2018年极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练WORD版

第 1 页 共 19 页极坐标和参数方程知识点+ 典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即 )(tfyx并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（x 0，y 0） ，倾角为 的直线：（t 为参数）sinco0其中参数 t 是以定点 P（x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M（x，y）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离根据 t 的几何意义，有以下结论设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA 和 tB，则 1 tBAtt4)(2线段 AB 的中点所对应的参数值等于 2 2BAt2中心在（x 0，y 0） ，半径等于 r 的圆：（ 为参数）sinco0r3中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：（ 为参数） （或 ）sincobyax sincoaybx中心在点（x0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程为 参 数 ）(.si,c0yx4中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：第 2 页 共 19 页（ 为参数） （或 ）tgsecbyaxecaybxstg5顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：（t 为参数，p 0）y2直线的参数方程和参数的几何意义过定点 P（x 0， y0） ，倾斜角为 的直线的参数方程是 （t 为参数）sinco0yx（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向） 。对于平面内的任意一点 M，用 表示线段 OM 的长度， 表示从 Ox 到 OM 的角， 叫做点 M 的极径， 叫做点 M 的极角，有序数对( , ) 就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对应惟一点 P( ， )，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P( ， )（极点除外）的全部坐标为( , )或k2（ ， ） ，( Z)极点的极径为 0，而极角任意取若对 、 的取值)12(k范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定 0，0 或0， 等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、极坐标与直角坐标互化公式：xMO1第 3 页 共 19 页典型例题讲解极坐标考点一 极坐标与直角坐标的互化1.点 P 的直角坐标为( ， )，那么它的极坐标可表示为 _2 2答案： (2，34)2.已知圆 C： ，则圆心 C 的极坐标为_221(3)1xy(0,)答案：（ ）(2,33.把点 的极坐标化为直角坐标。)4,)65BA4.曲线的极坐标方程 =sin 化 成直角坐标方程为( )A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4解：将 = ，sin= 代入 =4sin，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)2=4.2yx2yx应选 B.5.若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析 2sin 4cos ， 22 sin 4cos .x2y 22y 4x，即 x2y 22y 4x0.6 化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）cos0A B C D 21y或 x201y或 x1y7.极坐标 =cos( )表示的曲线是( )4A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解：原极坐标方程化为 = (cos+sin) =cos+sin，212第 4 页 共 19 页普通方程为 (x2+y2)=x+y，表示圆.应选 D.考 点 二 直 线 的 极 坐 标 方 程 的 应 用1.过 点 且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 方 程 为 （ ）(2,)3A. B. C. D. 4coscos10sin33sin2.在极坐标系中，直线 l过点 (,)且与直线 （ R）垂直，则直线 l极坐标方程为 答案： 2sin()16（或 2cos()13、 cos3in1） 3.设点 A 的极坐标为 ，直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ，则直线 l 的极(2，6) 3坐标方程为_审题视点 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程【解析】点 A 的极坐标为 ，点 A 的平面直角坐标为( ，1)，又直线 l(2，6) 3过点 A 且与极轴所成的角为 ，直线 l 的方程为 y1(x )tan ，即3 3 3xy20，直线 l 的极坐标方程为 cos sin 20，可整理为 cos3 31 或 sin 1 或 sin 1.( 6) (3 ) ( 43)答案 cos 1 或 cos sin 20 或 sin 1 或( 6) 3 (3 )sin 1.( 43)4.极点到直线 的距离是_ _。cosin3解析：直线 :()06lRxy；点 C到直线 l的距离是0235.在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin 3，则点 到直线 l 的距离为(2，6)_第 5 页 共 19 页解析：直线 l 的极坐标方程可化为 y3，点 化为直角坐标为( ，1)，(2，6) 3点 到直线 l 的距离为 2.(2，6)考点三 圆的极坐标方程的应用1.在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 )2,(a2a。解析：由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 cos,inxy得22cosxy0，又 ，所以 2.2.在 极 坐 标 中 ， 已 知 圆 C经 过 点 24P， ， 圆 心 为 直 线 3sin2与 极 轴的 交 点，求圆 的极坐标方程解析：圆 圆 心 为 直 线 3sin2与 极 轴 的 交 点，在 3sin2中 令 =0， 得 1。圆 C的圆心坐标为（1，0） 。圆 经 过 点 24P， ， 圆 C的半径为 212cos=14P。圆 经 过 极 点 。 圆 的极坐标方程为 =cos。3.在极坐标系中，圆 sin的圆心到直线 ()6R的距离是 _【解析】距离是 3 圆 224()4xy的圆心 (0,2)C4.在极坐标系中，已知圆 =2cos 与直线 3cos+4sin+a=0 相切，求实数 a 的值。解析： ，圆 =2cos 的普通方程为： ，2cos22,(1)xyxy直线 3cos+4sin+a=0 的普通方程为： ，340a第 6 页 共 19 页又圆与直线相切，所以 解得： ，或 。2|3140|1,a2a85.在极坐标系( ， )(02) 中，曲线 2sin 与 cos 1 的交点的极坐标为_解析 2sin 的直角坐标方程为 x2y 22y 0，cos 1 的直角坐标方程为 x1，联立方程，得Error! 解得Error!即两曲线的交点为(1,1)，又02，因此这两条曲线的交点的极坐标为 .(2，34)6.已知曲线 的极坐标方程分别为 ，12C， cos，则曲线 与 交点的极坐标为 4cos0， 1C2解析：联立解方程组 解得 ,即两曲线的交点为cos3(0,)436。(23,)67 在极坐标系 ,（ 0,2）中，曲线 2sin与 2cos的交点的极坐标为_解析： 2,4 两式相除得 tan12sin44，交点的极坐标为 ,8.在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线 4cos 于 A、B 两点，则|AB| _.审题视点 先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.【解析】注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是 x1，曲线 4cos 的直角坐标方程是 x2y 24x，即(x 2) 2y 24，圆心(2,0)到直线 x1 的距离等于 1，因此| AB|2 2 .4 1 3第 7 页 共 19 页9.直线 2cos1与圆 2cos相交的弦长为 【解析】 是过点 0,1且垂直于极轴的直线， 2cos是以 0,1为圆心，1 为半径的圆，则弦长=31.10.在极坐标系中，直线 sin 2 被圆 4 截得的弦长为_( 4)解析 由 sin 2，得 (sin cos )2 可化为 xy2 0.圆 4( 4) 22 2可化为 x2y 216，由圆中的弦长公式得： 2 2 4 .r2 d242 (2 22)2 3参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线 C 上的点 满足 ，(,)Pxy()ft该方程叫曲线 C 的参数方程，变量 t 是参变数，简称参数。（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数yx,t并且对于 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 都在这),(tgyfxt ),(yxM条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 的变数 叫,t做参变数，简称参数。 ）相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2曲线的参数方程（1）圆 的参数方程可表示为22)()(rbyaxsin,co为 参 数rby第 8 页 共 19 页（2）椭圆 的参数方程可表示为 .12byax)0(a )(.sin,co为 参 数byax（3）抛物线 的参数方程可表示为 .p )(.2,为 参 数tp（4）经过点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程可表示为),(oOyxMl（ 为参数）.sincotyxt3在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使 的取值范围保持一致.yx,规律方法指导： 1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。考点一 参数方程与普通方程的互化1.把下列参数方程化为普通方程：(1)Error! (2)Error!解析：(1)由已知 Error!由三角恒等式 cos2 sin 21, 可知(x3) 2(y2) 21，这就是它的普通方程(2)由已知 t 2x2，代入 y5 t 中，32得 y5 (2x2)，即 xy5 0 就是它的普通方程32 3 32.已知直线 l经过点 (1,)P,倾斜角 6，写出直线 l的参数方程;第 9 页 共 19 页解析：直线的参数方程为1cos6inxty，即312xty 3.极坐标方程 cos 和参数方程Error!(t 为参数 )所表示的图形分别是( )A直线、直线 B直线、圆 C圆、圆 D圆、直线解析：cos x，cos 代入到 cos ，得 ， 2x，x 2y 2x 表x x示圆又Error!相加得 xy 1，表示直线答案 D4.若直线Error! (t 为实数)与直线 4xky 1 垂直，则常数 k_.解析：参数方程Error! 所表示的直线方程为 3x2y 7，由此直线与直线4xky1 垂直可得 1，解得 k6.32( 4k)考点二 直线与圆的参数方程的应用1.已知直线 l 的参数方程为：Error!(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 2 sin 2，则直线 l 与圆 C 的位置关系为_解析：将直线 l 的参数方程：Error!化为普通方程得，y 12x，圆 2 sin 2 的直角坐标方程为 x2 (y )22，圆心(0， )到直线 y12x 的距离为2 2，因为该距离小于圆的半径，所以直线 l 与圆 C 相交2 11 4答案 相交2.在平面直角坐标系中，以坐标原点 O为几点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l上两点 NM,的极坐标分别为 )2,3(),0，圆 的参数方程(sin23coyx为参数） 。（）设 P为线段 的中点，求直线 OP的平面直角坐标方程；（）判断直线 l与圆 C的位置关系。第 10 页 共 19 页【解析】 （）由题意知 23(,0),)MN，因为 P是线段 MN中点，则3(1,)P因此 O直角坐标方程为： 3.yx（）因为直线 l上两点 2(,0),)MNl垂直平分线方程为： 3xy，圆心 (2,3)，半径 2r.2329dr,故直线 l和圆 C相交.3.已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极C4sin轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是x l参数） ，点 是曲线 上的动点，点 是直线 上的动点，求|2(4tty为 PCQl|的最小值PQ解：曲线 的极坐标方程 可化为 ,C4sin24sin其直角坐标方程为 ，即 . 20xy()xy直线 的方程为 .所以，圆心到直线 的距离 l4l243d所以， 的最小值为 . PQ324.已知曲线 C的极坐标方程是 sin，设直线 L的参数方程是 ,5423tyx（t为参数） （ ）将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）设直线L与 x轴的交点是 M， N曲线 C上一动点，求 MN的最大值.解析：（1）曲线 的极坐标方程可化为： sin2第 11 页 共 19 页又 sin,cos,22 yxyx .所以，曲线 C的直角坐标方程为： 022yx.（2）将直线 L的参数方程化为直角坐标方程得： )2(34x令 0y 得 2x即 M点的坐标为 )0,2(又曲线 C为圆，圆 的圆心坐标为 1，半径 1r，则 5MC 15rN5.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 的参数方程 ( 为参数)，以Csin1coyx原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,直线 的极坐标方程为 ,则x l 1si直线 与圆 的交点的直角坐标为 .lC_【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线 的方程为 ，圆 的方程为l1yC.，又解方程组 ，得 或 .故所求122yx 122yxxy交点的直角坐标为 .1,考点三 直线与圆锥曲线的参数方程1.二次曲线Error! ( 是参数)的左焦点的坐标是_解析 题中二次曲线的普通方程为 1 左焦点为(4,0)x225 y292. 在平面直角坐标系 中，求过椭圆 （ 为参数）的右焦点，且xOycos3iny与直线 （ 为参数）平行的直线的普通方程423xty第 12 页 共 19 页同步练习巩固训练一、选择题1若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（ ）12()3xty为 参 数A B C D23 322下列在曲线 上的点是（ ）sin2()coixy为 参 数A B C D 1(,)31,4(2,3)(1,3)3将参数方程 化为普通方程为（ ）2sin()xy为 参 数A B C Dyx2(3)yx2(01)yxy4化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）2cos0A B C D y2或 1x201yx或 1y5点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为（ ）M(1,3)MA B C D (2,)322(,)3(,2),(3kZ6极坐标方程 表示的曲线为（ ）cosinA一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆二、填空题1直线 的斜率为_ 。34()5xty为 参 数2参数方程 的普通方程为_。()2()tte为 参 数3已知直线 与直线 相交于点 ，又点 ，13:4xtly为 参 数 2:45lxyB(1,2)A则 _。AB第 13 页 共 19 页4直线 被圆 截得的弦长为_。12()xty为 参 数 24xy5直线 的极坐标方程为_ 。cosin0x三、解答题1已知点 是圆 上的动点，(,)Py2xy（1）求 的取值范围；2x（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。0xyaa2求直线 和直线 的交点 的坐标，及点1:()53xtly为 参 数 2:30lxyPP与 的距离。(,)Q3在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值。216xy210xy一、选择题1直线 的参数方程为 ， 上的点 对应的参数是 ，则点 与l ()xatyb为 参 数 l1P1t1P之间的距离是（ ）(,)PabA B C D 1t12t1t12t2参数方程为 表示的曲线是（ ）()2xty为 参 数第 14 页 共 19 页A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线3直线 和圆 交于 两点，则 的中点坐标12()3xtty为 参 数 216xy,AB为（ ）A B C D (3,)(,)(3,)(3,)4圆 的圆心坐标是（ ）5cosinA B C D 4(,)3(5,)3(5,)35(,)35与参数方程为 等价的普通方程为（ ）21xty为 参 数A B 4221(0)4yxC D 21(0)yx2(1,02)y6直线 被圆 所截得的弦长为（ ）()ty为 参 数 22(3)()5xyA B C D 981408943二、填空题1曲线的参数方程是 ，则它的普通方程为21()xty为 参 数 ,t0_。2直线 过定点_。3()14xaty为 参 数3点 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值为_。P(,)21xy2xy4曲线的极坐标方程为 ，则曲线的直角坐标方程为_。tancos5设 则圆 的参数方程为_。()ytx为 参 数 240xy第 15 页 共 19 页三、解答题1参数方程 表示什么曲线？cos(incs)()xy为 参 数2点 在椭圆 上，求点 到直线 的最大距离和最小距离。P2169xyP342xy3已知直线 经过点 ,倾斜角 ，l(1)P6（1）写出直线 的参数方程。（2）设 与圆 相交与两点 ，求点 到 两点的距离之积。l42yx,ABP,第 16 页 共 19 页同步练习巩固训练参考答案一、选择题 1D 231ytkx2B 转化为普通方程： ，当 时，21yx3412y3C 转化为普通方程： ，但是 ,0,4C 2(cos)0,cos1xyx或5C 都是极坐标2,(3kZ6C 2cs4incs,o,4sin,4sin或 即则 或,2k2xy二、填空题1 54534yt2 21,()6xx2()422ttttt tyxeeyxy3 将 代入 得 ，则 ，而 ，得5234ty5xy12t5(,0)B(1,)A5B4 直线为 ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为102d，得弦长为2214()145 ，取cossin0,cos()02三、解答题1解：（1）设圆的参数方程为 ，co1sixy2csin5n()1xy第 17 页 共 19 页51251xy（2） cosin0aa(i)12si()142a2解：将 代入 得 ，153xty30xy3t得 ，而 ，得(2,)P(1,5)Q2()643P3解：设椭圆的参数方程为 ，4cos23inxy4cosin125d455cosics()3当 时， ，此时所求点为 。()13min45d(2,)新课程高中数学训练题组参考答案一、选择题 1C 距离为 211tt2D 表示一条平行于 轴的直线，而 ，所以表示两条射线yx2,x或3D ，得 ，223(1)()16tt80t12128,4tt中点为14332xxyy4A 圆心为 5(,)5D 222,1,1,0,1,0244yyxttxtty而 得第 18 页 共 19 页6C ，把直线 代入2211xtxtyy21xty得22(3)()5x22()()5,720ttt，弦长为1212124ttt 18二、填空题1 而 ，2()xy,xtx2yt即 221()()1y2 ， 对于任何 都成立，则(3,1)4yxa()40xa3,1xy且3 椭圆为 ，设 ，216y(6cos,2in)Pcos4ini(2x4 即2y 22tan,cosn,cosin, 2xy5 ，当 时， ；当 时， ；214xty2()40xtx0yx241t而 ，即 ，得ytx241t241txyt三、解答题1解：显然 ，则tanyx2211,cosyyxx2 2 22tancosicosinscos21第 19 页 共 19 页即222211,()1yyyxxx得 ，即21yx20xy2解：设 ，则(4cos,3in)P1cos2in45d即 ，12()245d当 时， ；cos()4max1()5d当 时， 。1in23解：（1）直线的参数方程为 ，即cos61inxty312xty（2）把直线 代入321xty42yx得 223(1)()4,(31)20ttt，则点 到 两点的距离之积为12tP,AB