中国科学技术大学概率论与数理统计.ppt

5 1大数定律 5 2中心极限定理 5 3小结 第五章大数定律与中心极限定理 5 1大数定律 讨论 概率是频率的稳定值 的确切含义 给出几种大数定律 伯努利大数定律 切比雪夫大数定律 马尔可夫大数定律 辛钦大数定律 常用的几个大数定律 大数定律一般形式 若随机变量序列 Xn 满足 则称 Xn 服从大数定律 切比雪夫大数定律 定理5 1 1 Xn 两两不相关 且Xn方差存在 有共同的上界 则 Xn 服从大数定律 证明用到切比雪夫不等式 依概率收敛 定义5 1 1 依概率收敛 大数定律讨论的就是依概率收敛 若对任意的 0 有 则称随机变量序列 Yn 依概率收敛于Y 记为 依概率收敛的性质 定理5 1 2若 则 Xn 与 Yn 的加 减 乘 除依概率收敛到a与b的加 减 乘 除 依概率收敛 续 推论5 1 3 多变量函数 设 g x y 在点 a b 连续 则 又设函数 伯努利大数定律 定理5 1 4 伯努利大数定律 设 n是n重伯努利试验中事件A出现的次数 每次试验中P A p 则对任意的 0 有 马尔可夫大数定律 定理5 1 5 若随机变量序列 Xn 满足 则 Xn 服从大数定律 马尔可夫条件 辛钦大数定律 定理5 1 6 若随机变量序列 Xn 独立同分布 且Xn的数学期望存在 则 Xn 服从大数定律 1 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例 注意点 2 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例 3 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例 5 2中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布 本节指出极限分布为正态分布 5 2 1独立随机变量和 设 Xn 为独立随机变量序列 记其和为 5 2 2独立同分布的中心极限定理 定理5 2 1林德贝格 勒维中心极限定理 设 Xn 为独立同分布随机变量序列 数学期望为 方差为 2 0 则当n充分大时 有 应用之例 正态随机数的产生 误差分析 林德贝格 勒维中心极限定理的推论 例5 2 1每袋味精的净重为随机变量 平均重量为100克 标准差为10克 一箱内装200袋味精 求一箱味精的净重大于20500克的概率 解 设箱中第i袋味精的净重为Xi 则Xi独立同分布 且E Xi 100 Var Xi 100 由中心极限定理得 所求概率为 0 0002 故一箱味精的净重大于20500克的概率为0 0002 很小 例5 2 2设X为一次射击中命中的环数 其分布列为 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率 解 设Xi为第i次射击命中的环数 则Xi独立同分布 且E Xi 9 62 Var Xi 0 82 故 0 00021 5 2 3二项分布的正态近似 定理5 2 2棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 设 n为服从二项分布b n p 的随机变量 则当n充分大时 有 是林德贝格 勒维中心极限定理的特例 二项分布是离散分布 而正态分布是连续分布 所以用正态分布作为二项分布的近似时 可作如下修正 注意点 1 中心极限定理的应用有三大类 注意点 2 ii 已知n和概率 求x iii 已知x和概率 求n i 已知n和x 求概率 一 给定n和x 求概率 例5 2 3100个独立工作 工作的概率为0 9 的部件组成一个系统 求系统中至少有85个部件工作的概率 解 用 由此得 Xi 1表示第i个部件正常工作 反之记为Xi 0 又记Y X1 X2 X100 则E Y 90 Var Y 9 二 给定n和概率 求x 例5 2 4有200台独立工作 工作的概率为0 7 的机床 每台机床工作时需15kw电力 问共需多少电力 才可有95 的可能性保证正常生产 解 用 设供电量为x 则从 Xi 1表示第i台机床正常工作 反之记为Xi 0 又记X X1 X2 X200 则E X 140 Var X 42 中解得 三 给定x和概率 求n 例5 2 5用调查对象中的收看比例k n作为某电视节目的收视率p的估计 要有90 的把握 使k n与p的差异不大于0 05 问至少要调查多少对象 解 用 根据题意 Xn表示n个调查对象中收看此节目的人数 则 从中解得 Xn服从b n p 分布 k为Xn的实际取值 又由 可解得 n 271 例5 2 6设每颗炮弹命中目标的概率为0 01 求500发炮弹中命中5发的概率 解 设X表示命中的炮弹数 则 X b 500 0 01 0 17635 2 应用正态逼近 P X 5 P 4 5 X 5 5 0 1742 5 2 4独立不同分布下的中心极限定理 定理5 2 3林德贝格中心极限定理 设 Xn 为独立随机变量序列 若任对 0 有 林德贝格条件 则 李雅普诺夫中心极限定理 定理5 2 4李雅普诺夫中心极限定理 设 Xn 为独立随机变量序列 若存在 0 满足 李雅普诺夫条件 则 林德贝格条件较难验证 例5 2 7设X1 X2 X99相互独立 且服从不同的0 1分布 试求 解 设X100 X101 相互独立 且与X99同分布 则可以验证 Xn 满足 1的李雅普诺夫条件 且 由此得 5 3小结 基本概念 依概率收敛 契比雪夫大数定理 伯努利大数定理 辛钦大数定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫中心极限定理 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 基本概念 中心极限定理的应用 2 5 8 作业