2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 文(含解析) (III).doc

2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷 文(含解析) (III)一选择题（125分=60分）1.一元二次不等式的解集是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将不等式左边因式分解，然后利用一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】不等式可因式分解为，对应一元二次方程的两个根为，故不等式的解集为.故选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查二次三项式的因式分解，属于基础题.2.已知函数，为的导函数，则的值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用乘法的求导法则对函数进行求导，将x=1代入导函数，求得正确选项.【详解】依题意fx=exlnx+exx，故f1=e，所以选B.【点睛】本小题主要考查两个函数相乘的导数的运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.3.等比数列an的前n项和为Sn，且4a1， 2a2， a3成等差数列，若a1=1，则s4=（ ）A. 7 B. 8 C. 15 D. 16【答案】C【解析】试题分析：设等比数列an的公比为q，4a1,2a2,a3成等差数列，则4a1+a3=4a2即4a1+a1q2=4a1q，解得q=2，a1=1，则S4=12412=15；考点：等比数列；等差中项；4.ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，已知b=2，B=6，C=4，则ABC的面积为（ ）A. 2+23 B. 3+1 C. 232 D. 31【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理，解得，并且，所以考点：1正弦定理；2面积公式【此处有视频，请去附件查看】5.设ab0，则下列各不等式一定成立的是 ( )A. a2ababb2C. a2b2b2ab【答案】B【解析】【分析】令a=2,b=1，计算a2,ab,b2的值，由此得出正确选项.【详解】令a=2,b=1，则a2=4,b2=1,ab=2故a2abb2，所以选B.【点睛】本小题主要考查不等式的基本性质，考查利用特殊值解法比较大小，属于基础题.6.已知an为等差数列，且a72a4=1，a3=0，则公差d=（ ）A. -2 B. 12 C. 12 D. 2【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得a1+6d-2(a1+3d)=-1a1+2d=0，即a1=1a1+2d=0，解得d=12，故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用7.设F1,F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且F1F2=8,PF1+PF2=10,则PF1F2面积的最大值为 ( )A. 6 B. 12 C. 15 D. 20【答案】B【解析】【分析】根据F1F2=8,PF1+PF2=10，以及a2=b2+c2，计算出a,b,c的值.由于PF1F2底边F1F2长度一定，故高最高的时候取得最大值，高最高为b，由此求得三角形面积的最大值.【详解】根据F1F2=8,PF1+PF2=10可知2c=8,2a=10，故b2=a2c2=9，所以b=3.由于PF1F2底边F1F2长度一定，故高最高的时候取得最大值，高最高为b=3，所以三角形面积的最大值为12F1F2b=12.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查三角形面积的最大值的求法.属于基础题.在椭圆的有关概念中，椭圆的定义理解为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值，也即是2a，焦距为2c，并且椭圆里面b2=a2c2，这个条件经常用在求椭圆标准方程的题目上.8.已知数列an为等差数列,bn为等比数列，且满足：a2+a2018=，b1b2019=2，f(x)=cosx,f(x)为f(x)的导函数，则f(a1+a20191+b2b2018)= （ ）A. 32 B. 12 C. 32 D. 12【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质求得a1+a2019，根据等比数列的性质求得b2b2018，求得函数的导函数后，计算出相应的导数值.【详解】根据等差数列的性质由a1+a2019=a2+a2018=，根据等比数列的性质有b2b2018=b1b2019=2.fx=sinx.fa1+a20191+b2b2018=f3=sin3=32.故本题选A.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等比数列的性质，考查基本初等函数的导函数以及导数的计算，属于基础题. 等差数列的性质是：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，若m+n=2q，则am+an=2aq.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若m+n=p+q，则aman=apaq，若m+n=2q，则aman=aq29.已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0，b0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A. 2 B. 2 C. 322 D. 22【答案】D【解析】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。详解：e=ca=1+(ba)2=2ba=1所以双曲线的渐近线方程为xy=0所以点（4，0）到渐近线的距离d=41+1=22故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。10.若x，y满足x3，x+y2，yx， 则x + 2y的最大值为A. 1 B. 3C. 5 D. 9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，z=x+2y表示斜率为12的一组平行线，当z=x+2y过点C3,3时，目标函数取得最大值zmax=3+23=9，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z=ax+by.求这类目标函数的最值时常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=abx+zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如z=xa2+yb2；（3）斜率型：形如z=ybxa，而本题属于截距形式.11.以下判断正确的是 （ ）A. 函数y=f(x)为R上的可导函数，则f(x0)=0是x0为函数f(x)极值点的充要条件B. 若命题pq为假命题，则命题p与命题q均为假命题C. 若ab，则1ab”是“sinAsinB”的充要条件【答案】D【解析】【分析】根据极值点的定义，判断A选项是否正确.根据含有简单逻辑联结词命题的真假，判断B选项是否正确.写出原命题的逆命题并判断真假，由此得出C选项是否正确.根据三角形大角对大边以及正弦定理，判断D选项是否正确.【详解】对于A选项，由于导数为零的点不一定是极值点，故A选项错误.对于B选项，由于pq为假命题，则p,q至少有一个为假命题，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题为“若1ab”，显然1111，但是1b2RsinA2RsinBsinAsinB，所以D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查极值点的概念，考查含有简单逻辑联结词命题真假性判断，考查逆命题真假性的判断，考查正弦定理以及充要条件等知识，属于中档题.12.已知抛物线y2=4x，圆F:(x1)2+y2=1，过点F作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D（如图所示），则ABCD的值正确的是 ( )A. 等于4 B. 最小值是1 C. 等于1 D. 最大值是4【答案】C【解析】【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为x=1，代入抛物线和圆的方程，求得A,B,C,D四个点的坐标，由此求得ABCD的值.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用抛物线的定义和圆的半径求得ABCD的表达式，由此求得ABCD的取值范围，进而得出正确选项.【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，求得A,B,C,D的纵坐标分别为2,1,1,2，故ABCD=11=1.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为y=kx1，代入抛物线方程并化简得k2x22k2+4x+k2=0，xAxB=1.根据抛物线的定义以及圆的半径可知ABCD=xA+p2rxB+p2r x1x2=x1x2=1.故选C.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质以及圆的性质，考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.由于题目所给直线没有说明直线斜率是否存在，所以首先要对直线斜率分成斜率存在和斜率不存在两种情况来讨论.抛物线的定义在解有关过抛物线焦点的弦问题时，要重点考虑.二填空题（45=20分）13.命题“ x01,x02+x020190”的否定是_.【答案】x1,x2+x20190【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定.【详解】原命题是特称命题，故其否定是全称命题，为“x-1,x2+x-20190”【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题.属于基础题.14.若双曲线x2y2m=1的离心率为3，则实数m=_【答案】2【解析】a2=1,b2=m,e2=c2a2=a2+b2a2=1+m=3，m=2.渐近线方程是y=mx=2x.15.若直线xa+yb=1(a0，b0)过点（1,2）,则2a+b的最小值为_.【答案】8【解析】1a+2b=12a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab4+2ba4ab=8 ，当且仅当b=2a 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.已知直线y=kx+b与曲线y=ax2+2019lnx相切于点P1,2020，则b的值为_.【答案】xx【解析】【分析】将切点代入曲线方程求得，将切点代入直线方程，将切点横坐标代入曲线对应函数的导函数，求得切线的斜率，由此列方程组，解方程组求得k,b的值.【详解】将点P坐标代入曲线方程得2020=a+2019,a=1，曲线方程为y=x2+2019lnx，对应函数的导数为fx=2x1x.依题意得2020=k+b211=k，解得k=1，b=2019.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线方程，考查待定系数法求曲线的解析式，属于中档题.三解答题（70分）17.已知an是公差不为零的等差数列,a1=1,a1,a3,a9成等比数列.（1）求数列an的通项; （2）求数列bn=1anan+1的前n项和.【答案】(1)an=n(2) nn+1【解析】分析：（1）由题设知公差d0，由a1=1，a1，a3，a9 成等比数列，可得1+2d1=1+8d1+2d，解出即可得出(2) 1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，利用“裂项求和”即可求得Sn详解： (1)由题设知公差d0，由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得1+2d1=1+8d1+2d, 解得d1，d0(舍去)， 故an的通项an=1+(n-1)1=n. (2) 1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1, Sn=(11-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1.点睛：本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. （1）求C；（2）若a=1,b=2，求c.【答案】（1）3（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cosC的值，由此求得C的大小.（2）利用余弦定理求得的值.【详解】由正弦定理得2cosCsinAcosB+sinBcosA=sinC，即2cosCsinA+B=sinC，即2cosCsinC=sinC，由于在三角形中sinC0，故2cosC=1,cosC=12,C=3.（2）由余弦定理得c=a2+b22abcosC=1+42=3.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于基础题.19.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，求M点的坐标及切线方程.【答案】（1）1（2）M(2,1),y=x1【解析】【分析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用A,B横坐标和为4列方程，求得直线AB的斜率.（2）令导数等于直线AB的斜率，解方程求得切点的横坐标，进而求得切点坐标以及切线方程.【详解】（1）由于直线和开口向上的抛物线相交于两点，故直线AB的斜率存在，设直线方程为y=kx+b，代入抛物线方程并整理得x24kx4b=0，所以xA+xB=4k=4,k=1，即直线AB斜率为1.（1）依题意fx=x2=1,x=2，代入抛物线方程求得y=1，故切点坐标为2,1，且斜率为1，由点斜式得y1=x2，即y=x1.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查利用导数求曲线的切点坐标以及切线方程，属于中档题.20.设函数f(x)=x3+ax212x.（1）当a=0时，求f(x)的极值;（2）是否存在，使f(x)在R上恒为增函数，如存在，求出的范围，如不存在，说明理由.【答案】（1）当x=2时取极小值-16，当x=2时取极大值16，（2）不存在【解析】【分析】（1）当a=0时，利用导数求得函数的单调区间，由此求得函数的极值.（2）求得函数的导数，利用判别式判断函数导数必定有减区间，由此判断出不存在相应的值.【详解】（1）当a=0时，fx=x312x，fx=3x212=3x+2x2，故函数在区间,2,2,+上递增，在2,2上递减，所以当x=2时取得极小值为f2=16，当x=2时取得极大值f2=16.（2）由于fx=3x2+2ax12，其判别式=4a2+1440，故导函数图像与x轴有两个交点，原函数必有减区间，故不存在，使得fx为R上递增函数.【点睛】本小题主要考查利用函数导数求函数的单调区间以及极值，考查存在性问题的判断，属于中档题.21.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为63，焦距为22斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A,B（1）求椭圆M的方程；（2）若过椭圆左焦点且k=1，求AB.【答案】（1）x23+y2=1，（2）3【解析】【分析】（1）利用离心率和焦距列方程组，结合a2=b2+c2，解方程组求得a,b的值，即求得椭圆方程.（2）求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，利用弦长公式求得弦长AB.【详解】（1）依题意得a2=b2+c2ca=632c=22，解得a2=3,b2=1,c2=2，所以椭圆方程为x23+y2=1.（2）由（1）知，椭圆左焦点坐标为2,0，故直线的方程为y=x+2，代入椭圆方程并化简得4x2+62x+3=0，x1+x2=322,x1x2=34，故AB=1+123222434=3.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交所得弦长公式的求法，属于中档题.22.已知函数f(x)=lnxx（1）求在处的切线方程；（2）求的单调区间.【答案】（1）（2）在上递增，在上递减【解析】【分析】（1）对函数求导后求得函数在点处切线的斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）求导后，根据导函数的正负，求得函数的递减区间.【详解】函数的定义域为，.（1），由点斜式得切线方程为.（2）当时，当时.故函数在上递增，在上递减.【点睛】本小题主要考查除法的导数，考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.