2019届高考数学模拟考试试卷 文(含解析).doc

2019届高考数学模拟考试试卷 文(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若（）与互为共轭复数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求【详解】 ，又与互为共轭复数，则.故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础的计算题2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合A和B，利用交集定义能求出AB【详解】集合A=x|x|2，B=x|x2-x-20，Ax|-2x2，Bx|x1或x2，ABx|-2x-1故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.fx=ln2xcosx的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可【详解】f（x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，f（）lncosln+10，排除C，故选：B【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键4.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2,|a+b|=6,则|ab|= （ ）A. 2B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】【分析】根据向量点积运算得到2ba=1，再得到ab2=1+41=4,ab=2.【详解】根据题意得ab2=a2+b22ba 又a+b2=a2+b2+2ba=62ba=1，ab2=1+41=4ab=2 故选:A【点睛】这个题目考查了向量的点积运算以及向量的模长的计算，题目较为简单基础.5.以双曲线x24y25=1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A. x2y2=1B. x29y2=1C. x29y23=1D. x29y29=1【答案】D【解析】【分析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为3,0，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以a=b，进而可求解双曲线的方程，得到答案。【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为3,0，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a=b=3，则该双曲线的方程为x29-y29=1.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1,b=2,B=45，则角A=( )A. 30B. 60C. 30或150D. 60或120【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可解得sinA=asinBb=12，利用大边对大角可得范围A(0,45)，从而解得A的值【详解】a=1,b=2,B=45，由正弦定理可得：sinA=asinBb=1222=12，a=1b=2，由大边对大角可得：0A45，解得：A=30故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围7.某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如表所示：（ ）月份i123456因感冒就诊人数a1 a2a3a4a5a6如图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ）A. i6；s=a1+a2+.+ai【答案】C【解析】试题分析：因为，要统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数，所以，判断框应填i6，执行框应填s=s+ai，故选C。考点：本题主要考查算法，程序框图。点评：简单题，注意理解算法的意义及其功能，理解判断框、执行框的意义。8.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A. 19B. 318C. 29D. 518【答案】C【解析】【分析】从18组随机数中，找到恰好第三次就停止的有4组，由古典概型概率公式可得结果.【详解】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：021，001，031，130共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为418=29，故选C.【点睛】本题主要考查随机数的应用以及古典概型概率公式，属于中档题. 在解答古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式P=mn求得概率.9.在各棱长均相等的四面体ABCD中,已知M是棱AD的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（ ）A. 23B. 25C. 36D. 26【答案】C【解析】【分析】取CD中点N,连结MN,BN，则MN/AC,从而BMN是异面直线BM与AC所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线BM与AC所成角的余弦值.【详解】各棱长均相等的四面体ABCD中棱长为2，设取CD中点N,连结MN,BN，M是棱AD的中点，MN/AC,BMN是异面直线BM与AC所成角（或所成角的补角），AM=BN=41=3,MN=1，cosBMN=BM2+MN2BN22BMMN=3+13231=36，异面直线BM与AC所成角的余弦值为36，故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.10.已知P(1,2)是函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)图象的一个最高点，B,C是与P相邻的两个最低点.设BPC=，若tan2=34，则f(x)的图象对称中心可以是（ ）A. (0,0)B. (1,0)C. 32,0D. 52,0【答案】D【解析】【分析】结合题意，分别计算各个参数，代入特殊值法，计算对称中心，即可。【详解】结合题意,绘图tan2=12BC4=34，BC=6，所以周期T=2w=6，解得w=3，所以sin3+=1,=2+2k-3=6+2k，令k=0，得到=6所以y=2sin3x+6，令3x+6=m,mZ,得对称中心(-12+3m,0)，令m=1,得到对称中心坐标为52,0，故选D。【点睛】本道题考查了三角函数解析式求法，以及三角函数性质，难度中等。11.已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2x)=0，现给出下列命题：函数f(x)是以2为周期的周期函数；函数f(x)是以4为周期的周期函数；函数f(x1)为奇函数；函数f(x3)为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）f（x），可得周期为4，即可判断的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为x，化简变形即可判断的正确性【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2x）0，即有f（x）f（x）f（2x），即为f（x+2）f（x），f（x+4）f（x+2）f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故错误；正确；由f（x+2）f（x），可得f（x+1）f（x1），又f（x1）f（x+1），即有f（x1）f（x1），故f（x1）为奇函数，故正确；由f（x3）f（x+3），若f（x3）为偶函数，即有f（x3）f（x3），可得f（x+3）f（x3），即f（x+6）f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故错误故选：B【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上存在A、B两点恰好关于直线：xy1=0对称，且直线AB与直线的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为（ ）A. 13B. 33C. 22D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意可得直线AB与直线的交点P2,1，KAB=-1，利用中点弦可得KAB=y1-y2x1-x2=-2b2a2，从而得到椭圆C的离心率.【详解】由题意可得直线AB与直线的交点P2,1，KAB=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x24，y1+y22，A、B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点，x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，得：(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0，2(x1-x2)a2=-y1-y2b2，KAB=y1-y2x1-x2=-2b2a2=-1，a2=2b2ca=1-b2a2=22故选：C【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若函数f(x)=xlnx+a的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,2)，则a=_.【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可【详解】函数f（x）=xlnx+a，可得f（x）=lnx+1，所以f（1）=1，又f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2），所以2=2-1+a，解得a=1故答案为1【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力14.设x，y满足约束条件x2y+30xy+10y1，则z=3x+4y的最大值为_【答案】5【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值.【详解】作出x，y满足约束条件x-2y+30x-y+10y1，所示的平面区域，如图：作直线-3x+4y=0，然后把直线l向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由x-2y+3=0x-y+1=0A1,2此时z=5.故答案为:5【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ax+by型）、斜率型（y+bx+a型）和距离型（x+a2+y+b2型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。15.若2cos2=sin(4)，(2,)，则sin2=_【答案】78【解析】【分析】由2cos2=sin(4-)化简得到：cos4=14，再对sin2变形即可。【详解】由2cos2=sin(4-)得：2sin22=sin4即：4sin4cos4=sin4，又sin40解得：cos4=14，所以sin2= cos22=2cos241=78。【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，考查计算能力及观察能力，属于基础题。16.已知三棱锥SABC中，SA面ABC，且SA=6，AB=4，BC=23，ABC=30，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】52【解析】【分析】根据题意，证出BC平面SAC，可得BCSC，得RtBSC的中线OC=12SB，同理得到OA=12SB，因此O是三棱锥SABC的外接球心利用勾股定理结合题中数据算出SC，得外接球半径R13，从而得到所求外接球的表面积【详解】取SB的中点O，连结OA、OCSA平面ABC，AB平面ABC，SAAB，可得RtASB中，中线OA=12SB由AB=4，BC=23，ABC=30，可知：ACBC，又SABC， SA、AB是平面SAB内的相交直线BC平面SAC，可得BCSC因此RtBSC中，中线OC=12SBO是三棱锥SABC的外接球心，RtSBA中，AB=4，SA6SB2，可得外接球半径R=12SB13因此，外接球的体积S=4r2=52故答案为：52【点睛】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列an的前n项和为Sn，且2，an，Sn成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足bn=log2a1+log2a2+log2an，求数列的1bn前n项和Tn.【答案】（1）an=2n;（2）2nn+1.【解析】【分析】(1)利用an=SnSn1,计算通项,即可.(2)将数列an通项代入,利用裂项相消法,即可.【详解】解：（1）因为2，an，Sn成等差数列，所以2an=Sn+2，当n=1时，2a1=a1+2，所以a1=2，当n2时，Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，两式相减得an=2an-2an-1，所以anan-1=2，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n.（2）bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+n=n(n+1)2，所以1bn=2n(n+1) =2(1n-1n+1)，所以Tn=1b1+1b2+1bn=2(1-12)+(12-13)+ +(1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1.【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用户编号评分用户编号评分用户编号评分用户编号评分1234567891078738192958579846386111213141516171819208886957697788882768921222324252627282930798372749166808374823132333435363738394093787581847781768589用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x和方差s2；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在xs,x+s之间，则满意度等级为“A级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？（参考数据：305.48,335.74,355.92）【答案】（1）见解析；（2）均值x=83，方差s2=33（3）50%【解析】【分析】（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据；（2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；（3）根据题意，分析评分在(83-33，83+33)，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案【详解】（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得x=110(92+84+86+78+89+74+83+78+77+89)=83，则有S2=11092-832+84-832+86-832+78-832+89-832+74-832+83-832+78-832+77-832+89-832=33 所以均值x=83，方差s2=33.（3）由题意知评分在(83-33,83+33)即(77.26,88.74)之间满意度等级为“A级”， 由（1）中容量为10的样本评分在(77.26,88.74)之间有5人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为510=0.5=50%【点睛】本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题19.如图，在三棱锥PABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB=BC，O是AC中点，OHPC于H.（1）证明：PC平面BOH；（2）若OH=OB=3，求三棱锥ABOH的体积.【答案】（1）详见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证明BO平面PAC，得到BOPC，结合已知OHPC，证得PC平面BOH.（2）将所求VA-BOH转化为VB-HOC，利用（1）的结论得到三棱锥的高为OB，由此计算得三棱锥的体积.【详解】解：（1）ABBC，O是AC中点，BOAC，又平面PAC平面ABC，且BO平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BO平面PAC，BOPC，又OHPC，BOOHO，PC平面BOH；（2）HAO与HOC面积相等，VA-BOH=VB-HAO=VB-HOC,BO平面PAC,VB-HOC=13SOHCOB,OH=3,HOC=30HC=1,SOHC=12CHOH=32,VB-OCH=13323=12,即VA-BOH=12.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.20.在直角坐标系xOy中，直线y=x+4与抛物线C:x2=2pyp0交于A，B两点，且OAOB.（1）求C的方程；（2）试问：在x轴的正半轴上是否存在一点D，使得ABD的外心在C上？若存在，求D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x2=4y； （2）在x轴的正半轴上存在一点D4+42,0，使得ABD的外心在C上.【解析】【分析】（1）联立x2=2pyy=x+4，得x2-2px-8p=0，利用x1x2+y1y2= 2x1x2+4x1+x2+16=0，结合韦达定理列方程求得p=2，从而可得结果；（2）求出线段AB的中垂线方程y=-x+8.联立x2=4yy=-x+8，得x2+4x-32=0，解得x=-8或4，从而ABC的外心P的坐标为4,4或-8,16，分别利用PA=DP求得m的值，验证是否符合题意即可.【详解】（1）联立x2=2pyy=x+4，得x2-2px-8p=0，则x1+x2=2p，x1x2=-8p，从而y1y2=x1+4x2+4 =x1x2+4x1+x2+16.OAOB，OAOB=x1x2+y1y2= 2x1x2+4x1+x2+16=0，即-16p+8p+16=0，解得p=2，故C的方程为x2=4y.（2）设线段AB的中点为Nx0,y0，由（1）知，x0=x1+x22=2，y0=x0+4=6，则线段AB的中垂线方程为y-6=-x-2，即y=-x+8.联立x2=4yy=-x+8，得x2+4x-32=0，解得x=-8或4，从而ABC的外心P的坐标为4,4或-8,16.假设存在点Dm,0 m0，设P的坐标为4,4，AB=1+12x1+x22-4x1x2 =216+64=410，PA=PN2+AN2=43，则DP=m-42+16=43.m0，m=4+42.若P的坐标为-8,16，则PA=PN2+AN2=415，DP=m+82+162415，则P的坐标不可能为-8,16.故在x轴的正半轴上存在一点D4+42,0，使得ABD的外心在C上.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的应用以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.21.已知函数f(x)=a(x1)2+lnx+1.（1）当a=14时，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间2,4上是减函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(,14【解析】【分析】（1）当a=14时，利用函数fx的导数，求得函数的单调区间，由此求得函数的极值.（2）依题意可知函数fx在区间2,4上的导函数为非正数，列不等式后利用分离常数法，求解出a的取值范围.【详解】（1）当a=-14时， f(x)=-14(x-1)2+lnx+1= -14x2+12x+lnx+34(x0)，f(x)=-12x+1x+12 =-(x-2)(x+1)2x(x0)，由f(x)0解得0x2，由f(x)2，故当0x2时，f(x)单调递减，当x=2时，函数f(x)取得极大值f(2)=34+ln2，无极小值.（2）f(x)=2a(x-1)+1x，函数f(x)在区间2,4上单调递减，f(x)=2a(x-1)+1x0在区间2,4上恒成立，即2a1-x2+x在2,4上恒成立，只需2a不大于1-x2+x在2,4上的最小值即可.而1-x2+x=1-(x-12)2+14 (2x4)，则当2x4时，1-x2+x-12,-112，2a-12，即a-14，故实数a的取值范围是(-,-14.【点睛】本小题主要考查利用函数的导数求函数的单调区间以及极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.利用导数求函数的单调区间，首先要将函数求导，然后解一元二次不等式求得函数的单调区间，要注意的是，单调区间必须在定义域的范围内来取得.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（0,0,2），点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足OAOB=8，点B的轨迹为C2。（）求C1,C2的极坐标方程；（）设点C的极坐标为2,2，求ABC面积的最小值。【答案】() C1:=2cos;C2:cos=4()2【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；设点B的极坐标为（，），点A的极坐标为（0，0），则|OB|，|OA|0，02cos0，0，从而08，由此能求出C2的极坐标方程（2）由|OC|2，SABCSOBCSOAC=12|OC|BcosAcos|42cos2|，由此能求出SABC的最小值【详解】（1）曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），曲线C1的普通方程为x2+y22x0，曲线C的极坐标方程为2cos，设点B的极坐标为（，），点A的极坐标为（0，0），则|OB|，|OA|0，02cos0，0，|OA|OB|8，08，8=2cos，cos4，C2的极坐标方程为cos4（2）由题设知|OC|2，SABCSOBCSOAC=12|OC|BcosAcos|42cos2|，当0时，SABC取得最小值为2【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23.设函数fx=x+1+xa.（1）当a=1时，求关于x的不等式fx3的解集；（2）若fx4在0,2上恒成立，求a的取值范围.【答案】(1) ,3232,+ (2) 1a3【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集；（2）因为x0,2，得x+1+xa4，再利用绝对值的定义，去掉绝对值号，即可求解。【详解】（1）因为fx=x+1+x-1=-2x,x-12,-1x12x,x1，所以的解集为.（2）因为，所以，即，则，所以.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向