二面角平面角求法.ppt

二面角 二面角 教学目的 1 掌握二面角的概念 2 掌握二面角的一般作法 3 熟练掌握二面角的求解方法 4 能在复杂图形中找到二面角 5 提高空间想象能力和综合解题能力 返回主页 二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 二面角 返回主页 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 记作 二面角的平面角的定义 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的平面角 A O B l 二面角的平面角范围 点P在棱上 A B 定义法 二面角 p 返回主页 讲解例题 常见的图形 例1 如图 已知P是二面角 AB 棱上一点 过P分别在 内引射线PM PN 且 MPN 60 BPM BPN 45 求此二面角的度数 C D 解 在PB上取不同于P的一点O 在 内过O作OC AB交PM于C 在 内作OD AB交PN于D 连CD 可得 COD是二面角 AB 的平面角 设PO a BPM BPN 45 CO a DO a PCa PDa 又 MPN 60 CD PCa COD 90 因此 二面角的度数为90 a 二面角 返回主页 O 90 试一试 垂面法 点P在二面角内 A B O 二面角 p 返回主页 讲解例题 常见的图形 例2 如图P为二面角 内一点 PA PB 且PA 5 PB 8 AB 7 求这二面角的度数 过PA PB的平面PAB与棱 交于O点 PA PA PB PB 平面PAB AOB为二面角 的平面角 又 PA 5 PB 8 AB 7 由余弦定理得 P 60 AOB 120 这二面角的度数为120 解 O 二面角 返回主页 三垂线法 点P在一个半平面上 A B 返回主页 讲解例题 常见的图形 取AB的中点为E 连PE OE O为AC中点 ABC 90 OE BC且OEBC 在Rt POE中 OE PO 所求的二面角P AB C的正切值为 例3 如图 三棱锥P ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt ABC斜边AC的中点O 若PB AB 1 BC 求二面角P AB C的正切值 PEO为二面角P AB C的平面角 在Rt PBE中 BE PB 1 PE OE AB 因此PE AB 解 二面角 返回主页 A B C O cos 三角形ABC在平面N内的射影为BCO三角形ABC的面积为S 三角形BCO的面积为S射 面积法 返回主页 讲解例题 常见的图形 例4 如图 设E为正方体的边CC1的中点 求平面AB1E和底面A1B1C1D1 所成角的余弦值 AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为 A1B1C1 故这两个平面所成二面角的余弦值为 A B C D A1 B1 C1 D1 E 返回主页 M 二面角的求法总结 定义法是选择一个平面内的一点 一般为这个面的一个顶点 向棱作垂线 再由垂足在另一个面内作棱的垂线 此法得出的平面角在任意三角形中 所以不好计算 不是我们首选的方法 三垂线法是从一个平面内选一点 一般为这个面的一个顶点 向另一个面作垂线 再由垂足向棱作垂线 连结这个点和棱上垂足 此法得出的平面角在直角三角形中 计算简便 所以我们常用此法 垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线 因为这一点不好选择 所以此法一般不用 以上三种方法作平面角都需写出作法 证明 指出平面角 射影法是在不易作出平面角时用 在解答题中要先证明射影面积公式 然后指出平面的垂线 射影关系 再用公式 这种方法虽然避免了找平面角 但计算较繁 所以不常用 二面角的平面角 求二面角的平面角方法 点P在棱上 点P在一个半平面上 点P在二面角内 A B A B A B O 定义法 三垂线法 垂面法 二面角 射影法