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二面角和面面垂直 高一数学组 平面内的一条直线 把这个平面分成两部分 每一部分都叫做半平面 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 1 半平面 2 二面角 一 半平面及二面角的定义 棱 面 面 半平面 半平面 1 二面角的记法 面1 棱 面2 1 以直线为棱 以为半平面的二面角记为 2 以直线AB为棱 以为半平面的二面角记为 A B 二 二面角的画法与记法 2 二面角的画法 直立式与平卧式 平卧式 直立式 注意 二面角的平面角必须满足 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 10 A B 四 二面角的平面角的定义 范围及作法 思考 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同 那么这两个角相等 注 1 二面角的平面角与点的位置无关 只与二面角的张角大小有关 2 二面角是用它的平面角来度量的 一个二面角的平面角多大 就说这个二面角是多少度的二面角 3 平面角是直角的二面角叫做直二面角 4 二面角的取值范围一般规定为 0o 180o 的大小与点O在L上的位置有关吗 为什么 指出下列各图中的二面角的平面角 二面角B B C A O E O 二面角A BC D 正方体A C中 定义法 垂线法 练习 一 作 二 证 三 算 步骤 例1在正方体AC1中 E为BC中点 F E G H 1 2 1 求二面角A B1C B的正弦值 2 求二面角E B1D1 C1的正切值 一 作 二 证 三 算 步骤 典例剖析 一 二面角的定义 二 二面角的表示方法 三 二面角的平面角 四 二面角的平面角的作法 五 二面角的计算 二面角 AB 二面角C AB D二面角 l 1 根据定义作出来 定义法2 利用直线和平面垂直作出来 垂面法3 借助三垂线定理或其逆定理作出来 三垂线法 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 1 二面角的平面角必须满足三个条件2 二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 二面角计算的一般步骤 1 找到或作出二面角的平面角 3 计算出此角的大小 一 作 二 证 三 算 16 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直 建筑工人砌墙时 如何使所砌的墙和水平面垂直 应用于生活 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 猜想 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 已知 AB AB 求证 证明 C D A B 在平面 内过B点作直线BE CD 则 ABE就是二面角 CD 的平面角 设 CD 则B CD 六 两个平面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直 面面垂直 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 证明面面垂直的本质和关键是什么 关键 找垂直平面的线 例1 如图 AB是圆O的直径 PA垂直于圆O所在的平面 C是圆周上不同于A B的任意一点 求证 C 证明 设 O所在的平面为 由已知条件 PA BC在 内 所以PA BC 因为点C是圆周上不同于A B的任意一点 AB是 O的直径 所以 BCA是直角 即BC AC 又因为PA与AC是 PAC所在平面内的两条相交直线 所以 BC 平面PAC 又因为BC在平面PBC内 所以 平面PAC 平面PBC 已知AB 平面BCD BC CD 你能发现哪些平面互相垂直 为什么 平面ABC 平面BCD 平面ABC 平面ACD 平面ABD 平面BCD 情境问题 为什么墙面和地面垂直的时候 墙体就不容易倒塌呢 将一本书放置在桌面上 且使书所在平面与桌面垂直 当书面沿书面与桌面的交线转动时 它会怎么样呢 探索研究 如果两个平面互相垂直 那么在第一个平面内垂直于交线的直线 是否垂直于第二个平面呢 由物理学原理知 它会倒塌 三 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 三 两个平面垂直的性质定理 为作辅助线提供了理论依据 如果两个平面垂直 那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内 为判定直线在平面内提供了理论依据 例1如图 已知平面 平面 l 在l上取线段AB 4 AC BD分别在平面 和平面 内 并且垂直于它们的交线AB 并且AC 3 BD 12 求CD的长 解 联接BC CD 因为AC AB 所以AC AC BD 又BD AB 所以BD BD BC 所以 BAC和 CBD都是直角三角形 在Rt BAC中 BC 5 在Rt CBD中 CD 13 1 过平面 的一条垂线可作 个平面与平面 垂直 2 过一点可作 个平面与已知平面垂直 练一练 3 过平面 的一条斜线 可作 个平面与平面 垂直 4 过平面 的一条平行线可作 个平面与 垂直 一 无数 无数 一 小结 1 二面角及其它的平面角 二面角 l 2 平面与平面垂直的判定定理 二面角的范围 0 180 平面与平面垂直的判定方法 1 定义法 如果两个平面所成的二面角是直二面角 我们就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 线面垂直 则 面面垂直