2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(189).doc

2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(189)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 若对任意的，均有，则实数的取值范围是.2. 已知.则的最小值为.3. 用表示不超过实数的最大整数.则.n个个4. 已知.则.5. 在正方体中，已知棱长为1，点在上，点在上，.则三棱锥的体积为.6. 从集合中随机地、不放回地取出三个数，然后再从剩下的xx个数中同样随机地、不放回地取出三个数.则将为长、宽、高的砖能放进以为长、宽、高的盒子中的概率为.7. 已知椭圆，与轴交于点，过椭圆上一点（不与重合）作椭圆的切线，过点分别作轴的垂线，与切线分别交于点.设交于点，关于的对称点为.则的轨迹方程为.8. 设，其中，为常数.则.二、解答题（共56分）9.（16分）定义数列，对任意的，.证明：为正数数列.10.（20分）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同直线，且，直线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，以为直径的公共弦所在的直线记为.求点到直线距离的最小值.11.（20分）设为给定正整数.求的值.加 试二、（40分）如图1，的内切圆与三边分别切于点，直线与分别交于点.过点作边的平行线分别与交于点，联结，过点作的一条垂线与交于点，过点作的一条垂线与交于点.设直线与直线交于点，类似地，得到点.证明：的外接圆半径是半径的2倍.三、（50分）平面上有任意三点不共线的12个点，以其中任意一点为始点，另一点为终点作向量，且作出所有这样的向量.若三边向量和为零向量，则称该三角形为“零三角形”.求以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值.四、(50分)证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个，至少存在一个，满足.