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电工技术基础 主编李中发制作李中发2004年7月 正弦量的基本特征及相量表示法KCL CVL及元件伏安关系的相量形式阻抗串 并联电路的分析计算正弦电路的有功功率和功率因数RLC串联电路的谐振条件与特征 学习要点 第3章单相正弦电路分析 第3章单相正弦电路分析 3 1正弦交流电的基本概念3 2正弦交流电的相量表示法3 3电路基本定律的相量形式3 4简单正弦交流电路的分析3 5正弦电路的功率3 6交流电路的频率特性 3 1正弦交流电的基本概念 随时间按正弦规律变化的电压 电流称为正弦电压和正弦电流 表达式为 以正弦电流为例 振幅 角频率 振幅 角频率和初相称为正弦量的的三要素 相位 初相角 简称初相 波形 角频率 正弦量单位时间内变化的弧度数 角频率与周期及频率的关系 周期T 正弦量完整变化一周所需要的时间 频率f 正弦量在单位时间内变化的周数 周期与频率的关系 3 1 1周期与频率 3 1 2相位 初相和相位差 相位 正弦量表达式中的角度 初相 t 0时的相位 相位差 两个同频率正弦量的相位之差 其值等于它们的初相之差 如 相位差为 3 1 3振幅与有效值 振幅 正弦量的最大值 周期电流有效值 让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R 如果在相同的时间T内 两个电阻消耗的能量相等 则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值 根据有效值的定义有 周期电流的有效值为 对于正弦电流 因 所以正弦电流的有效值为 同理 正弦电压的有效值为 3 2 1复数及其运算 相量法是求解正弦稳态电路的简单方法 复数A可用复平面上的有向线段来表示 该有向线段的长度a称为复数A的模 模总是取正值 该有向线段与实轴正方向的夹角 称为复数A的辐角 3 2正弦交流电的相量表示法 根据以上关系式及欧拉公式 复数A的实部a1及虚部a2与模a及辐角 的关系为 代数型 三角函数型 指数型 极坐标型 可将复数A表示成代数型 三角函数型 指数型和极坐标型4种形式 复数的四则运算 设两复数为 1 相等 若a1 b1 a2 b2 则A B 2 加减运算 3 乘除运算 将复数Im i乘上因子1 t 其模不变 辐角随时间均匀增加 即在复平面上以角速度 逆时针旋转 其在虚轴上的投影等于Imsin t i 正好是用正弦函数表示的正弦电流i 可见复数Im i与正弦电流i Imsin t i 是相互对应的关系 可用复数Im i来表示正弦电流i 记为 并称其为相量 3 2 2正弦量的相量表示法 正弦量 相量 有效值相量和振幅相量的关系 规则2 若i1与i2为同频率的正弦量 代表它们的相量分别为与 则i1 i2也是同频率的正弦量 其相量为 规则4 若i为角频率为 的正弦量 代表它的相量为 则也是同频率的正弦量 其相量为 3 3电路基本定律的相量形式 3 3 1相量运算规则 规则1 若i为正弦量 代表它的相量为 则ki也是正弦量 代表它的相量为k 规则3 若i1与i2为同频率的正弦量 代表它们的相量分别为与 则i1 i2的充分必要条件是代表它们的相量相等 即 例 求i i1 i2 解 相量图 3 3 2元件伏安关系的相量形式 1 电阻元件 电阻元件伏安关系 u Ri根据相量运算的规则1和规则3 有 2 电感元件 电感元件伏安关系 根据相量运算的规则1 规则3和规则4 有 感抗 XL L 与频率成正比 3 电容元件 或 容抗 XC 1 C 与频率成反比 电感元件伏安关系 根据相量运算的规则1 规则3和规则4 有 KCL KVL 3 3 3KCL KVL的相量形式 例 图示电路 电流表A1 A2的读数均为10A 求电流表A的读数 解 由KCL有 作相量图 由相量图得 例 图示RC串联电路 R 100 C 100 F us 100sin100tV 求i uR和uC 并画出相量图 解 3 4简单正弦电路的分析 将正弦交流电路中的电压 电流用相量表示 元件参数用阻抗来代替 运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法 运用相量法分析正弦交流电路时 直流电路中的结论 定理和分析方法同样适用于正弦交流电路 3 4 1阻抗的串联与并联 1 阻抗的定义 定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗 并用符号Z表示 即 或 或 称为欧姆定律的相量形式 电阻 电感 电容的阻抗 相量模型将所有元件以相量形式表示 2 阻抗的性质 电阻 电抗 阻抗模 阻抗角 的阻抗 的阻抗 相量模型将所有元件以相量形式表示 3 4 2RLC串联电路 由欧姆定律 由KVL 例 RLC串联电路 已知R 5k L 6mH C 0 001 F U 5sin106tV 1 求电流i和各元件上的电压 画出相量图 2 当角频率变为2 105rad s时 电路的性质有无改变 k k 2 当角频率变为2 105rad s时 电路阻抗为 3 4 3RLC并联电路 例 RLC并联电路中 已知R 5 L 5 H C 0 4 F 电压有效值U 10V 106rad s 求总电流i 并说明电路的性质 解 设 则 因为电流的相位超前电压 所以电路呈容性 3 4 4阻抗的串联与并联 解 解 3 5正弦电路的功率 3 5 1二端网络的功率 瞬时功率 平均功率 有功功率 1 平均功率 可见电阻总是消耗能量的 而电感和电容是不消耗能量的 其平均功率都为0 平均功率就是反映电路实际消耗的功率 无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和 就是该电路所消耗的平均功率 2 无功功率 表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度 单位为乏 Var 3 视在功率 单位为伏安 VA 平均功率P 无功功率Q和视在功率S的关系 表示用电设备的容量 例 图示电路 已知R 2 L 1H C 0 25F U 10sin2tV 求电路的有功功率P 无功功率Q 视在功率S和功率因数 解 1 提高功率因数的意义 1 提高发 配电设备的利用率 2 减少输电线路的电压降和功率损失 2 提高功率因数的方法 在感性负载上并联适当的电容 3 5 2功率因数的提高 例 一台功率为1 1kW的感应电动机 接在220V 50Hz的电路中 电动机需要的电流为10A 求 1 电动机的功率因数 2 若在电动机两端并联一个79 5 F的电容器 电路的功率因数为多少 解 1 2 在未并联电容前 电路中的电流为 并联电容后 电动机中的电流不变 仍为 这时电路中的电流为 由相量图得 3 6交流电路的频率特性 3 6 1RC电路的频率特性 交流电路中 感抗和容抗都与频率有关 当电源电压 激励 的频率改变时 即使电压的幅值不变 电路中各部分电流和电压 响应 的大小和相位也会随着改变 响应与频率的关系称为电路的频率特性或频率响应 1 RC低通滤波电路 幅频特性 相频特性 截止角频率 通频带 2 RC高通滤波电路 通频带 由电阻 电感 电容组成的电路 在正弦电源作用下 当电压与电流同相时 电路呈电阻性 此时电路的工作状态称为谐振 1 串联谐振 电压与电流同相 电路呈电阻性 电路谐振 3 6 2谐振电路 电路串联谐振时的主要特征 1 阻抗Z R 外加电压U一定时 电流具有最大值Io U R Io称为串联谐振电流 2 电压与电流同相 电路呈现纯电阻性质 3 因为XL XC R 故UL UC UR U 即电感和电容上的电压远远高于电路的端电压 2 并联谐振