2019届高三数学上学期期中试卷 文(含解析) (II).doc

2019届高三数学上学期期中试卷 文(含解析) (II)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】则故选2.已知，则 “”是“”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a2时，a22a成立，充分性成立，而当a=1时，a22a成立，a2不成立，必要性不成立，故“a2”是“a22a”的充分不必要条件，故选A.【方法点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试pq,qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.已知向量a=(2,-1)，b=(-1,3)，则下列向量与2a+b平行的是A. (2,23) B. (1,-3) C. (1,-2) D. (0,2)【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算，计算2a+b=3,1,根据向量平行的基本定理即可判定.【详解】因为a=(2,-1)，b=(-1,3)，所以2a+b=3,1,由3,1= 32(2,23)可知2a+b与向量(2,23)平行，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.4.下列说法正确的是（ ）A. “若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”B. “若am2bm2，则a4x0成立D. “若sin12，则6”是真命题【答案】D【解析】选项A，否命题为“若a1，则a21”，故A不正确选项B，逆命题为“若ab，则am2bm2”，为假命题，故B不正确选项C，由题意知对x (0,+)，都有3x4x，故C不正确选项D，命题的逆否命题“若=6，则sin=12”为真命题，故“若sin12，则6”是真命题，所以D正确选D5.已知P3,y为角的终边上的一点，且sin=1313，则y的值为（ ）A. 12 B. 12 C. 12 D. 2【答案】B【解析】试题分析：，解得，故选B.考点：三角函数的定义6.下列函数中，与函数y=14x4x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A. y=cosx B. y=x3 C. y=1x D. y=x2,x0x2,x0【答案】D【解析】【分析】函数y=14x-4x是在定义域R上单调递减的奇函数，用排除法依次分析选项中函数的定义域、单调性与奇偶性，即可得答案.【详解】函数y=14x-4x是在定义域R上单调递减的奇函数，；选项A，y=cosx为偶函数，不符合题意；选项B，y=x3为增函数，不符合题意；选项C，y=1x，定义域为x|x0，不符合题意；选项D，y=-x2,x0x2,x0为奇函数，在定义域R上单调递减，符合题意.故选D.【点睛】本题考查函数的定义域、单调性和奇偶性的判断与证明，解题的关键是熟悉常见函数的图象和基本性质.7.为了得到函数y=sin(2x3)的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点A. 向左平行移动3个单位长度B. 向右平行移动3个单位长度C. 向左平行移动6个单位长度D. 向右平行移动6个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为得到函数y=sin(2x3)=sin2(x6)的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动6个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数f(x)=Asin(x+)的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种y=sinx的图象向左平移个单位得y=sin(x+)的图象，再把横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变，得y=sin(x+)的图象，另一种是把y=sinx的图象横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变，得y=sinx的图象，再向左平移个单位得y=sin(x+)的图象8.设a=215，b=(67)16，c=ln3，则A. cab B. cba C. abc D. ba20=1，b=(67)16 0,c=ln3 ln1=0,所以cb1为R上的减函数，则实数a的取值范围是A. (4,+) B. 4,+) C. 4,6 D. (0,+)【答案】C【解析】【分析】根据分段函数在R上为减函数可知每一段上函数都是减函数，且当x=1时，9a2a即可求解.【详解】因为函数f(x)=x2-a2x+8,x1ax,x1为R上的减函数，所以y=x2-a2x+8,x1,y=ax,x1,是减函数，且当x=1时，9a2a，故只需满足1a4a09a2a，解得4a6，故选C.【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，二次函数的单调性，反比例函数的单调性，属于中档题.10.若sin+cossin-5cos=3，则cos2=(A. -2425 B. -6365 C. 2425 D. 725【答案】B【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2的值【详解】若sin+cossin-5cos=tan+1tan-5=3，则tan=8，cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-6365，故选B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题11.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，f(x)=-1f(x+2)，且当x(-1,0)时，则f(x)=2x+15，则f(log220)=(A. -1 B. 45 C. 1 D. -45【答案】A【解析】【分析】根据f(x)=-1f(x+2)可知函数的周期为T=4，故f(log220)= f(log2204)=f(log254)，又函数为奇函数，故f(log254)=f(log254)=f(log245)，根据log245(1,0)即可求解.【详解】因为f(x)=-1f(x+2)，所以f(x+4)=f(x)，所以函数周期T=4,故f(log220)= f(log2204)=f(log254)，又函数为奇函数，故f(log254)=f(log254)=f(log245)，根据log245(1,0)可知，f(log245)=2log245+15=45+15=1，所以flog220=-1，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性及对数的运算，属于中档题.12.已知f(x)=12x2+bx+c(b,c为常数和g(x)=14x+1x是定义在M=x|1x4上的函数，对任意的xM，存在x0M使得f(x)f(x0)，g(x)g(x0)，且f(x0)=g(x0)，则f(x)在集合M上的最大值为A. 72 B. 5 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据fx,gx的最小值相等可得c=1-b2，由题意得fx在x=2处有最小值，进而得到f2=8-b4=0，故得b=8,c=-5，于是可得函数fx的解析式，再求出函数fx在区间1,4上的最大值即可【详解】因为g(x)=14x+1x214=1（当且仅当x=2时等号成立），所以f(2)=2+b2+c=g2=1，所以c=-1-b2，所以fx=12x2+bx+c=12x2+bx-1-b2，所以f(x)=x-bx2=x3-bx2，因为fx在x=2处有最小值，所以f2=8-b4=0，解得b=8，所以c=-5，所以fx=12x2+8x-5，fx=x3-8x2=(x-2)(x2+2x+4)x2，所以fx在1,2单调递减，在2,4上单调递增，而f1=12+8-5=72,f4=8+2-5=5，所以函数fx的最大值为5故选B【点睛】解答本题的关键是读懂题意，然后结合不等式、函数等知识求解，其中转化思想方法的运用是解题的关键，考查阅读理解和应用能力二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=log0.5(x-1)的定义域为_【答案】(1,2【解析】【分析】根据函数解析式可知，log0.5(x1)0且x10，求解即可.【详解】要是函数有意义，则需log0.5(x1)0x10，解得10,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx-ny-1=0上，其中m0，n0，则1m+2n的最小值为_【答案】3+22【解析】【分析】根据指数函数的性质知，f(x)=ax-1-2(a0,a1)恒过A(1,1)，故有m+n=1，代入1m+2n可得：1m+2n=1+ nm+2n=1+nm+2+2mn，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为f(x)=ax-1-2(a0,a1)恒过A(1,1)，且点A在直线mx-ny-1=0上，所以m+n=1，因为m0，n0则 1m+2n=1+ nm+2mn+23+22，当且仅当nm=2mn，即m=21,n=22时，等号成立. 故填3+22.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，均值不等式，属于中档题.三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.已知函数f(x)=sin2x6+2cos2x1(0)的最小正周期为（1）求的值及函数f(x)的单调递增区间（2）求f(x)在区间0,712上的最大值和最小值【答案】（1）=1，单调递增区间3+k,6+k，(kZ)；（2）最大值为1，最小值为32【解析】试题分析： （1）利用降幂公式降幂后，再由两角差的正弦公式和两角和的正弦公式化函数为一个三角函数形式，然后利用周期公式可得，结合正弦函数的单调性可得增区间；（2）由（1）可得函数在区间0,712上的单调性，从而可得最大值和最小值.试题解析：（1）f(x)=sin2x-6+2cos2x-1=sin2xcos6-cos2xsin6+cos2x=32sin2x+12cos2x=sin2x+6T=22=，=1在-2+2k2x+62+2k中，即x|-3+kx6+k为单调递增区间（2）由（1）得f(x)=sin2x+6，0x712，62x+643，当2x+6=2时，即x=6时，f(x)max=1，当2x+6=43时，即x=712时，f(x)min=-3218.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足(2bc)cosA=acosC（1）求角A的大小；（2）若a=3，求ABC的周长最大值【答案】（1）A=3（2）ABC的周长取得最大值为9【解析】试题分析：（1）由已知(2bc)cosA=acosC及余弦定理，化简可得b2+c2a2=bc,则角A易求；（2）由（1）得A=3，再由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=332=23，所以b=23sinB；c=23sinC，ABC的周长l=3+23sinB+23sin(B+3)=3+6sin(B+6)，根据B(0,23)可求ABC的周长最大值试题解析：（1）由(2bc)cosA=acosC及余弦定理，得(2bc)b2+c2a22bc=ab2+a2c22ba整理，得b2+c2a2=bc,cosA=b2+c2a22bc=12A(0,)，A=3（2）解：由（1）得A=3，由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=332=23，所以b=23sinB；c=23sinCABC的周长l=3+23sinB+23sin(B+3)=3+23sinB+23(sinBcos3+cosBsin3)=3+33sinB+3cosB=3+6sin(B+6)B(0,23)，当B=3时，ABC的周长取得最大值为9考点：解三角形19.2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在75,100内，按成绩分成5组：第1组75,80)，第2组80,85)，第3组85,90)，第4组90,95)，第5组95,100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习(1)求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；(2)求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；(3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率【答案】（1）87.25；（2）3，2，1；（3）45【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.【详解】(1)这100人的平均得分为：x=5(75+8020.01+80+8520.07+85+9020.06+90+9520.04+95+10020.02)=87.25.(2)第3组的人数为0.065100=30，第4组的人数为0.045100=20，第5组的人数为0.025100=10，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1.(3)记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己、丙、丁、丙、戊、丙、己、丁、戊、丁、己、戊、己共15种情况，其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为P=1215=45.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题.20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为3(1)求椭圆C的方程；(2)设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值【答案】（1）x24+y23=1；（2）。【解析】试题分析：（）由条件列式a2=b2+c2,bc=1,b=c,解得a=2,b=1,即得椭圆C的方程.（）联立x=ty+1,x2+2y2=2,整理得(t2+2)y2+2ty-1=0，可得|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8t2+8t2+2=22t2+1t2+2，所以SOAB=SOF2A+SOF2B=12OFy1-y2可得S=4SOAB=42t2+1t2+2再求最值即可.试题解析：（）依题意a2=b2+c2,bc=1,b=c,解得a=2,b=1,即椭圆C的方程为x22+y2=1（）设过椭圆右焦点F2的直线：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则x=ty+1,x2+2y2=2,整理得(t2+2)y2+2ty-1=0，y1+y2=-2tt2+2，y1y2=-1t2+2，|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8t2+8t2+2 =22t2+1t2+2，SOAB=SOF2A+SOF2B=12|OF|y1-y2|=2t2+1t2+2，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4SOAB=42t2+1t2+2，令m=1+t21，则S=f(m)=42mm2+1 =42m+1m，注意到S=f(m)在1,+)上单调递减，所以Smax=f(1)=42，当且仅当m=1，即t=0时等号成立，故这个平行四边形的面积最大值为4221.已知函数fx=lnx2x2+3，gx=fx+4x+alnxa0.（1）求函数fx的单调区间；（2）若关于x的方程gx=a有实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）函数fx的单调递增区间为0,12，单调递减区间为12,+；（2）当a,01,+时，方程gx=a有实数根.【解析】试题分析：（1）函数求导fx=1+2x1-2xx，从而得单调区间；（2）方程1x+alnx-a=0有实数根，即函数hx=1x+alnx-a存在零点，分类讨论函数hx的单调性，从而得有零点时参数的范围.试题解析：（1）依题意，得fx=1x-4x=1-4x2x =1+2x1-2xx，x0,+.令fx0，即1-2x0.解得0x12；令fx0，即1-2x12.故函数fx的单调递增区间为0,12，单调递减区间为12,+.（2）由题得，gx=fx+4x+alnx= 1x+alnx.依题意，方程1x+alnx-a=0有实数根，即函数hx=1x+alnx-a存在零点.又hx=-1x2+ax=ax-1x2.令hx=0，得x=1a.当a0时，hx0，he1-1a=1e1-1a+a1-1a-a =1e1-1a-11e-10时，hx，hx随x的变化情况如下表：所以h1a=a+aln1a-a=-alna为函数hx的极小值，也是最小值.当h1a0，即0a0，所以函数hx存在零点.综上所述，当a-,01,+时，方程gx=a有实数根.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.22.已知曲线C的参数方程为x=2cosy=sin(为参数),以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为2sin+4=3。(1)求曲线C的普通方程及直线的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线的距离的最大值。【答案】(1) x24+y2=1，x+y3=0.(2) 10+322.【解析】【分析】（1）消去参数方程中的参数可得曲线C的普通方程；将极坐标方程2sin+4=3化为sin+cos=3，可得直角坐标方程（2）设曲线C上的点为2cos,sin，由点到直线的距离可得所求，然后根据三角函数的有关知识讨论距离的最大值即可【详解】（1）消去方程x=2cosy=sin(为参数)中的参数可得x24+y2=1，曲线C的普通方程为x24+y2=1；由2sin+4=3,得sin+cos=3,将sin=y,cos=x代入上式得x+y=3，直线的普通方程为x+y-3=0（2）设曲线C上的一点为2cos,sin,则该点到直线的距离d=2cos+sin-32=5sin(+)-32 (其中tan=2)，当sin(+)=-1时,dmax=5+32=10+322曲线C上的点到直线的距离的最大值为10+322【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程间的转化，以及参数方程的应用，考查转化能力和综合运用知识解决问题的能力，是高考中的常考题型，属于中档题23.已知函数f(x)=|2x1|+|x+1|.（1）解不等式f(x)3；（2）记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M，若tM，试证明：t22t3.【答案】(1)x|1x1；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式f(x)3的解集为x|-1x1.(2)结合绝对值三角不等式的性质可得M=3,+)，结合二次函数的性质可得t-30，t+10，则t2-2t3.试题解析：（1）依题意，得f(x)=-3x,x-1,2-x,-1x12,3x,x12, 则不等式f(x)3，即为或或解得.故原不等式的解集为.（2）由题得， ，当且仅当，即时取等号，.