2019届高三数学下学期第一次(4月)教学诊断考试试卷 文(含解析).doc

2019届高三数学下学期第一次(4月)教学诊断考试试卷 文(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。2.已知集合A=xy=log2x23x4,B=xx23mx+2m20，若BA，则实数m的取值范围为（ ）A. 4，+B. 4，+C. 2，+D. 2，+【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用BA列不等式即可求解。【详解】由x2-3x-40得：x4.所以集合A=xx4.由x2-3mx+2m20得：mx1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. A1000和n=n+1B. A1000和n=n+2C. A1000和n=n+1D. A1000和n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为3n2n1000，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入A1000，故填A1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n=n+2，故选D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.4.已知函数fx=2x+1+12,x22x2ax3,x2aR,a0，若fff3=65，则a为（ ）A. 1B. 3425C. 22D. 34【答案】D【解析】由题意可得：f(3)=21=1,f(f(3)=f(1)=4+12=92,f(f(f(3)=f(92)=45a32=65，解得：a=34.本题选择D选项.5.函数f(x)=(x1x)cosx（x且x0）的图象可能为（ ）【答案】D【解析】因为f(x)=(x+1x)cosx=(x1x)cosx=f(x)，故函数是奇函数，所以排除A，B；取x=，则f()=(1)cos=(1)0，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.【此处有视频，请去附件查看】6.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 843B. 8C. 823D. 42【答案】B【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，故V=2312122=8，故选B。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小。7.直线2x-y-3=0与y轴的交点为P,点P把圆(x+1)2+y2=36的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】先求出P点坐标，然后求出点P与圆心的距离，结合半径可以求出答案。【详解】令x=0代入2x-y-3=0可得P0，-3，圆心坐标为-1，0，则P与圆心的距离为1+3=2，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。故答案为A.【点睛】本题考查了直线与圆的方程，圆的半径，圆心坐标，属于基础题。8.已知ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量m=(ac，ab)，n=(b，ac)，若mn，则C=( )A. 6B. 3C. 2D. 23【答案】B【解析】【分析】根据mn得到a2-c2+b2=ab，再利用余弦定理求解.【详解】向量m=a+c,a-b，n=b,a-c，若mn，则a+ca-c-ba-b=0，即a2-c2-ab+b2=0，即a2-c2+b2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=120C0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，若右支上有点M满是OM=OF2,cosMOF2=13，则双曲线的离心率为（ ）A. 6+3B. 6C. 63D. 3【答案】A【解析】【分析】设MF2=m，MF1=n，在OMF2及OMF1中利用余弦定理，分别表示出m,n.再利用双曲线定义列方程即可求解。【详解】设MF2=m，MF1=n， 由题可得：OM=OF2=c,在OMF2中，由余弦定理可得：m2=c2+c22c213，整理得：m=233c.在OMF1中，由余弦定理可得：n2=c2+c2+2c213，整理得：n=263c.由双曲线定义得：nm=2a，即：263c233c=2a.整理得：e=6+3.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。12.已知数列an的前n项和为Sn，a1=15，且满足an+12n3=an2n5+1，已知n,mN*，nm，则SnSm的最小值为（ ）A. 494B. 498C. 14D. 28【答案】C【解析】分析：先利用数列的递推公式和整体思想得到数列的通项公式，则判定哪些项为非正值，进而求出Sn-Sm的最小值.详解：因为an+12n-3=an2n-5+1，且a125=153=5，所以数列an2n5是以5为首项、1为公差的等差数列，则an2n5=5+(n1)=n6，即an=(2n5)(n6)，令an0，得52n6，又nN*，n=3,4,5,6，则SnSm=am+1+am+2+an的最小值为a3+a4+a5+a6=3650=14.点睛：解决本题的难点是合理将求Sn-Sm的最小值问题转化为判定数列an的哪些项为非正值，只要把这些非正值相加即得Sn-Sm的最小值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知a0,b0,ab=8,则当a的值为 时log2alog2(2b)取得最大值.【答案】4【解析】试题分析：由题意得，当log2alog2(2b)取得最大值时，log2a和log2(2b)都是正数，所以a1，再利用基本不等式可得log2alog2(2b)(log2a+log2(2b)2)2=(log2(2ab)2)2=(log2162)2=4，当且仅当a=2b=4时，等号成立，即当a=4时，log2alog2(2b)取得最大值.考点：基本不等式求最值【此处有视频，请去附件查看】14.若平面区域x+y30,2xy30,x2y+30 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_.【答案】2【解析】【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离【详解】作出平面区域如图所示：当直线yx+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等联立方程组x+y-3=02x-y-3=0，解得A（2，1），联立方程组x+y-3=0x-2y+3=0，解得B（1，2）两条平行线分别为yx1，yx+1，即xy10，xy+10平行线间的距离为d=|-1-1|2=2，故答案为：2【点睛】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题15.已知平面,，直线m,n.给出下列命题： 若m/,n/,m/n，则/； 若/,m/,n/，则m/n； 若m,n,mn，则； 若,m,n，则mn.其中是真命题的是_（填写所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】利用线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答【详解】对于，若m/,n/,m/n，则与可能相交，此时m与n都平行于交线时满足条件，但不满足/，故错误；对于，若，m，n，则m与n的位置关系有：平行、相交或者异面，故错误；对于，若m，n，mn，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判断，故正确；对于，若，m，n，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可以得到mn；故正确；故答案为：【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理16.若a,b是函数f(x)=x2px+q(p0,q0)的两个不同的零点，且a,b,2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于_【答案】9【解析】试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得，则考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某公司为了提高利润，从xx年至xx每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年 份xxxxxxxxxxxxxx投资金额（万元）4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长（万元）6.07.07.48.18.99.611.1（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果xx该公司计划对生产环节的改进的投资金额是8万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留2位小数）（2）现从xx这7年中抽取2年进行调查，记=年利润增长投资金额，求这两年都是2（万元）的概率.参考公式：回归方程y=bx+a中， b=i=1nxixyiyi=1nxix2=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2, a=ybx. i=17xiyi=359.6,i=17xi2=259.【答案】（1）y=1.57x1.13，11.43；（2）27【解析】【分析】（1）由题意计算平均数和回归系数，写出回归直线方程，利用方程计算x8时y的值即可；（2）设xx年-xx这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则由题意列举出所有总的基本事件，找到符合条件的个数，计算概率即可【详解】（1）x=6，y=8.3，7xy=348.6，b=i=17xiyi-7xyi=17xi2-7x2=359.6-348.6259-736=1171.571，a=y-bx=8.3-1.5716=-1.126-1.13，那么回归直线方程为：y=1.57x-1.13 将x=8代入方程得y=1.578-1.13=11.43即估计该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元. （2）由题意可知，年份xxxxxxxxxxxxxx1.521.92.12.42.63.6设xx年-xx这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有21种结果， 选取的两年都是2万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共6种，所以选取的两年都是2万元的概率P=621=27.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，考查了概率的求法问题，是中档题18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，且cos2Bcos2C= sin2A3sinAsinB.（1）求角C；（2）若A=6，ABC的面积为43，M为AB的中点，求CM的长.【答案】（1）C=6.（2）CM=27.【解析】【分析】（1）利用正弦定理把角的关系转化为c2=a2+b23ab，由余弦定理可得C的值.（2）由A,C可以得到B，从而ABC为等腰三角形，利用面积公式得到边长后用余弦定理计算CM的长.【详解】（1）由正弦定理，sin2Csin2B=sin2A3sinAsinB可化为c2R2b2R2=a2R23a2Rb2R，整理得到c2b2=a23ab，即c2=a2+b23ab.又由余弦定理，得cosC=a2+b2c22ab=32.因为0Cb0)的左，右焦点分别为F1,F2，离心率为12，P是C上的一个动点。当P为C的上顶点时，F1PF2的面积为3。（1）求C的方程；（2）设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q。若存在点T(t,0)，使得TP=TQ，求的取值范围。【答案】（1）x24+y23=1；（2）0,14【解析】【分析】（1）结合椭圆性质，计算a,b的值，得到椭圆方程，即可。（2）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式，用k表示t，结合函数的性质，计算范围，即可。【详解】（1）设椭圆的半焦距为c。因为SF1PF2=122cb=3，所以，bc=3， 又e=ca=12,a2=b2+c2， 所以a=2,b=3,c=1. 所以C得方程为x24+y23=1 （2）设直线PQ的方程为y=k(x-1),Px1,y1,Qx2,y2，PQ的中点为Nx0,y0.当k=0时，t=0符合题意. 当k0时，由y=k(x-1)x24+y23=1得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0 则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3 所以x0=x1+x22=4k24k2+3,y0=kx0-1=-3k4k2+3即N4k24k2+3,-3k4k2+3 因为|TP|=|TQ|，所以TNPQ,则KTNk=-1， 所以3k4k2+3t-4k24k2+3k=-1,故t=k24k2+3=14+3k2 因为4+3k24，所以t0,14. 综上，t的取值范围为0,14.【点睛】考查了椭圆方程求解，考查了直线与椭圆的位置关系，难度一般。21.已知函数f(x)=lnx.（1）若函数F(x)=tf(x)与函数g(x)=x21在点x=1处有共同的切线，求的值；（2）证明：|f(x)x|f(x)x+12；（3）若不等式mf(x)a+x对所有m0,32，x1,e2都成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)t=2；(2)证明见解析；(3)ae2【解析】试题分析：(1)由题意可知：F1=g1，据此得到关于实数t的方程，解方程可得：t=2；(2)构造新函数hx=fx-x，结合导函数讨论函数的最大值即可证得题中的结论；(3)将原问题转化为amlnx-x对所有的m0,32，x1,e2都成立，讨论函数Hx=mlnx-x，m0,32的性质，结合函数的性质可得实数a的取值范围是a-e2.试题解析：（1）gx=2x，Fx=tfx=tlnx，Fx=tfx=txFx=tfx与gx=x2-1在点x=1处有共同的切线，k=F1=g1，即t=2.（2）令hx=fx-x，则hx=1x-1=1-xx，则hx在0,1上是增函数，在1,+上是减函数，hx的最大值为h1=-1，hx的最小值是1.设Gx=fxx+12=lnxx+12，Gx=1-lnxx2，故Gx在0,e上是增函数，在e,+上是减函数，故Gxmax=1e+12fxx+12.（3）不等式mfxa+x对所有的m0,32，x1,e2都成立，则amlnx-x对所有的m0,32，x1,e2都成立，令Hx=mlnx-x，m0,32，x1,e2是关于m的一次函数，x1,e2，lnx0,2，当m=0时，Hm取得最小值-x，即a-x，当x1,e2时，恒成立，故a-e2.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22.平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为x=3cosy=sin（a为参数），在以原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线L的极坐标方程为sin4=2.（1）求曲线C的普通方程和直线L的倾斜角；（2）已知点P0,2，且直线L和曲线C交于A，B两点，求PA+PB【答案】（）x29+y2=1,4 （）1852【解析】【分析】（1）消参写出曲线C的普通方程，利用极坐标公式写出直线l的普通方程和直线的倾斜角.(2)先写出直线的参数方程，代入曲线C的普通方程，再利用韦达定理和参数方程t的几何意义解答.【详解】解：(1)由x=3cosy=sin消去参数，得x29+y2=1，即C的普通方程为x29+y2=1.由sin(4)2，得sin cos 2，(*)将x=cosy=sin代入(*)，化简得yx2，所以直线l的倾斜角为4.(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为x=tcos4y=2+tsin4 (t为参数)，即x=22ty=2+22t (t为参数)，代入x29+y2=1并化简，得5t2182t270，(182)245271080，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t218520，所以t10，t20,且t=|PA|. 当动点B在定点P(x0,y0)下方时,t1，使得不等式fx2+f2xm+1m1成立【答案】(1)a=2 (2)见证明【解析】【分析】（1）由题意知a0不满足题意，当a0时，由|ax+2|a得，即可求解；（2）由题意，对于任意实数x，存在m1，使得f(x+2)+f(2x)m+1m1，只需g(x)min(m+1m1)min，分类讨论求得g(x)min=3，再利用基本不等式，即可求解；【详解】（1）由题意知不满足题意，当时，由得，则,则a=2（2）设，对于任意实数，存在，使得，只需，因为，当时，由，仅当取等号所以原命题成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式求解及应用，其中解答中把对于任意实数，存在，使得，转换为是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.