2019届高三数学6月模拟考试题 理(重点班含解析).doc

2019届高三数学6月模拟考试题 理(重点班，含解析)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求的集合，根据集合的运算，即可得到详解：由集合，所以，故选D点睛：本题考查了集合的交集运算，正确求解集合是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力2.已知是虚数单位，复数，若在复平面内，复数与所对应的点关于虚轴对称，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，z1=3-4i，求出z2，代入计算即可【详解】复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，z1=3-4iz2=-3-4iz1z2=3-4i-3-4i=-25故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3.设等差数列an的前n项和为Sn.若a1+a3=6，S4=16，则a4=A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】分析：根据已知条件列出方程组求出a1,d，再求a4得解.详解：由题得2a1+2d=64a1+6d=16,a1=1,d=2.所以a4=1+32=7.故答案为：B点睛：本题主要考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.4.九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为A. 215 B. 25C. 415 D. 15【答案】A【解析】分析：利用面积公式以及梯形的面积公式，以及几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率.详解：邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，圭田广为八步，正从为五步的，在邪田内随机种植一株茶树，所以利用面积公式，算出圭田的面积面积，1285利用梯形的面积公式，算出邪田的面积，1210+2010根据几何概型概率公式可得，该株茶树恰好种在圭田内的概率为：P=215，故选A.点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=10，a2+a3+a4+a5+a6=20，则“Sn取得最小值”的一个充分不必要条件是（ ）A. n=5或6 B. n=5或6或7 C. n=6 D. n=11【答案】C【解析】【分析】求出等差数列的通项公式，令其小于或等于零【详解】设等差数列an的公差为da2+a3+a4+a5+a6=-205a1+15d=-20a1=-10，d=2an=-10+2n-1=2n-12令an=2n-12=0，解得n=6，故当n=5或6时S5=S6都是最小值，则满足题意“Sn取得最小值”的一个充分不必要条件是n=6，故选C【点睛】本题考查了等差数列前n项和的最小问题，有两种解法：一是求出an0的情况，另一个是化简Sn的表达式，得到一个关于n的一元二次函数问题。6.我国古代九章算术里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB,CD间的距离为3尺，CD,EF间的距离为7尺，则异面直线DF与AB所成角的正弦值为（ ）A. 9130130 B. 7130130 C. 97 D. 79【答案】B【解析】【分析】先找出异面直线所成的角，然后计算边长求出正弦值【详解】如图：根据题意ABCD，所以FDC异面直线DF与AB所成角，又因为CD=10尺，EF=8尺且侧面为等腰梯形，过点F作FGDC，则DG=9尺，CD,EF间的距离为7尺，故FG=7尺，由勾股定理得DF=81+49=130尺，所以sinFDC=7130=7130130,故选B【点睛】为求异面直线所成角要先通过平行线找出或者作出异面直线所成的角，然后构造出三角形，求出边长，就可以求三角函数值。7.设a=log23，b=ln3，执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（ ）A. 9+ln3 B. 3-ln3 C. 11 D. 1【答案】C【解析】【分析】将a=log23，b=ln3代入，然后执行判定语句输出结果【详解】将a=log23，b=ln3输入，a=log23=ln3ln2ln3，即ab，故S=4log23+ln9ln3=9+2=11，故选C【点睛】本题考查了流程图输出结果，只有判定和b的大小即可计算出结果，较为基础8.近几个月来，继“共享单车”后，“共享汽车”也在我国几座大城市中悄然兴起，关系非常要好的A,B,C三个家庭（每个家庭2个大人，1个小孩，且大人都有驾照）共9人决定周末乘甲、乙两辆共享汽车出去旅游，已知每车限坐5人（乘同一辆车的人不考虑位置），其中A户家庭的3人需乘同一辆，则A户家庭恰好乘坐甲车且甲车至少有2名小孩的概率为（ ）A. 113 B. 1124 C. 1142 D. 521【答案】C【解析】【分析】先求出总的基本事件，然后再求出满足题意的至少两名小孩的事件，运用古典概率求出结果【详解】总的基本事件数：C61C21+C62C21=42要求至少两名小孩：C21+C41C21+C22=11则A户家庭恰好乘坐甲车且甲车至少有2名小孩的概率P=1142故选C【点睛】本题考查了古典概率，按照题目要求分别求出满足题意的事件数，然后求出概率。9.设F1,F2分别为双曲线C:x2a2y2b2=1a0,b0的左、右焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M与双曲线的右支相交于点N，若MN=3F1M，此双曲线的离心率为（ ）A. 53 B. 43 C. 132 D. 263【答案】A【解析】分析：用双曲线的一条渐近线与过焦点的直线联立方程组，求得点M的坐标，利用MN=3F1M，得到点N的坐标，将N点坐标代入双曲线的方程，即可的双曲线的离心率.详解：由双曲线的方程，可得其渐近线的方程为y=bax与直线y=ab(xc)，联立方程组，可得M的坐标为M(ac,abc)，又由MN=3F1M，且F1(c,0)，可得点N的坐标为N(3c24a2c,4abc)，将N点坐标代入双曲线的方程，可得(3c24a2)2a2c216a2c2=1，整理得9c2=25a2，所以离心率为e=ca=259=53，故选A.点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的曲解，以及双曲线的渐近线方程的运用，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)10.已知函数fx=sin2x+0将fx的图象向左平移3个单位长度后所得的函数图象关于y轴对称，则关于函数fx，下列命题正确的是（ ）A. 函数fx在区间6,3上有最小值 B. 函数fx的一条对称轴为x=12C. 函数fx在区间6,3上单调递增 D. 函数fx的一个对称点为3,0【答案】C【解析】【分析】通过三角函数图像的平移求出平移后的表达式，然后结合图像关于y轴对称求出的值，继而判断命题的真假【详解】由题意，函数fx=sin2x+-0的图象向左平移3个单位长度后得到：函数gx=sin2x+23+函数图象关于y轴对称g0=1即23+=k+2，kZ，解得=k-6，kZ，-0y0，第象限有x0，第象限有x0y0y0，若对任意的xe，不等式x2lnx-memx0恒成立，则m的最大值是（ ）A. 1e B. e3 C. 2e D. 【答案】D【解析】分析：将原问结合函数的单调性转化为mxlnx对任意的xe恒成立，结合导函数的性质求解实数m的最大值即可.详解：不等式x2lnxmemx0 x2lnxmemx xlnxmemxx lnxelnxmxemx.设fx=xexx0，则fx=x+1ex0,于是f(x)在0,+上是增函数.因为mx0，lnx0，所以mxlnx，即mxlnx对任意的xe恒成立，因此只需mxlnxmin.设gx=xlnxxe，gx=lnx+10xe，所以gx在e,+上为增函数，所以gxmin=ge=e，所以me，即m的最大值是e.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、填空题13.设x、y满足条件x+y-10x+3y-40y-x+30 则z=4x-2y最小值是_【答案】-5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可【详解】如图：z=4x-2y，则y=2x-12z，当x+y-10x+3y-40即x=-12y=32时z=4-12-232=-5故答案为-5【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=4x-2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题。14.已知0a1，分别在区间（0，a）和（0，4-a）内任取一个数，且取的两数之和小于1的概率为316，则a=_【答案】45【解析】【分析】分类讨论，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案【详解】由题意可知：12a4-a=316a=6233，不合题意121-a+1aa4-a=316，解得a=45故答案为45【点睛】本题主要考查了几何概型的计算，解题的关键是在于用平面区域表示出题干的代数关系。15.如图，在等腰四面体ABCD中设BC=AD=a。AC=BD=b，AB=CD=c，外接球的半径为R，则R=_（用a、b、c表示）【答案】24a2+b2+c2【解析】【分析】由题意得四面体是长方体中的四个顶点构成的几何体，其中相等的边长分别为长方体的相对的面上的对角线，然后计算出结果【详解】设长方体的长宽高分别为x，y，根据题意得x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2，相加得x2+y2+z2=a2+b2+c22，R=12x2+y2+z2=12a2+b2+c22=24a2+b2+c2故答案为24a2+b2+c2【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，本题需要把握住对边相等长度联想到长方体，三棱锥的外接球与长方体的外接球是相同的，因此进行转化。16.在ABC中三个内角A,B,C,所对的边分别是a，b，c，若（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC,且a=23，则ABC面积的最大值是_【答案】3【解析】【分析】运用两角和的正弦公式逆用，然后结合正弦定理、余弦定理进行化简，最后运用不等式求出面积最大值【详解】b+2sinCcosA=-2sinAcosCbcosA=-2sinCcosA+sinAcosC=-2sinA+C=-2sinB则bsinB=-2cosA，结合正弦定理得-2cosA=asinA=23sinA，即tanA=-3，A=23由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，化简得b2+c2=12-bc2bc，故bc4SABC=12bcsinA12432=3故答案为3【点睛】本题为求三角形面积的最大值，较为综合，考查了正弦定理、余弦定理和均值不等式，注意两角和公式逆用还有诱导公式的化简，整体计算需要把握好。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知nN*，设Sn是单调递减的等比数列an的前n项和，a2=12且S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=log2an+n(1)，数列1bnbn+1的前n项和Tn满足T2018=2018，求的值【答案】(1)an=(12)n1；(2)12019.【解析】分析: (1)根据S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列求数列an的公比q,再求数列an的通项公式.（2）先化简得bn=(+1)n-1，再利用裂项相消求的值详解：（1）设数列an的公比为q，由2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5，得(S6-S5)+(S6-S4)+2a6=a4+a5，即4a6=a4，q2=14，an是单调递减数列，q=12，又a2=12，a1=1，an=(12)n-1（2）由（1）得bn=-log2(12)n-1+n=(+1)n-1，1bnbn+1=1(+1)n-1(+1)(n+1)-1=1+11(+1)n-1-1(+1)(n+1)-1，T2018=1+1(1-12019+2018)=2018(2019+2018)=2018，=-1或=12019，-1，=12019点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法和等差中项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力和计算能力.(2) 类似canan+1（其中an是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：1nn+k=1k1n1n+k，特别地当k=1时，1nn+1=1n1n+1 1n+k+n=1kn+kn，特别地当k=1时1n+1+n=n+1nan=(2n)2(2n1)(2n+1)=(4n21)+14n21=1+14n21=1+12(12n112n+1)an=1n(n1)(n+2)=121n(n+1)1(n+1)(n+2).18.某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表（1）完成22列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在20,30)或40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望附：P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】(1)答案见解析；(2)改造后的设备更优；(3)答案见解析.【解析】分析：（1）先完成22列联表，再利用公式计算K2，再判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.(2)根据产品合格率比较得到改造后的设备更优(3)先求X，再求X对应的概率，最后写出X的分布列和期望.详解：（1）根据图1和表1得到22列联表：设备改造前设备改造后合计合格品8696182不合格品14418合计100100200将22列联表中的数据代入公式计算得：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(864-9614)218218100100=50008196.105，6.1050，所以-2m2.则x1+x2=m，x1x2=m2-22.所以DA2+DB2=x1-m2+y12+x2-m2+y22=32x1-m2+32x2-m2=32x1-m2+x2-m2=32x12+x22-2mx1+x2+2m2 =32x1+x22-2x1x2-2m2+2m2=32m2-m2-2=3故DA2+DB2是定值3.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知fx=lnx，gx=12ax2+bxa0，hx=fxgx.（）若a=3,b=2，求hx的极值；（）若函数y=hx的两个零点为x1,x2x1x2，记x0=x1+x22，证明：hx00【答案】（）极大值为ln356，无极小值；（）证明见解析.【解析】分析：（）先判断函数hx在0,+上的单调性，然后可得当x=13时，hx有极大值，无极小值（）不妨设0x1x2，由题意可得hx1-hx2=lnx1-lnx2-a2x12-x22-bx1-x2=0，即lnx1-lnx2=a2x12-x22+bx1-x2，又由条件得hx0=2x1+x2-ax1+x22+b，构造x1-x2hx0=x1-x22x1+x2-ax1+x22-b=2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2，令x1x2=t0t1，则rt=2t-1t+1-lnt，0tr1=0，故得x1-x2hx00，又x1-x20，所以hx00详解：（）hx=lnx-32x2-2x,x0,+，hx=1x-3x-2=-3x2-2x+1x=-3x-1x+1x，由hx=-3x-1x+1x=0得x=13，且当0x0，即hx在0,13上单调递增，当x13时，hx0，即hx在13,+上单调递减，当x=13时，hx有极大值，且hx极大值=h13=-ln3-56，无极小值（）函数y=hx的两个零点为x1,x2x1x2，不妨设0x1x2，hx1=lnx1-a2x12-bx1=0，hx2=lnx2-22x22-bx2=0hx1-hx2=lnx1-a2x12-bx1-lnx2-a2x22-bx2 =lnx1-lnx2-a2x12-x22-bx1-x2=0，即lnx1-lnx2=a2x12-x22+bx1-x2，又hx=fx-gx=1x-ax+b，x0=x1+x22，hx0=2x1+x2-ax1+x22+b，x1-x2hx0=x1-x22x1+x2-ax1+x22-b=2x1-x2x1+x2-12ax12-x22+bx1-x2=2x1-x2x1+x2-lnx1-lnx2=2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2令x1x2=t0t1，则rt=2t-1t+1-lnt，0t1rt=4t+12-1t=-t-12t+12tr1=0，2x1x2-1x1x2+1-lnx1x20，即x1-x2hx00，又x1-x20，hx00点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明22.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程是x=3cosy=sin（是参数）.以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是sin+4=42（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标.【答案】（1）x23+y2=1，x+y8=0；（2）d的最小值为32,此时点P的坐标为32,12【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系把参数化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式，把极坐标方程化为直角坐标方程求得椭圆上的点到直线的距离为，可得的最小值，以及此时的值，从而求得点的坐标【详解】(1）由曲线:可得：，两式两边平方相加可得：曲线的普通方程为:.由曲线得:,即,所以曲线的直角坐标方程为:.(2)由(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为,当时,d的最小值为,此时点P的坐标为.【点睛】本题主要考查的是曲线的参数方程，参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离公式，考查了学生的转化能力及三角恒等变换的掌握，属于中档题。