2019届高三数学下学期第四次校内诊断考试试题 理(含解析).doc

2019届高三数学下学期第四次校内诊断考试试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。2. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，则，应选答案A。3. 下列4个命题中正确的个数是（ ）（1）对于命题，使得，则都有（2）已知（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为（4）“”是“”的充分不必要条件A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】特称命题的否定只需将特称量词变为全称量词，并将结论否定即可正确；由已知知，曲线的对称轴为，则，故 正确；样本中心点满足回归直线方程，由回归直线的斜率估计值可求得回归直线方程正确；由结合基本不等式可得，反之，由得故“”是“”的充分不必要条件正确故本题选4. 已知函数，直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，可得，所以，即，又因为直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，则，所以，故选B考点：三角函数的图象与性质5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】C【解析】第一次循环： ，不满足；第二次循环： ，不满足；第三次循环： ，不满足；第一次循环： ，不满足； ；第十五次循环： ，满足； 。故选C。6. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为 （ ）A. 32 B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知该三棱锥的直观图（如图所示），底面为直角三角形，且 底面，设，则，解得， 所以该三棱锥的体积为；故选C.7. 设满足约束条件若，则仅在点处取得最大值的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知：，即，故，由题设，所以，应选答案B。8. 已知为的三个角所对的边，若（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理，设，因为，可化简,又，所以，所以，故选C考点：正弦定理及其应用9. 已知是实数，若圆与直线相切，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题设圆心到直线的距离，即，也即，因为，所以，即，解之得或，应选答案B。点睛：解答本题的关键是借助题设条件建立方程，然后再依据问题的特征与欲求目标之间的联系，借助基本不等式建立了不等式，最后通过解不等式使得问题获解。10. 过椭圆的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，若向量与向量共线，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设椭圆的左焦点为，则，直线的方程为，代人椭圆方程并整理得：.由韦达定理得，所以，根据与共线得，即，故选.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，共线向量.11. 中国诗词大会（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若将进酒 山居秋暝 望岳 送杜少府之任蜀州和另确定的两首词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A. 144种 B. 288种 C. 360种 D. 720种【答案】A【解析】将进酒、望岳和另确定的两首诗词排列全排列共有种排法，满足将进酒排在望岳的前面的排法共有，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在个空里（最后一个空不排），有种排法，将进酒排在望岳的前面、山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种，故选A.12. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因，故由题设在区间内有零点，即，所以且，即，应选答案D。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设，则二项式的展开式中含项的系数为_【答案】12【解析】因为，所以，由于通项公式，令，则，应填答案。14. 观察下列式子，根据以上事实，由归纳推理可得，当时，_【答案】【解析】先看解析式的分子的规律：系数是奇数，表达式是，再看分母，其中第一项的规律是：，第二项的规律是：，所以运用归纳推理可得，应填答案。点睛：解答本题的思路是运用合情推理中的归纳推理进行分析推断从而使得问题获解。求解时先依据函数解析式的特征，分别观察函数解析式中的分子与分母的规律和特征，从而归纳出函数的解析式的形式特征，进而使得问题获解。15. 垂直于直线并且与曲线相切的直线方程是_【答案】【解析】试题分析：先根据所求直线与直线垂直求出所求直线的斜率，然后设出切点，由，计算出的值，接着计算出的值，最后可写出切线的方程：，并化成一般方程即可.试题解析：因为直线的斜率为，所以垂直于直线并且与曲线相切的直线的斜率为设切点为，函数的导数为所以切线的斜率，得代入到得，即所求切线的方程为即.考点：1.两直线垂直的判定与性质；2.导数的几何意义.16. 若函数对定义域内的任意，当时，总有，则称函数为单调函数，例如函数是单纯函数，但函数不是单纯函数，下列命题：函数是单纯函数；当时，函数在是单纯函数；若函数为其定义域内的单纯函数，则若函数是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在使其导数，其中正确的命题为_（填上所有正确的命题序号）【答案】【解析】由题设中提供的“单纯函数”的定义可知：当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数。因为时，单调，所以是单纯函数；当时，单调，所以是单纯函数，故命题是正确的；对于命题，由于不单调，故不是单纯函数；由于单调函数一定是单纯函数，故当，则，即命题是正确的；对于命题，由于单纯函数一定是单调函数，所以在定义域内不存在极值点，故是错误的，应填答案。点睛：解答本题的关键是准确理解题设中新定义的新概念“单纯函数”及内涵。求解时充分借助题设中提供的四个命题的条件，综合运用所学知识对每个命题的错误与正确进行分析推断，从而使得问题获解。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，若时，. （1）求的通项公式；（2）设，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）当时，由可求出，由等差数列的通项公式可求数列的通项公式，将代入整理可得是以1为首项，以为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；（）因为，所以用裂项相消法求的前项和即可.试题解析： （）由数列满足，当时，即，又因为数列是公差为2的等差数列，所以（3分）由得，化简得：，即，即数列是以1为首项，以为公比的等比数列，所以. （6分）（），整理（裂项）（12分）考点：1.等差数列、等比数列的定义与性质；2.裂项相消法求和.【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义与性质以及裂项相消法求和，属中档题；，本题易错点在裂项时写错公式或弄错数列的首项与尾项. 本题在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力,本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.18. 如图：直三棱柱中，为中点. （1）求证：平面；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）在中，根据中位线性质可得，再依据线面平行的判定定理可以得出（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量是，以及，用向量法求出，进而得到二面角的正切值为；试题解析：（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，为中点，又，（2）解：以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，直三棱柱中，为中点，设二面角的大小为，则平面的法向量是，二面角的正切值是考点：线面平行；二面角的求法；19. 拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下列联表： 有明显拖延症无明显拖延症合计男女合计（1）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为，试求随机变量的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的的值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量，【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析:（）分层从 “无有明显拖延症”里抽人无明显拖延症的问卷的份数为，随机变量X=0，1，2利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；（）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得的观测值，即可得出试题解析:（）女生中从“有明显拖延症”里抽人，“无有明显拖延症”里抽人则随机变量，的分布列为：012（）由题设条件得，由临界值表可知： ，点晴：本题考查的是超几何分布和独立性检验问题.（）要注意区分是超几何分布还是二项分布，分层从 “无有明显拖延症”里抽人无明显拖延症的问卷的份数为 =0，1，2利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；（）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得的观测值，即可得出20. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于点，且,为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.【答案】（1）（2）直线过定点.【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程得，由得，则，联立方程得解；（2）分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率不存在时，直接代入得解；当斜率存在时，联立直线和椭圆的方程得，结合韦达定理，运用整体代换的思想化简得，可得其恒过定点.试题解析：（1）椭圆过点， ，则，由得，椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时 ，设，则，由得，得当直线的斜率存在时，设的方程为，得，即，由，即故直线过定点考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与圆锥曲线的综合.21. 设函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若有两个极值点，记过点的直线斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在，使得.【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，再运用导数与函数的单调性的关系及分类整合思想分类求其单调区间；（2）先假设满足题设条件的参数存在，再运用导数与函数单调性的关系及反证法进行分析推证：解：（）定义域为，令，当时，故在上单调递增，当时，的两根都小于零，在上，故在上单调递增，当时，的两根为，当时，；当时，；当时，；故分别在上单调递增，在上单调递减. （）由（）知，因为.所以,又由（1）知，于是，若存在，使得，则，即，亦即（）再由（）知，函数在上单调递增，而，所以，这与（）式矛盾，故不存在，使得.点睛：本题以函数参数的函数解析式为背景，设立了两个问题旨在考查导数工具在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先对函数求导，再运用导数与函数的单调性的关系及分类整合思想分类求其单调区间；解答第二问时，先假设满足题设条件的参数存在，然后借助题设中的条件建立方程再构造函数运用导数与函数单调性的关系及反证法进行分析推证从而使得问题获解。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 设函数.（1）求不等式的解集；（2），使，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式，可根据绝对值定义去绝对值符号（采用零点分区法），化绝对值不等式为一元一次不等式组，具体地就是令每个绝对值里的式子为0，解得根，这些根在轴上标出，它把轴分成几段，就由此分类即可；（2）若恒成立，只要求得的最小值，然后解不等式即能求得的范围试题解析：（1）由题意得,当时,不等式化为,解得,，当时,不等式化为,解得,当时,不等式化为,解得,综上,不等式的解集为.（2）由（1）得,解得,综上,的取值范围为.考点：解绝对值不等式，不等式恒成立23. 若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是.（1）若曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线的参数方程为（为参数）当直线与曲线相交于两点，求.【答案】（1）方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线.（2）8【解析】【试题分析】（1）运用极坐标与直角坐标之间的关系及圆锥曲线的标准方程的特征进行分析求解；（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，运用直线参数方程中的参数的几何意义分析求解：解：（1），曲线的直角坐标系方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线.（2）直线的参数方程可化为，代入得.解得.