异常光波 70 1 两种特许线偏振光波 本征模式 当k与x3轴方向一致时 光的传播特性如同在各向同性介质中一样 n n no 因此 把x3轴这个特殊方向称为光轴 71 下面确定两种光波的偏振态 寻常光波 将n n no及k1 0 k2 sin k3 cos 代入 42 式 得到 72 寻常光波 第一式因系数为零 所以E1有非零解 第二 三式因系数行列式不等于零 所以是一对不相容的齐次方程 只可能是E2 E3 0 因此 E E1i 73 74 寻常光波 o光的E平行于x1轴 从一般意义上讲 即垂直于k与x3轴决定的平面 又由于D 0no2E 所以o光的D矢量与E矢量平行 75 将n n 及k1 0 k2 sin k3 cos 代入 42 式 得到 异常光波 76 在第一式中 因系数不为零 只可能是E1 0 而第二 三式中 因系数行列式为零 E2和E3有非零解 异常光波 77 78 79 e光的E矢量位于x2Ox3平面内 从一般意义上讲 即位于k矢量与光轴x3所确定的平面内 异常光波 80 同时 由于D1 0 1E1 0 所以D矢量也在x2Ox3平面内 但不与E矢量平行 异常光波 81 异常光波 另外 e光的s矢量 k矢量和光轴共面 但s与k不平行 82 异常光波 仅当 2时 E2 0 E矢量与光轴平行 此时 D E k s 相应的折射率为ne 83 84 异常光波 综上所述 在单轴晶体中 存在着两种特许偏振方向的光波 o光和e光 对应于某一波法线方向k有两条光线 o光的光线s0和e光的光线se 85 1 两种特许线偏振光波 这两种光波的E矢量 和D矢量 彼此垂直 86 1 两种特许线偏振光波 对于o光 E矢量和D矢量总是平行 并且垂直于波法线k与光轴所确定的平面 折射率不依赖于k的方向 光线方向s0与波法线方向重合 87 1 两种特许线偏振光波 对于e光 其折射率随k矢量的方向改变 E矢量与D矢量一般不平行 它们与光轴的夹角随着k的方向改变 它的光线方向se与波法线方向不重合 88 2 e光的波法线方向和光线方向 单轴晶体中e光波法线方向与光线方向之间存在着一个夹角 通常称为离散角 89 2 e光的波法线方向和光线方向 现取x3轴为光轴 E D s k均在主截面 光轴与晶面法线所决定的平面 x2Ox3平面内 k与x3轴的夹角为 s与x3轴的夹角为 90 2 e光的波法线方向和光线方向 若坐标系为单轴晶体的主轴坐标系 则 因而有 91 2 e光的波法线方向和光线方向 由几何关系有 92 将 55 式中的两个式子相除 并利用 56 式 可得 2 e光的波法线方向和光线方向 93 所以离散角 满足下面的关系 2 e光的波法线方向和光线方向 94 将 57 式代入 整理可得 2 e光的波法线方向和光线方向 95 由该式可见 当 00或900 即光波法线方向k平行或垂直于光轴时 0 这时 s与k E与D方向重合 96 对于正单轴晶体 ne no 0 e光的光线较其波法线靠近光轴 对于负单轴晶体 ne no 0 e光的光线较其波法线远离光轴 97 可以证明 当k与光轴间的夹角 满足 时 有最大离散角 98 由 对 求导 得 由 57 式 证明如下 99 100 令 求极值的必要条件 101 得 最后得 102 将该式代入 57 式 并由 58 式求出最大离散角为 103 在实际应用中 经常要求晶体元件工作在最大离散角的情况下 同时满足正入射条件 这就应当使通光面 晶面 与光轴的夹角 900 满足 2 e光的波法线方向和光线方向 104 方解石 e O 光 光 固定屏幕 当方解石晶体旋转时 o光不动 e光围绕o光旋转 105 3 双轴晶体 双轴晶体的三个主介电系数都不相等 即 1 2 3 因而n1 n2 n3 通常主介电系数按 取值 这类晶体之所以叫双轴晶体 是因为它有两个光轴 当光沿该二光轴方向传播时 其相应的二特许线偏振光波的传播速度 或折射率 相等 106 3 双轴晶体 由波法线菲涅耳方程 40 式可以证明 双轴晶体的两个光轴都在x1Ox3平面内 并且与x3轴的夹角分别为 和 107 值由 给出 对于 小于450的晶体 叫正双轴晶体 大于450的晶体 叫负双轴晶体 由这两个光轴构成的平面叫光轴面 3 双轴晶体 108 若光波法线方向k与二光轴方向的夹角为 1和 2时 相应的二特许线偏振光的折射率满足下面关系 3 双轴晶体 109 当 l 2 即当波法线方向k沿二光轴角平分面时 相应的二特许线篇振光的折射率为 3 双轴晶体 110 对于某个给定的光波法线方向k 其相应的二特许线偏振光的光矢量 E D 振动方向光线传播方向s 如图所示 3 双轴晶体 111