2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析) (I).doc

2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析) (I)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线中，且焦点在y轴上，所以，解得.所以双曲线的焦点坐标为.故选C.2.已知命题，则命题的否定为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全程命题的否定是特称命题，这一规则书写即可.【详解】全称命题“nN，n212n1”的否定为特称命题，故命题的否定为“nN，n212n1”.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了全称命题的否定的写法，换量词否结论，不变条件.3.经过点2,4的抛物线的标准方程为（ ）A. y2=8x B. x2=yC. y2=8x或x2=y D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程。【详解】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2=2pxp0或x2=2pyp0，将点2,4代入可得p=4或p=12，所以所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=y.故选C.【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可成为待定系数法，较为基础.4.已知空间向量m=1,3,x，n=x2,1,2，则“x=1”是“mn”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果.【详解】mn，x2+2x3=0，x=1或-3.故x=1是mn的充分不必要条件.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系5.已知MAB的周长为10，且A2,0，B2,0，则顶点M的轨迹方程为（ ）A. x29+y25=1 B. y29+x25=1C. y29+x2=1 D. x29+y25=1y0【答案】D【解析】【分析】根据椭圆定义可得到轨迹是椭圆，又因为三点不共线故去掉两个点.【详解】由题64，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，2a=6，c=2，故b2=a2c2=5，故椭圆x29+y25=1的方程为，又M,A,B不共线，所以M的轨迹方程为x29+y25=1y0.故选D.【点睛】求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如NANB=0，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.6.若命题p:“x0R,x02ax0+10”是真命题，则实数的取值范围是（ ）A. 2,2 B. ,22,+C. 2,2 D. ,22,+【答案】B【解析】【分析】根据题干得到需满足=a240，解出不等式即可.【详解】命题p:“x0R,x02ax0+10”是真命题，则需满足=a240，解得a2或a2.故选B.【点睛】这个题目考查了已知命题的真假，求参的问题.涉及二次函数在R上有解的问题，开口向上，只需要判别式大于等于0即可.7.已知双曲线C:x2a2y220=1a0的一条渐近线方程为5x+2y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且PF1=9，则PF2=（ ）A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 18【答案】B【解析】【分析】根据渐近线的斜率为ba得到a值，再由双曲线定义得到结果.【详解】依题意，有25a=52，所以a=4.因为PF1=9，所以点P在双曲线的左支上，故有PF2PF1=2a，解得PF2=17.故选B.【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程的应用和概念的应用，较为简单.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1C1与平面AB1D1所成角的正弦值为（ ）A. 13 B. 223 C. 33 D. 63【答案】C【解析】【分析】通过题干条件得到面的法向量，BC/B1C1，求法向量和BC的夹角即可.【详解】由题知，A1C为平面AB1D1的一个法向量，又因为BC/B1C1，所以cosBCA1=1+3223=33.故答案为：C.【点睛】求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。9.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为A. x236y2108=1 B. x29y227=1 C. x2108y236=1 D. x227y29=1【答案】B【解析】试题分析：由渐近线是y=3x得ba=3，抛物线y2=24x的准线为x=6，a2+b2=36a2=9,b2=27，方程为x29y227=1考点：双曲线标准方程及性质点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查10.已知命题p1:xR，使得x2+x+10；p2:x1,2，使得x210以下命题为真命题的为A. p1p2 B. p1p2 C. p1p2 D. p1p2【答案】D【解析】=(1)24=30,x2+x+10的解集为空集，故命题p1为假命题，p1为真命题；x210,x1或x1, x1,2，使得x210恒成立，故p2为真命题，p2为假命题；因p1为真命题，p2为真命题，故p1p2为真命题，答案为C。11.如图，在三棱锥COAB中，OAOB，OC平面OAB，OA=6，OB=OC=8，CE=14CB，D,F分别为AB,BC的中点，则异面直线DF与OE所成角的余弦值为（ ）A. 1010 B. 61025C. 3030 D. 3020【答案】B【解析】【分析】建立空间坐标系，求得两直线的方向向量即可得到夹角.【详解】以OA,OB,OC为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则D3,4,0，F0,4,4，E0,2,6，DF=3,0,4，OE=0,2,6，cos=DFOEDFOE=245210=61025，异面直线DF与OE所成角的余弦值为61025.故选B.【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k(k4)倍，其中，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）A. (14,1) B. (0,14) C. (13,1) D. (0,13)【答案】D【解析】由题意得直线AB的方程为y=ba(x+a)，当x=c时，y=b+bca，所以点D的坐标为(c,b+bca)。因此直线OD的斜率为ab+bcac，由题意得ab+bcac=kba，整理得k=a+cc4，a3c，故e=ca13，所以0e1，则x1”，在其逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是_【答案】2【解析】【分析】根据原命题和逆否命题真假性相同可得到逆否命题的真假；写出命题的否命题和逆命题可得到其真假性.【详解】易知命题“若x21，则x1”为假命题，故其逆否命题也为假命题；逆命题为“若x1，则x21”是真命题；否命题为“若x21，则x1”，也为真命题. 故答案为：2.【点睛】这个题目考查了命题的逆否命题和逆命题，和否命题的书写以及真假的判断，否命题既否条件又否结论，命题的否定是只否结论.14.已知平面的一个法向量为n=2,1,3，M3,2,1，N4,4,1，其中M，N，则点N到平面的距离为_【答案】147【解析】【分析】根据点面距离公式,再由向量的坐标运算得到结果即可.【详解】MN=1,2,2，平面的法向量为n=2,1,3， 故所求距离d=MNnn=214=147.故答案为：147.【点睛】这个题目考查了点面距离的求法，方法一可以同这个题目一样建系解决；方法二可以通过等体积法得到点面距离；方法三，如果题中条件有面面垂直的条件，可由点做面的垂线，垂足落在交线上.15.若双曲线x2a2y2b2=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为_【答案】5【解析】【分析】双曲线焦点到渐近线的距离为b，b=2a，再由a,b,c的关系得到离心率.【详解】双曲线焦点到渐近线的距离为b，b=2a，b2=4a2，c2a2=4a2，5a2=c2，e=5.故答案为：5.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=c2a2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或a2转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).16.已知曲线l1:xy+3=0，直线l2:x=3，则抛物线x=18y2上一个动点P到直线l1的距离与它到直线l2的距离之和的最小值为_【答案】522+1【解析】【分析】根据抛物线的定义得到，点P到直线l2的距离等于PF+1，所以点P到直线l1与到直线l2的距离之和等于P到直线l1的距离与PF+1之和。【详解】抛物线的标准方程为y2=8x，焦点F2,0，所以点P到直线l2的距离等于PF+1，所以点P到直线l1与到直线l2的距离之和等于P到直线l1的距离与PF+1之和，其最小值为1210+312+12+1=522+1.故答案为：522+1.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C的标准方程. （1）渐近线方程为y=53x，且过点3,10；（2）与双曲线x2y2=1的离心率相同，与x25+y2=1共焦点.【答案】（1）y275x227=1；（2）x22y22=1【解析】【分析】（1）设出双曲线的方程，代入已知点即可得到方程；（2）根据题意得到双曲线C的离心率为2，焦点为-2,0，2,0，由a2+b2=4，a2+b2a=2，即可得到参数值.【详解】（1）设双曲线的方程为x29-y225=0，将点3,10代入可得99-10025=-3=，故双曲线的方程为x29-y225=-3，故双曲线C的方程为y275-x227=1.（2）由题意可知双曲线C的离心率为2，焦点为-2,0，2,0，所以可设双曲线C的标准方程为x2a2-y2b2=1a0,b0，则a2+b2=4，a2+b2a=2，解得a2=b2=2，所以双曲线C的标准方程为x22-y22=1.【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程的求法，一般需要求出a,b，c的关系式，再由三者的关系式a2+b2= c2得到参数值.18.已知关于x的不等式x+24-x0的解为条件p，关于x的不等式x2-3x-m2-m+20的解为条件q.（1）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）0,2；（2）3,+【解析】【分析】(1)先解出命题p，q所对应的集合A和B，再由p是q的必要不充分条件，得到集合B是集合A的真子集，列式求解即可；（2）p是q的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集，所以1-m4,m0,求解即可.【详解】（1）设条件p对应的集合为A，则A=x|-2x4，设条件q对应的集合为B，则B=x|1-mx0,解得0m2，所以实数m的取值范围是0,2.（2）若p是q的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集，所以1-m4,m0,解得m3，所以实数m的取值范围是3,+.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键P是q的充分非必要条件，则p所对应的解集是q所对应的解集的真子集.19.如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，PBAB.（1）证明：平面PBC平面PCD；（2）若异面直线PC与BD所成角为60，PB=AB，PBBC，求二面角BPDC的大小.【答案】(1)证明见解析；(2) 60.【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得CD平面PBC，结合面面垂直的判断定理即可证得平面PBC平面PCD.(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角B-PD-C的大小是60.试题解析：（1）证明：由已知四边形ABCD为矩形，得ABBC，PBAB，PBBC=B，AB平面PBC.又CD/AB，CD平面PBC.CD平面PCD，平面PBC平面PCD.（2）解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设PB=AB=1，BC=a(a0)，则B(0,0,0)，C(0,0,a)，P(1,0,0)，D(0,1,a)，所以PC=(-1,0,a)，BD=(0,1,a)，则|PCBD|PC|BD|=cos60，即a21+a2=12，解得a=1（a=-1舍去）.设n=(x1,y1,z1)是平面PBD的法向量，则nBP=0nBD=0，即x1=0y1+z1=0，可取n=(0,1,-1).设m=(x2,y2,z2)是平面PCD的法向量，则mPD=0mCD=0即-x2+y2+z2=0y2=0，可取m=(1,0,1)，所以cos=nm|n|m|=-12，由图可知二面角B-PD-C为锐角，所以二面角B-PD-C的大小为60.20.已知抛物线x2=2pyp0，焦点到准线的距离为4.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两点关于直线y=2x+m对称，且两点的横坐标之积为2，求m的值.【答案】（1）x2=8y；（2）194【解析】【分析】(1)根据题干得到p=4，进而得到方程；（2）设存在两点分别为Ax1,y1，Bx2,y2，则根据对称性得到直线AB的斜率为-12，代入AB的中点坐标得到18x1+x22-2x1x2=2x1+x2+2m，再由两根的和与积得到参数值.【详解】（1）由题意可得抛物线的焦点到准线的距离为p，p=4.抛物线方程是x2=8y.（2）设存在两点分别为Ax1,y1，Bx2,y2，则直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=-12，又A,B两点在抛物线上，y1-y2=18x12-x22，x1+x2=-4.又AB的中点x1+x22,y1+y22在直线y=2x+m上，即y1+y22=2x1+x22+m，y1+y2=2x1+x2+2m.18x12-x22=2x1+x2+2m，即18x1+x22-2x1x2=2x1+x2+2m.又x1+x2=-4，x1x2=2，m=194.【点睛】当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和双曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程（2）“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题21.如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，PA=AD=2，点E,F,G分别为AB,AD,PC的中点.（1）求证：PC平面EFG；（2）求二面角EPCF的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，证得两个向量垂直，即可得到线面垂直；（2）求两个面的法向量，求解两个法向量的夹角或其补角，即二面角的大小。【详解】（1）证明：以AB,AD,AP为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，P0,0,2，D0,2,0，E1,0,0，F0,1,0，G1,1,1，GE=0,-1,-1，GF=-1,0,-1，PC=2,2,-2.GEPC=02+-12+-1-2=0，GEPC.又GEGF=G，PC平面EFG.（2）解：PE=1,0,-2，EC=1,2,0，PF=0,1,-2，CF=-2,-1,0.设平面PEC的一个法向量为n1=x1,y1,z1，n1PE=0,n1EC=0, x1-2z1=0,x1+2y1=0,即z1=12x1,y1=-12x1,取x1=2，n1=2,-1,1.设平面PCF的一个法向量为n2=x2,y2,z2，n2PF=0,n2CF=0, x2-2z2=0,-2x2-y2=0,即z2=y22,x2=-y22,取y2=2，则n2=-1,2,1.设二面角E-PC-F的平面角为，cos=n1n2n1n2=366=12.0,2，cos=12.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为32，左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6.（1）求椭圆C的方程.（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为14的直线分别与椭圆交于M,N点.试问直线MN是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.【答案】（1）x212+y23=1；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到ca=32,c=3,解得a=23，再由a,b,c的关系得到结果；（2）设出直线AM，联立直线和椭圆，表示出点M的坐标，设直线AN的斜率为k，则kk=-14，即k=-14k，把点M坐标中k的替换为-14k，得到点N的坐标，利用两点坐标表示出直线MN即可得到直线过定点.【详解】（1）由题意知ca=32,c=3,解得a=23.又a2=b2+c2，b2=3，椭圆方程为x212+y23=1.（2）设左顶点A-23,0，根据已知得直线AM,AN的斜率存在且不为零，设AM:y=kx+23，代入椭圆方程，得1+4k2x2+163k2x+48k2-12=0，设Mx1,y1，则-23x1=48k2-121+4k2，即x1=23-83k21+4k2，y1=kx1+23=43k1+4k2，即M23-83k21+4k2,43k1+4k2.设直线AN的斜率为k，则kk=-14，即k=-14k，把点M坐标中k的替换为-14k，得.当的横坐标不相等，即时，直线的方程为，即，该直线恒过定点.当时，、的横坐标为零，直线也过定点.综上可知，直线过定点.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.