平面与平面垂直的判定定理ppt课件

2 3 2平面与平面垂直的判定定理 1 1 在立体几何中 异面直线所成的角 是怎样定义的 直线a b是异面直线 经过空间任意一点O 分别引直线a a b b 我们把相交直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线所成的角 2 在立体几何中 直线和平面所成的角 是怎样定义的 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 范围 0o 90o 范围 0o 90o 复习引入 2 空间两个平面有平行 相交两种位置关系 对于两个平面平行 我们已作了全面的研究 对于两个平面相交 我们应从理论上有进一步的认识 在异面直线所成的角 直线与平面所成的角的学习过程中 我们将三维空间的角转化为二维空间的角 即平面角来刻画 接下来 我们同样来研究平面与平面的角度问题 两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的 角 来确定的 3 在生产实践中 有许多问题也涉及到两个平面所成的角 如 修筑水坝时 为了使水坝坚固耐久 必须使水坝面和水平面成适当的角度 发射人造地球卫星时 也要根据需要 使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度 4 1 半平面的定义 1 二面角的概念 平面内的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分都叫做半平面 半平面 半平面 2 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 棱 面 面 5 平卧式 直立式 3 二面角的画法和记法 1 二面角的概念 面1 棱 面2 点1 棱 点2 二面角 l 二面角 AB 二面角C AB D 6 A O l B 4 二面角的平面角 A B O 1 二面角的概念 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 如图 则 AOB成为二面角的平面角 它的大小与点O的选取无关 二面角的平面角必须满足 角的边都要垂直于二面角的棱 角的顶点在棱上 角的两边分别在两个面内 7 A B 0 180 4 二面角的平面角 1 二面角的概念 二面角的范围为 注1 当二面角的两个面合成一个平面时 规定二面角的大小为180 平面角是直角的二面角叫做直二面角 此时称两半平面所在的两个平面互相垂直 8 定义法 垂线法 作棱的垂面法 一个平面垂直于二面角 l 的棱l 且与两半平面的交线分别是射线OA OB O为垂足 则 AOB为二面角 l 的平面角 5 二面角的平面角的作法 1 二面角的概念 A B 补充 9 例正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角B1 AA1 C1的大小为 二面角B AA1 D的大小为 二面角C1 BD C的正切值是 45 90 练习 10 练如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC BB1 1 E为D1C1的中点 求二面角E BD C的大小 思路分析 找基面 平面BCD 作基面的垂线 过E作EF CD于F F 作平面角 作FG BD于G 连结EG G 解 过E作EF CD于F 于是 EGF为二面角E BD C的平面角 BC 1 CD 2 而EF 1 在 EFG中 ABCD A1B1C1D1是长方体 EF 平面BCD 且F为CD中点 过F作FG BD于G 连结EG 则EG BD 三垂线定理 M 练习 11 求证 例如图 将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角 12 C D H G 600 300 例如图 山坡倾斜度是60度 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角 沿这条路向上走100米 升高了多少 A B 练习 13 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直 思考 14 2 平面与平面垂直的判定 1 定义法 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 记作 2 面面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 该定理作用 线面垂直 面面垂直 注2 应用该定理 关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线 15 练在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求证 平面A1C 平面B1D A C D A1 C1 D1 E F B1 2 E F分别是AB BC的中点 求证 平面A1C1FE 平面B1D 3 G是BB1的中点 求证 平面A1C1G 平面B1D 总结 直线A1C1 平面B1D 则过直线A1C1的平面都垂直于平面B1D 练习 16 证明 由AB是圆O的直径 可得AC BC 平面PAC 平面PBC 例如图 AB是圆O的直径 PA垂直于圆O所在的平面于A C是圆O上不同于A B的任意一点 求证 平面PAC 平面PBC 练习 17 P A B C 外 垂 中 练习 P79B组2 2 18 19 20 E F 分析 21 E F 或者考虑二面角定义法 22 G E 23 G E 练习 24 二 平面与平面垂直 1 定义 两平面所成二面角为直二面角 2 判定定理 3 性质定理 一 直线与平面垂直 1 定义 2 判定定理 3 线线垂直的常用证明方法 a 平面内的两直线 b 空间内的两直线 4 两条平行线垂直于同一个平面 垂直于同一一个面的两直线平行 25 三 角度问题 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 26 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化 即把空间的角转化为平面的角 进而转化为三角形的内角 然后通过解三角形求得 2 方法 3 步骤 b 求直线与平面所成的角 a 求异面直线所成的角 c 求二面角的大小 作 找 证 点 算 1 数学思想 定义法或者垂线法 即找面的垂线 找出垂足 找平行线方法 中位线 平行四边形 线段成比例 线面平行的性质定理等 27 O A B O P A B back 练习 二面角的平面角为 PA 于A点 PB 于B点 PA a PB b 求点P到棱的距离 28 back 练如图 在三棱锥P ABC中 AC BC 2 PA PB AB ACB 90o PC AC 1 求证 PC AB 2 求二面角B AP C的大小 29 练2在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC BB1 1 E为C1D1的中点 求二面角E BD C的大小 A A1 B B1 C C1 D D1 E M F back 30 在正方体AC1中 E F分别是中点 求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 E F back 31 练1如图 M是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB的中点 求二面角A1 MC A的正切值 N H 思路分析 找基面 找基面的垂线 AA1 作平面角 作AH CM交CM的延长线于H 连结A1H 平面ABCD 解 作AH CM交CM的延长线于H 连结A1H A1A 平面AC AH是A1H在平面AC内的射影 A1H CM A1HA为二面角A1 CM A的平面角 设正方体的棱长为1 M是AB的中点 且AM CD 则在直角 AMN中 AM 0 5 AN 1 MN back 32 如图 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 ABC 90 SA 面ABCD SA AB BC 2 AD 1 1 求四棱锥S ABCD的体积 2 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 2 提示 因所求二面角无 棱 故先延长BA CD以确定棱SE 然后证明 BSC为平面角 back 33 A O 解 则AD l sin ADO ADO 60 即二面角 l 的大小为60 在Rt ADO中 AOAD 练已知二面角 l A为面 内一点 A到 的距离为 到l的距离为4 求二面角 l 的大小 D 过A作AO 于O 过O作OD l于D 连AD 就是二面角 l 的平面角 back 练在二面角 l 的一个平面 内有一条直线AB 它与棱l所成的角为45 与平面 所成的角为30 则这个二面角的大小是 45 或135 34 证明 C D A B 在平面 内过B点作直线BE CD 则 ABE就是二面角 CD 的平面角 设 CD 则B CD a back 35 练习 1 过平面 的一条垂线可作 个平面与平面 垂直 2 过一点可作 个平面与已知平面垂直 3 过平面 的一条斜线 可作 个平面与平面 垂直 4 过平面 的一条平行线可作 个平面与 垂直 一 无数 无数 一 back 36 练正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 back 37 E F back 38 思路分析 找基面 找基面的垂线 作平面角 平面ABC 取AB的中点M 连结PM M 由己知AB2 AC2 BC2 ACB是直角 N 取AC的中点N 连结MN PN MN BC AC BC MN AC 由三垂线定理知PN AC MNP就是二面角P AC B的平面角 PA PB PC PAM PCM PM AM PM CM PM 平面ABC 连结CM AM BM CM 已知 ABC AB 10 BC 6 P是平面ABC外一点 且PA PB PC AC 8 求二面角P AC B的平面角的正切值 back 练求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小 39 练如图 过点S作三条不共面的直线 使 BSC 900 ASB ASC 600 截取SA SB SC 求证 平面ABC 平面BSC S C B A D 利用定义 通过计算证之 请计算AC与平面BSC所成的角的大小 back 40 如图所示 ABC为正三角形 EC 平面ABC BD CE 且CE CA 2BD M为EA的中点 1 求证 DE DA 2 求证 平面BDM 平面ECA 3 求证 平面DEA 平面ECA A B C E D M N F 请作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角 back 41