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数值分析 韩超Email kdhc 参考书目 Reference 数值分析 李庆扬编 清华大学出版社 计算方法典型题分析解集 封建湖编 西北工业大学出版社 数值分析学习辅导习题解析 李红编 华中科技大学出版社 NumericalAnalysis ThirdEdition DavidKincaid WardCheney数值分析 第三版 王国荣译 机械工业出版社 许多科学研究与工程设计问题最终都归结为一个数学问题 它就是一个数学模型 通过求解这个数学模型 并对所获得的数据分析 达到科学的真缔与工程的完美 但是数学模型可能非常复杂 求出它的准确解几乎不可能 因此寻求它的近似解就非常重要 如何得到它的近似解 包括解析的和数值的 近似 值 是一个普遍现象 从日常生活到科学研究 工程设计无处不在 对一些复杂的 自然或社会 现象以及工程设计问题我们完全可以用近似数据去解释去完善 数值仿真已经成为科学研究与工程设计中非常重要的方法或手段 现代计算机的发展为大量复杂数学模型的求解奠定了基础 使得数值计算技术的发展获得了巨大的支撑 求近似数据的关键途径就是学习或研究数学问题的 计算方法 或 数值分析 也称为 科学与工程计算 为什么学习数值计算方法 解决实际问题的理想化过程 教材内容体系 第一章绪论 第二章线性方程组的直接解法 第三章函数插值 第四章函数逼近 第五章数值积分法 第六章线性方程组的迭代解法 第七章非线性方程 组 的数值解法 第八章数值最优化 第九章常微分方程的数值解法 第十章矩阵特征值问题的数值解法 第一章绪论 1课程研究的内容和构造算法的主要途径 2误差 3有效算法要具备的条件 4灵敏度分析 5向量范数与矩阵范数 1研究内容和构造算法的主要途径 研究数学问题数值解的计算方法 即研究算法的 1哪些数学问题 大型线性方程组Ax b求解 矩阵A的特征值和特征向量计算 非线性方程的求解 求根 积分计算 常微分方程初值问题求解 函数逼近等 2研究数值解的必要性 例1常微分方程初值问题 其解析解 精确解 为 要求计算 等近似值 3构造算法的主要思想 迭代法以直线代替曲线 非线性问题线性化 化整为零 离散化 外推法 加速 好算法的三个标准 快 计算步骤少 收敛速度快准 数值稳定性好 计算结果可靠性高省 节省计算机内存 大型稀疏矩阵问题 快 计算步骤少 收敛速度快 例2多项式求值的Hornor算法 秦九韶算法P7 给定x的值 计算的值 算法1 按自然顺序计算 乘法次数 加法次数 n 算法2 嵌套算法 Hornor 秦九韶 乘法次数 加法次数 n 例3解线性方程组 算法1 Cramer法则 乘除法次数An 万年 算法2 Gauss消去法 乘除法次数 耗时 秒 例5计算积分的梯形公式与Simpson公式 非线性方程求根 Newton法比二分法快 例4如FFT 快速傅立叶变换 零乘一个数省去 2 准 数值稳定性好 计算结果可靠性高 例6求根 假设计算机有尾数为5位 算法1 算法2 例7计算积分 由分部积分法可得 取迭代初值 由递推公式 计算得 算法1 直接积分 算法不稳定 结果不可靠 而 可见递推计算结果严重失真 取 将迭代格式变形成如下格式 计算结果相当好 算法2易知 算法稳定 结果可靠 1 稳定性 若一种算法的初始误差和舍入误差在运算过程中不增长 则称此算法是稳定的 2 误差分析 算法1 记 则 误差逐渐增大 式不稳定 算法2 记 则 误差没有增大 算法稳定 所以 为了 准 要注意的原则 1 防止大数吃小数 利用求根公式 在计算机内 109存为0 1 1010 1存为0 1 101 做加法时 两加数的指数先向大指数对齐 再将浮点部分相加 即1的指数部分须变为1010 则 1 0 0000000001 1010 取单精度时就成为 109 1 0 10000000 1010 0 00000000 1010 0 10000000 1010 大数吃小数 算法1 先解出再利用 注 求和时从小到大相加 可使和的误差减小 2 按从小到大 以及从大到小的顺序分别计算1 2 3 40 109 算法2 如1 在五位十进制计算机上计算 解 2 防止相近的数相减 例9 解决办法 通常情况下 当 x 1时 3 防止绝对值很小的数做分母 例10 2误差的来源和基本概念 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 1截断误差 也称为方法误差 涉及方法的收敛性 2舍入误差 由计算机的浮点运算产生 涉及方法的稳定性 如 用3 14159近似代替 则产生的误差R 3 14059 0 0000026 为舍入误差 二基本概念 假设x为准确值 x 为近似值 则 绝对误差 绝对误差限 相对误差 相对误差限 三有效数字 例11 解 2位 2位 4位 3位 四有效数字与误差限的关系 1有效数字与绝对误差限的关系 2 有效数字与相对误差的关系 有效数字 相对误差限 已知x 有n位有效数字 则其相对误差限为 相对误差限 有效数字 已知x 的相对误差限可写为则 可见x 至少有n位有效数字 例13为使的相对误差小于0 001 至少应取几位有效数字 解假设 取到n位有效数字 则其相对误差上限为 要保证其相对误差小于0 001 只要保证其上限满足 已知a1 3 则从以上不等式可解得n 6 log6 即n 6 应取 3 14159 只要取n 3即可 即3位有效数字 例14要使的近似值相对误差小于0 1 应取几位有效数字 解 例15 有十个复根 4灵敏度分析 灵敏度分析是分析一个数学问题原始数据的微小变化对其解的扰动情况 如果引起解发生较大的变化 则称该问题是病态的 否则称该问题是良态的 它反映了解对原始数据的敏感程度 抗干扰能力强良态的方程组 抗干扰能力弱病态的方程组 问题 如何估计误差向量的大小 如何对方程组的性态进行判断 衡量其病态程度 病态与否是该问题固有的性质 与采用何种计算方法没有关系 5向量范数与矩阵范数 相关Matlab命令 norm x p norm x norm x 2