2019届高三数学3月模拟试题 文(含解析).doc

2019 届高三数学 3 月模拟试题 文 含解析 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 A B C D 答案 A 解析 分析 解不等式求出集合 A 求定义域得出 B 再根据交集的定义写出 A B 详解 集合 A x x 2 3x 2 0 x 1 x 2 B x y lg 3 x x 3 x 0 x x 3 则 A B x 1 x 2 故选 A 点睛 本题考查了集合的基本运算 不等式解集 函数定义域 准确计算是关键 是基础题 目 2 已知双曲线 的一条渐近线为 则双曲线的离心率为 A B 2 C D 答案 D 解析 分析 根据双曲线的渐近线方程得到 a b 的关系 再根据离心率公式计算即可 详解 双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线为 双曲线的离心率为 e 故选 D 点睛 本题考查双曲线的方程和几何性质 考查渐近线方程的运用 考查离心率的求法 考查运算能力 属于基础题 3 中国将于今年 9 月 3 日至 5 日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤 某志愿者 队伍共有 5 人负责接待 其中 3 人担任英语翻译 另 2 人担任俄语翻译 现从中随机选取 2 人 恰有 1 个英语翻译 1 个俄语翻译的概率是 A B C D 答案 C 解析 分析 利用古典概率计算公式计算即可 详解 从 5 人中随机选 2 人的基本事件总数为 恰有 1 个英语翻译 1 个俄语翻译的事 件总数为 P 恰有 1 个英语翻译 1 个俄语翻译 故选 C 点睛 本题考查了古典概率计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 4 已知角 的顶点在坐标原点 始边与 轴的非负半轴重合 终边经过点 则 的值为 A B C D 答案 A 解析 分析 利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值 再利用两角差的正切公式求得 tan 的值 详解 角 的顶点在坐标原点 始边与 x 轴的非负半轴重合 终边经过点 2 tan 则 tan 3 故选 A 点睛 本题主要考查任意角的三角函数的定义 两角差的正切公式 熟记定义与公式 准 确计算是关键 属于基础题 5 我国古代数学典籍 九章算术 第七章 盈不足 中有一问题 今有蒲生一日 长三尺 莞生一日 长一尺 蒲生日自半 莞生日自倍 问几何日而长等 蒲常指一种多年生草 本植物 莞指水葱一类的植物 现欲知几日后 莞高超过蒲高一倍 为了解决这个新问题 设计下面的程序框图 输入 那么在 处应填 A B C D 答案 B 解析 分析 根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图 即可求解 详解 由题意 S 表示莞高 T 表示蒲高 现欲知几日后 莞高超过蒲高一倍 故 处应 填 S 2T 故选 B 点睛 本题考查程序框图 考查学生的读图能力 比较基础 读懂程序的功能是关键 6 实数 满足 则 的最大值为 A 3 B 4 C 18 D 24 答案 D 解析 分析 画出满足条件的平面区域 求出交点的坐标 结合函数的图象求出 z 的最大值即可 详解 画出满足条件 的平面区域 如图所示 由 解得 A 3 4 由 z 4x 3y 得 l y x z 平移 l 结合图象得直线 l 过 A 3 4 时 z 最大 z 的最大值是 24 故选 D 点睛 本题考查了简单的线性规划问题 考查数形结合思想 准确画出可行域 确定最优 解是关键 是一道中档题 7 定义在 上的连续函数 当 时 函数 单调递增 且函数 的图象关于直线 对称 则使得 成立的 的取值范围是 A B C D 答案 C 解析 分析 根据函数的对称性得到函数 f x 是偶函数 根据 f 2 0 问题转化为 2 m 2 求 出 m 的范围即可 详解 函数 y f x 1 的图象关于直线 x 1 对称 即函数 y f x 的图象关于 y 轴对称 故函数 f x 是偶函数 而 f 2 0 故 f 2 m 0 即 f 2 m f 2 由题意知函数为增函数 故 2 m 2 解得 m 4 或 m 0 故选 C 点睛 本题考查了函数奇偶性 考查转化思想以及函数的单调性 熟练运用函数的奇偶性 和单调性解不等式是关键 是一道中档题 8 在平行四边形 中 若 则 A B C D 答案 B 解析 分析 根据平行四边形的性质 利用平面向量的线性表示化简 再结合数量积运算 即可求出答案 详解 如图所示 平行四边形 ABCD 中 AB 3 AD 2 若 12 则 32 22 3 2 cos BAD 12 cos BAD 又 BAD 0 BAD 故选 B 点睛 本题考查了平面向量基本定理 平面向量的数量积运算 将向量 表示为 是关键 基础题目 9 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某四棱锥的三视图 已知其俯视图 是正三角形 则该四棱锥的外接球的表面积是 A B C D 答案 A 解析 分析 根据四棱锥的三视图知该四棱锥为底面为矩形 高为 的四棱锥 放入长方体 设该四棱锥 的外接球球心为 O 求出外接球的半径 计算外接球的表面积 详解 根据四棱锥的三视图 知该四棱锥为底面为矩形 高为 的四棱锥 且侧面 PAB 底面 ABCD 如图所示 放入长方体 图 2 所示 长方体的长 CD 2 宽为 高为 设该四棱锥的外接球球心为 O 则 过 O 作 OM 平面 PAB M 为 PAB 的外心 作 ON 平面 ABCD 则 N 为矩形 ABCD 对角线的交点 OM ON 外接球的半径满足 R2 ON 2 AN2 外接球的表面积为 S 4 R 2 4 故选 A 点睛 本题考查了由空间几何体三视图 外接球问题 准确还原几何体 将四棱锥放到长 方体中是关键 是综合性题目 10 已知抛物线 的焦点为 准线为 是 上两动点 且 为常数 线段 中点为 过点 作 的垂线 垂足为 若 的最小值为 1 则 A B C D 答案 C 解析 如图 过点 A B 分别作准线的垂线 AQ BP 垂足分别是 Q P 设 AF a BF b 连 AF BF 由抛物线定义得 AF AQ BF BP 在梯形 ABPQ 中 2 MN AQ BP a b 在 中 由余弦定理得 当且仅当 即 时等号成立 的最小值为 1 解得 选 C 点睛 1 抛物线定义在解题中的两个应用 当已知曲线是抛物线时 可利用抛物线上的点 M 满足定义 它到准线的距离为 d 则 MF d 利用此结论可解决有关距离 最值 弦长等问 题 当动点满足的几何条件符合抛物线的定义时 可根据定义得到动点的轨迹是抛物线 进而可求得抛物线的方程 2 应用基本不等式求最值时 一定要注意不等式使用的条件 当所给式子不满足条件时 需要通过变形得到所需要的形式 然后再用不等式求解 11 已知数列 的前 项和为 直线 与圆 交于 两 点 且 若 对任意 恒成立 则实数 的取 值范围是 A B C D 答案 B 解析 分析 由已知得到关于数列 a n 的递推式 进一步得到 S n 2 是以 2 为首项 2 为公比的等比数 列 求出数列 a n 的前 n 项和为 Sn 进一步求得数列 a n 的通项 然后利用错位相减法求得 代入 a n2 2 分离参数 求出 的最大值得答案 详解 圆心 O 0 0 到直线 y x 2 即 x y 2 0 的距离 d 2 由 d2 r2 且 得 22 Sn 2a n 2 4 S n 2 S n S n 1 2 即 Sn 2 2 S n 1 2 且 n 2 S n 2 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 由 22 Sn 2a n 2 取 n 1 解得 2 S n 2 2 2 n 1 则 Sn 2 n 1 2 n 2 2 适合上式 设 所以 所以 若 对任意 恒成立 即 对任意 恒成立 即 对任意 恒成立 设 因为 所以 故 的最大值为 因为 所以 故选 B 点睛 本题考查数列通项公式 数列求和 数列的最值 不等式恒成立问题 考查数学转 化思想方法 训练了利用错位相减法求数列的前 n 项和 考查直线与圆的位置关系 是中档 题 12 已知 为动直线 与 和 在区间 上的左 右两个交 点 在 轴上的投影分别为 当矩形 面积取得最大值时 点 的横坐标为 则 A B C D 答案 A 解析 分析 由题意知 P 与 Q 关于直线 对称 设 P x sinx 则矩形 PQRS 的面积为 S x 2x sinx 0 x 再利用导数求得矩形面积 S x 的最大值 结合零点存在定理 和 得 的范围 详解 由题意知 与 关于直线 对称 设 则 在区间 上单调递减 且 在区间 存在唯一零点 即为 令 得 即 由不等式 得 解得 故选 A 点睛 本题考查函数与导数综合 零点 不等式等 三角函数的图象与性质 考查数形结合 思想 转化与化归思想 考查逻辑推理能力 属于中档题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 复数 满足 为虚数单位 则 的共轭复数为 答案 解析 分析 由复数代数形式的除法运算得 z 再由共轭复数得答案 详解 由 得 z 故答案为 点睛 本题考查复数代数形式的除法运算 考查复数的基本概念 准确计算是关键 是基 础题 14 是等差数列 其前 项和为 的最大值为 答案 30 解析 分析 设等差数列 a n 的公差为 d 根据 可得 3d 15 3 6d 15 解得 d 令 解得 n 进而得出 的最大值 详解 设等差数列 a n 的公差为 d 3d 15 3 6d 15 解得 d 5 15 a n 15 5 n 1 20 5n 由 解得 3 n 4 则 的最大值为 3 15 30 故答案为 30 点睛 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式 数列和的最值 考查了推理能力与计 算能力 属于中档题 15 直三棱柱 中 直线 与平面 所成角 等于 则三棱柱 的侧面积为 答案 解析 分析 由题意 B 60 求出底面的边长 即可求出三棱柱 ABC 的侧面积 详解 由题意 面 B 60 B AB 三棱柱 ABC 的侧面积为 2 1 故答案为 点睛 本题考查三棱柱的侧面积 线面位置关系 考查学生的计算能力 属于中档题 16 若实数 满足 则 的最小值是 答案 1 解析 分析 a 2b 1 2 a c lnc 2 0 可得 a 2b 1 a c lnc 得 故 b c 令 f c 1 c lnc c 0 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可 求解 详解 a 2b 1 2 a c lnc 2 0 a 2b 1 a c lnc 2b 1 c lnc b b c 令 f c 1 c lnc c 0 f c 1 当 c 1 f c 0 0 c 1 f c 0 可得 c 1 时 函数 f c 取得极小值即最小值 f 1 2 0 b c 1 故答案为 1 点睛 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值 函数的性质 方程的解法 考 查了推理能力与计算能力 属于中档题 三 解答题 本大题共 5 小题 每小题 12 分 共 60 分 17 已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点是 是函数 图象的一个最高点 分别为 的三个内角 的对边 满 足 求函数 的解析式 将函数 的图象向左平移 1 个单位后 纵坐标不变 横坐标伸长为原来的 倍 得到 函数 的图象 求函数 的单调递减区间 答案 解析 分析 由函数 y Asin x 的部分图象求解析式 由周期求出 由特殊点的坐标求 出 的值 解直角三角形求出 A 可得 f x 的解析式 利用函数 y Asin x 的图象变换规律求得 g x 的解析式 再利用正弦函数的单调性求得函 数 g x 的单调递减区间 详解 由题意得 且 6 故 由正弦定理得 整理得 即 又 所以 在 中 易知 取 中点 易得 即 所以 函数 图像向左平移 1 个单位 得 纵坐标不变 横坐标伸长为原来的 倍 得 由 解得 所以函数 单调递减区间为 点睛 本题主要考查由函数 y Asin x 的部分图象求解析式 由周期求出 由 特殊点的坐标求出 的值 解直角三角形求出 A 还考查了函数 y Asin x 的图象 变换规律 正弦函数的单调性 属于中档题 18 为了响应厦门市政府 低碳生活 绿色出行 的号召 思明区委文明办率先全市发起 少开一天车 呵护厦门蓝 绿色出行活动 从今天开始 从我做起 力争每周至少一天 不开车 上下班或公务活动带头选择步行 骑车或乘坐公交车 鼓励拼车 铿锵有力的 话语 传递了绿色出行 低碳生活的理念 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数 统计如下 人数 次数 年龄 18 岁至 31 岁 8 12 20 60 140 150 32 岁至 44 岁 12 28 20 140 60 150 45 岁至 59 岁 25 50 80 100 225 450 60 岁及以上 25 10 10 18 5 2 联合国世界卫生组织于 xx 确定新的年龄分段 44 岁及以下为青年人 45 岁至 59 岁为中年 人 60 岁及以上为老年人 用样本估计总体的思想 解决如下问题 估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数 若月骑车次数不少于 30 次者称为 骑行爱好者 根据这些数据 能否在犯错误的概 率不超过 0 001 的前提下认为 骑行爱好者 与 青年人 有关 0 001 10 828 答案 在犯错误的概率不超过 0 001 的前提下认为 骑行爱好者 与 青年人 有关 解析 分析 利用组中值 即可估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数 根据 条件中所给的数据 列出列联表 把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值 把观测值 同临界值进行比较得到结论 详解 估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数为 根据题意 得出如下 列联表 骑行爱好者 非骑行爱好者 总计 青年人 700 100 800 非青年人 800 200 1000 总计 1500 300 1800 根据这些数据 能在犯错误的概率不超过 0 001 的前提下认为 骑行爱好者 与 青年人 有关 点睛 本题考查独立性检验的应用 本题解题的关键是根据所给的数据列出列联表 准确 计算是关键 是中档题 19 已知空间几何体 中 与 均为边长为 的等边三角形 为腰长为 的 等腰三角形 平面 平面 平面 平面 试在平面 内作一条直线 使得直线上任意一点 与 的连线 均与平面 平行 并给出详细证明 求三棱锥 的体积 答案 见解析 解析 分析 第一问注意到任意直线都与平面是平行的 从而想到应该是线所在的平面与对应平面 是平行的 再结合题中所给的条件 求得结果 第二问结合题中的条件 求出与三棱锥的体 积相关的量 最后代入体积公式求得结果 详解 如图所示 取 DC 中点 N 取 BD 中点 M 连结 MN 则 MN 即为所求 证明 取 BC 中点 H 连结 AH ABC 为腰长为 3 的等腰三角形 H 为 BC 中点 AH BC 又平面 ABC 平面 BCD 平面 ABC 平面 BCD BC AH 平面 ABC AH 平面 BCD 同理可证 EN 平面 BCD EN AH EN 平 面 ABC AH 平 面 ABC EN 平 面 ABC 又 M N 分别为 BD DC 中点 MN BC MN 平面 ABC BC 平 面 EMN MN 平 面 ABC 又 MN EN N MN 平面 EMN EN 平面 EMN 平面 EMN 平面 ABC 又 EF 平面 EMN EF 平面 ABC 连结 DH 取 CH 中点 G 连结 NG 则 NG DH 由 可知 EN 平面 ABC 所以点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等 又 BCD 是边长为 2 的等边三角形 DH BC 又平面 ABC 平面 BCD 平面 ABC 平面 BCD BC DH 平面 BCD DH 平面 ABC NG 平面 ABC DH 又 N 为 CD 中点 NG 又 AC AB 3 BC 2 S ABC BC AH 2 V E ABC VN ABC S ABC NG 注 本题用空间向量做同样给分 点睛 该题考查的是有关空间的线线 线面 面面的平行垂直关系 要求对这些定理的 条件都得熟记 并且能够将问题转化 再者 在计算三棱锥的体积时 对应的高线在求解时 需要做的垂线必须借助于垂面来完成 即所有的垂线以及平行线都不是凭空而来的 20 已知椭圆 动圆 圆心 为椭圆 上 异于左右顶点的任意一点 过原点 作两条射线与圆 相切 分别交椭圆于 两点 且切 线长的最小值为 求椭圆 的方程 求证 的面积为定值 答案 见解析 解析 分析 将圆心坐标代入椭圆方程 根据两点之间的距离公式 OT 由切线长的最小值为 即可求得 b 的值 求得椭圆 C 的方 程 当斜率不存在 此时 M N 分别为长 短轴一个端点 则 MON 的面积为 当斜 率存在 分别设出切线方程 代入求得 M 和 N 的坐标 由三角形的面积 S MON 即可求得 MON 的面积 详解 因为椭圆 焦点在 x 轴上 P 在椭圆方程 上 则 2 b 2 1 由 b 2 得 1 b2 b 2 r2 故点 O 在圆 P 外 不妨设 OM 与圆 P 相切于 T 则有 切线长 OT 代入得 OT 由已知得 解得 b 2 2 所以椭圆的方程为 当切线 或 斜率不存在即圆 与 轴相切时 易得 代入椭圆方程得 说明圆 同时也与 轴相切 此时 分别为长 短轴一个端点 则 的面积为 当切线 斜率都存在时 设切线方程为 由 得 整理得 由 知 即 此时 方程 必有两个非零根 记为 则 分别对应直线 的斜率 由韦达定理得 将 代入得 由上知 设点 位于第一 三象限 点 位于第二 四象限 若点 位于第一象限 点 位于第二象限 设 与椭圆方程 联立 可得 设 与椭圆方程 联立可得 分别过 M N 作 垂直 x 轴 则 代入坐标有 同理 当点 位于其它象限时 结论也成立 点睛 本题考查椭圆的标准方程的求法 直线与圆 直线与圆锥曲线的位置关系 考查推 理运算和方程求解能力 运用化归转化手段 将切线长最短问题转化为椭圆上的动点到定点 距离最短问题 考查圆锥曲线中的有关定值问题 从变化中寻找不变量 并通过必要的推理 和运算化简求值 考查转化化归思想 分类整合思想 属于难题 21 已知函数 讨论函数 的单调性 函数 有两个极值点 其中 若 恒成立 求实数 的 取值范围 答案 或 时 函数 的增区间是 减区间是 时 函数 的增区间是 解析 分析 求出函数的导数 通过讨论 a 的范围 求出函数的单调区间即可 问题等价于 m 恒成立 即 m 恒成立 令 t a 2 t 2 则 令 g t 根据函数的单调性求出 g t 的最小值 从而 求出 m 的范围即可 详解 令 1 当 时 即 或 时方程 有两根 函数 的增区间是 减区间是 2 当 时 即 时 在 上恒成立 函数 的增区间是 综上所述 或 时 函数 的增区间是 减区间是 时 函数 的增区间是 有两根 且 且 恒成立等价于 恒成立 即 恒成 立 令 则 令 当 时 函数 单调递增 的取值范围是 点睛 本题考查函数的单调性问题 考查导数的应用 解决与不等式有关的参数范围和证 明问题 考查函数与方程思想 转化与化归思想 分类思想 考查运算能力 是一道综合 题 四 选考题 请考生在 22 23 两题中任选一题作答 只能做所选定的题目 如果多做 则 按所做第一个题目计分 做答时 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 满分 10 分 22 在直角坐标系 中 曲线 为参数 以 为极点 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为 直线 的极坐标方程为 求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程 若直线 与 在第一象限分别交于 两点 为 上的动点 求 面积的最大 值 答案 1 2 解析 分析 先求出曲线 的普通方程 再把普通方程化为极坐标方程 再写出直线的直角坐标方程 先求出 再求出以 为底边的 的高的最大值为 再求 面积的最大值 详解 依题意得 曲线 的普通方程为 曲线 的极坐标方程为 直线 的直角坐标方程为 曲线 的直角坐标方程为 设 则 即 得 或 舍 则 到 的距离为 以 为底边的 的高的最大值为 则 的面积的最大值为 点睛 1 本题主要考查参数方程 极坐标方程和直角坐标方程的互化 考查直线和圆的 位置关系 考查面积的最值的求法 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 2 本题的解题的关键是求出 23 已知函数 若 的解集是 求 的值 关于 的不等式 有解 求实数 的取值范围 答案 1 m 3 2 解析 试题分析 作出 f x 的图象 结合题意可得 由此求得 m 的 值 求得 f x 的最小值为 2 可得 2 a 2 a 4 由此求得 a 的范围 试题解析 1 解法一 作出函数 的图象 由 的解集为 及函数图象得 得 解法二 得 得 得 不合题意 得 当 时 不符合 舍去 当 时 综上不等式的解集为 2 解法一 由 得 有解 即 即 实数 的取值范围 解法二 由绝对值不等式几何意义得 有解 即 实数 的取值范围 点睛 含绝对值不等式的解法有两个基本方法 一是运用零点分区间讨论 二是利用绝对值 的几何意义求解 法一是运用分类讨论思想 法二是运用数形结合思想 将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇 渗透 解题时强化函数 数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用 这是命题的新动向