2019届高三数学下学期第一次模拟考试四月试题理.doc

2019届高三数学下学期第一次模拟考试四月试题理一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1已知集合Ax|y，Bx|x|2，则AB()A2,2 B2,4 C0,2 D0,42 “a1”是“复数z(a21)2(a1)i(aR)为纯虚数”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件3设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于()A. B C D.4如果圆x2y2n2至少覆盖曲线f(x)sin(xR)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为()A1 B2 C3 D45运行如图所示的程序框图，则输出的S值为()A. B. C. D.6函数g(x)2exx3t2dt的零点所在的区间是()A(3，1) B(1,1)C(1,2) D(2,3)7在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|()A2 B4 C3 D68某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A246 B12 C2412 D169已知四面体PABC中，PA4，AC2，PBBC2，PA平面 PBC，则四面体PABC的外接球半径为()A2 B2 C4 D410已知(x+2) (2x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则2a23a34a45a5()A10 B5 C1 D011已知抛物线y24x的准线与x轴相交于点P，过点P且斜率为k(k0)的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FB|2|FA|，则AB的长度为()A. B2 C. D.12已知曲线f(x)ke2x在点x0处的切线与直线xy10垂直，若x1，x2是函数g(x)f(x)|ln x|的两个零点，则()A1x1x2 B.x1x21C2x1x22 D.x1x20，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y(xc)与双曲线的一个交点P满足PF2F12PF1F2，则双曲线的离心率e为_15xx太原质检已知向量与的夹角为120，|2，|3，若向量，且，则实数的值为_16在中，是内一动点，则的最小值为 .三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17xx湖北联考(本小题满分12分)在等比数列an中，an0(nN*)，a1a34，且a31是a2和a4的等差中项，若bnlog2an1.(1)求数列bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnan1，求数列cn的前n项和18 (本小题满分12分) 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量（千辆）23458每天一辆车平均成本（元）3.22.421.91.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.（I）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点的残差（也叫随机误差）；租用单车数量（千辆）23458每天一辆车平均成本（元）3.22.421.91.7模型甲估计值2.42.11.6残差0-0.10.1模型乙估计值2.321.9残差0.100分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好（II）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6,0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4,0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（I）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）19 (本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB1，AD.现将长方形沿对角线BD折起，使ACa，得到一个四面体ABCD，如图所示(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由(2)当四面体ABCD体积最大时，求二面角ACDB的余弦值20 (本小题满分12分)已知抛物线C：y22x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程21 (本小题满分12分)已知函数f(x)axln x4(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a2时，若存在区间m，n，使f(x)在m，n上的值域是，求k的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的方程为x2y21，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为(2cossin)6.(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；(2)设P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的最大距离23 (本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数f(x)的最大值为M.(1)求实数M的值；(2)求关于x的不等式|x|x2|M的解集参考答案(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1xx成都诊断考试已知集合Ax|y，Bx|x|2，则AB()A2,2 B2,4 C0,2 D0,4答案B解析Ax|0x4，Bx|2x2，故ABx|2x4，故选B.2xx茂名市二模“a1”是“复数z(a21)2(a1)i(aR)为纯虚数”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析a212(a1)i为纯虚数，则a210，a10，所以a1，反之也成立故选A.3xx呼和浩特调研设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于()A. B C D.答案B解析由题意可得c1，a2，b，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k.4xx洛阳第一次联考如果圆x2y2n2至少覆盖曲线f(x)sin(xR)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为()A1 B2 C3 D4答案B解析最小范围内的至高点坐标为，原点到至高点距离为半径，即n23n2，故选B.5xx长春质量检测运行如图所示的程序框图，则输出的S值为()A.B.C.D.答案A解析由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即，故选A.6xx贵阳一中质检函数g(x)2exx3t2dt的零点所在的区间是()A(3，1) B(1,1)C(1,2) D(2,3)答案C解析因为3t2dtt3817，g(x)2exx7，g(x)2ex10，g(x)在R上单调递增，g(3)2e3100，g(1)2e180，g(1)2e60，g(3)2e340，故选C.7xx浙江高考在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|()A2 B4 C3 D6答案C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线xy20的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，2)，D(1,1)，所以|AB|CD|3.故选C.8xx广西质检某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A246 B12 C2412 D16答案A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1341212；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S26(2212)246.所以该组合体的表面积为SS1S212(246)246.9xx南京模拟已知四面体PABC中，PA4，AC2，PBBC2，PA平面PBC，则四面体PABC的外接球半径为()A2 B2 C4 D4答案A解析PA平面PBC，AC2，PA4，PC2，PBC为等边三角形，设其外接圆半径为r，则r2，外接球半径为2.故选A.10xx四川高考在平面内，定点A，B，C，D满足|，2，动点P，M满足|1，则|2的最大值是()A. B.C. D.答案B解析由|知，D为ABC的外心由知，D为ABC的内心，所以ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EMAP，所以|max|BE|，则|，选B.11xx山西质检记Sn为正项等比数列an的前n项和，若780，且正整数m，n满足a1ama2n2a，则的最小值是()A. B. C. D.答案C解析an是正项等比数列，设an的公比为q(q0)，q6，q3，q67q380，解得q2，又a1ama2n2a，a2m2n22(a124)3a213，m2n15，(m2n)，当且仅当，n2m，即m3，n6时等号成立，的最小值是，故选C.12xx海口调研已知曲线f(x)ke2x在点x0处的切线与直线xy10垂直，若x1，x2是函数g(x)f(x)|ln x|的两个零点，则()A1x1x2 B.x1x21C2x1x22 D.x1x22答案B解析依题意得f(x)2ke2x，f(0)2k1，k.在同一坐标系下画出函数yf(x)e2x与y|ln x|的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，)，不妨设x1(0,1)，x2(1，)，则有e2x1|ln x1|ln x1，e2x2|ln x2|ln x2，e2x2e2x1ln x2ln x1ln (x1x2)，于是有ex1x2e0，即x1x20，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y(xc)与双曲线的一个交点P满足PF2F12PF1F2，则双曲线的离心率e为_答案1解析直线y(xc)过左焦点F1，且其倾斜角为30，PF1F230，PF2F160，F2PF190，即F1PF2P.|PF2|F1F2|c，|PF1|F1F2|sin60c，由双曲线的定义得2a|PF1|PF2|cc，双曲线C的离心率e1.16xx广州综合测试已知函数f(x)则函数g(x)2|x|f(x)2的零点个数为_个答案2解析由g(x)2|x|f(x)20，得f(x)21|x|，画出y与y21|x|的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17xx湖北联考(本小题满分12分)在等比数列an中，an0(nN*)，a1a34，且a31是a2和a4的等差中项，若bnlog2an1.(1)求数列bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnan1，求数列cn的前n项和解(1)设等比数列an的公比为q，且q0，在等比数列an中，由an0，a1a34，得a22，(2分)又a31是a2和a4的等差中项，所以2(a31)a2a4，把代入，得2(2q1)22q2，解得q2或q0(舍去)，(4分)所以ana2qn22n1，则bnlog2an1log22nn.(6分)(2)由(1)得，cnan12n2n，(8分)所以数列cn的前n项和Sn2222n12n12.(12分)18xx重庆市一模(本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款半价7折8折原价(1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？解(1)记顾客获得半价优惠为事件A，则P(A)，(2分)两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P1P()P()12.(4分)(2)若选择方案一，则付款金额为32050270元(6分)若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160,224,256,320.P(X160)，P(X224)，P(X256)，P(X320)，(9分)则E(X)160224256320240.270240，第二种方案比较划算(12分)19xx贵州四校联考(本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB1，AD.现将长方形沿对角线BD折起，使ACa，得到一个四面体ABCD，如图所示(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由(2)当四面体ABCD体积最大时，求二面角ACDB的余弦值解(1)若ABCD，因为ABAD，ADCDD，所以AB面ACDABAC.即AB2a2BC212a2()2a1.(2分)若ADBC，因为ADAB，ABBCB，所以AD面ABCADAC，即AD2a2CD2()2a212a21，无解，故ADBC不成立(4分)(2)要使四面体ABCD体积最大，因为BCD面积为定值，所以只需三棱锥ABCD的高最大即可，此时面ABD面BCD.(6分)过A作AOBD于O，则AO面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则易知A，C，D显然，面BCD的法向量为.(8分)设面ACD的法向量为n(x，y，z)因为，所以令y，得n(1，2)，(10分)故二面角ACDB的余弦值即为|cos，n|.(12分)20xx全国卷(本小题满分12分)已知抛物线C：y22x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解由题知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R，.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(3分)(1)证明：由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2，所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.则题设可得|ba|，所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)，而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2x1.所以，所求轨迹方程为y2x1.(12分)21xx湖北八校联考(本小题满分12分)已知函数f(x)axln x4(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a2时，若存在区间m，n，使f(x)在m，n上的值域是，求k的取值范围解(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)，当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为减函数，当a0时，令f(x)0，则x，当x时，f(x)0，f(x)为增函数，(3分)当a0时，f(x)在(0，)上为减函数；当a0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数(4分)(2)当a2时，f(x)2xln x4，由(1)知：f(x)在上为增函数，而m，n，f(x)在m，n上为增函数，结合f(x)在m，n上的值域是知：f(m)，f(n)，其中m0，F(x)在上为增函数，即(x)在上为增函数，而(1)0，当x时，(x)0，(x)在上为减函数，在(1，)上为增函数，(10分)而，(1)4，当x时，(x)，故结合图象得：(1)k4k，k的取值范围是.(12分)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22xx陕西八校联考(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的方程为x2y21，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为(2cossin)6.(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；(2)设P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的最大距离解(1)由题意知，直线l的直角坐标方程为2xy60.(2分)曲线C2的直角坐标方程为：221，即1，(4分)曲线C2的参数方程为(为参数)(5分)(2)设点P的坐标(cos，2sin)，则点P到直线l的距离为d，当cos1时，dmax2.(10分)23xx南昌一模(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数f(x)的最大值为M.(1)求实数M的值；(2)求关于x的不等式|x|x2|M的解集解(1)f(x)23，当且仅当x时等号成立故函数f(x)的最大值M3.(5分)(2)由(1)知M3.由绝对值三角不等式可得|x|x2|(x)(x2)|3.所以不等式|x|x2|3的解集就是方程|x|x2|3的解(7分)由绝对值的几何意义，得当且仅当2x时，|x|x2|3，所以不等式|x|x2|M的解集为x|2x(10分)