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第一节 平面应力问题和平面应变问题,第二节 平衡微分方程,第三节 平面问题中一点的应力状态,第四节 几何方程 刚体位移,第五节 物理方程,第六节 边界条件,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,第八节 按位移求解平面问题,第九节 按应力求解平面问题 相容方程,第十节 常应力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为 。,2-1 平面应力问题和平面应变问题,弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为 ；,平面应力,（4）约束作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变。,（3）面力作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变；,（2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变；,条件是：,第一种：平面应力问题,平面应力,（1）等厚度的薄板；,坐标系如图选择。,平面应力,简化为平面应力问题：,故只有平面应力 存在。,由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：,平面应力,（1）两板面上无面力和约束作用，故,所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 存在； b.且仅为 。,平面应力,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向 不变，故应力 仅为 。,思考：平面应力状态条件下各应变状态？,如：弧形闸门闸墩,计算简图：,平面应力,深梁,计算简图：,F,因表面无任何面力，,平面应力,A,B,例题1：试分析不受任何面力的薄层中的应力状态。,故接近平面应力问题。,故表面上，有：,在近表面很薄一层内：,（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,平面应变,第二种：平面应变问题,条件是：,（1）很长的常截面柱体；,（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。,坐标系选择如图：,平面应变,对称面,故任何z 面（截面）均为对称面。,平面应变,（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；,简化为平面应变问题：,（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不变，故应力、应变和位移均为 。,平面应变,所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量 存在； b.且仅为 。,平面应变,思考：平面应变状态条件下各应力状态？,例如：,平面应变,隧道,挡土墙,o,y,x,y,o,x,且仅为 。,故只有 ，,本题中：,平面应变,ox,y,z,例题2：试分析薄板中的应变状态。,故为平面应变问题。,22 平衡微分方程,定义,平衡微分方程-表示物体内任一点的微分体的平衡条件。,在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：,体力： 。,定义,应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。,应用的基本假定：,连续性假定应力用连续函数来表示。,小变形假定用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。,列出平衡条件：,合力 = 应力面积，体力体积；以正向物理量来表示。 平面问题中可列出3个平衡条件。,平衡条件,其中一阶微量抵消，并除以 得：,，同理可得：,平衡条件,当 时，得切应力互等定理,得,平衡条件,平衡微分方程,切应力互等定理, 适用的条件-连续性，小变形；,说明,对平衡微分方程的说明：, 代表A中所有点的平衡条件，因位（ ，）A；, 应力不能直接求出；, 对两类平面问题的方程相同。,理论力学考虑整体 的平衡（只决定整 体的运动状态）。,说明,比较:,材料力学考虑有限体 的平衡（近似）。,弹性力学考虑微分体 的平衡（精确）。,当 均平衡时，保证 ， 平衡； 反之则不然。,说明,所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。,理力（ V ）,材力（ ）,弹力（ ）,h,V,dx,dy,dx,思考题,1.试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2.将条件 ,改为对某一角点的 ，将得出什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？,已知坐标面上应力 ，求斜面上的应力。,问题的提出：,23 平面问题中一点的应力状态,问题,求解：取出一个三角形微分体（包含 面， 面， 面），边长,问题,斜面应力表示：,由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得,(1)求（ , ）,(a),斜面应力,其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。,(2)求（ ）,将 向法向，切向投影，得,斜面应力,设某一斜面为主面，则只有 由此建立方程，求出:,(3)求主应力,斜面应力,(c),将x，y放在 方向，列出任一斜面上 应力公式，可以得出（设 ）,(4)求最大，最小应力,最大，最小应力,说明：以上均应用弹力符号规定导出。,(d),几何方程表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。,24 几何方程 刚体位移,定义,变形前位置： 变形后位置： 各点的位置如图。,通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段,定义,应用基本假定：连续性；小变形。,当 很小时，,假定,假定,由位移求形变：,PA 线应变,PA 转角,PB 线应变,PB 转角,同理，, 适用于区域内任何点，因为（x,y） A；,对几何方程的说明：,所以平面问题的几何方程为：,说明, 适用条件：a.连续性；b.小变形。, 应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；, 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。, 形变和位移之间的关系：位移确定 形变完全确定：,从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定 。,说明,从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。,从物理概念看， ， 确定，物体还可作刚体位移。,从数学推导看， ， 确定，求位移是积分运算，出现待定函数。,形变确定，位移不完全确定：,形变与位移的关系,由 ,两边对y积分，,由 ,两边对x积分，,例：若 ,求位移：,形变与位移的关系,代入第三式,分开变量，,因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 。可得,形变与位移的关系,物理意义：,形变与位移的关系,表示物体绕原点的刚体转动。,表示x，y向的刚体平移，,结论,形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移 则未定。须通过边界上的约束条件来确定 。,思考题,当应变为常量时， 试求出对应的位移分量。,物理方程表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。,定义,即为广义胡克定律：,25 物理方程,物理方程的说明：,说明, 正应力只与线应变有关；切应力只与切应变有关。, 是线性的代数方程；, 是总结实验规律得出的；, 适用条件理想弹性体；,物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于按应力求解；应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解。,说明,平面应力问题的物理方程：,代入 ，得：,在z方向,平面应力,代入 得,平面应变问题的物理方程,平面应变,在z方向，,平面应力物理方程平面应变物理方程：,变换关系：,平面应变物理方程平面应力物理方程：,思考题,1.试证：由主应力可以求出主应变， 且两者方向一致。2.试证：3个主应力均为压应力，有 时可以产生拉裂现象。3.试证：在自重作用下，圆环（平面 应力问题）比圆筒（平面应变问题）的 变形大。,位移边界条件 设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有,（在 上)。（a）,定义,边界条件 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。,位移边界条件,26 边界条件, 若为简单的固定边， 则有,位移边界条件的说明：,（在 上）。（b）, 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。, 它是函数方程，要求在 上每一点 ，位移与对应的约束位移相等。,在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，,应力边界条件设在 上给定了面力分量,（在A中）。（c）,应力边界条件,将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:, 它是边界上微分体的静力平衡条件；,说明,应力边界条件的说明：, 式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界 s上成立；, 它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；, 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边） 也必须满足。, 式（d）中， 按应力符号规定， ， 按面力符号规定；, 位移,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示 ， 向的条件；,说明,若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为,当边界面为坐标面时，,坐标面,若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为,应力边界条件的两种表达式：,两种表达式, 在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相等，方向一致）。即在同一边界面上,应力数值应等于面力数值(给定),应力方向应同面力方向(给定)。, 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f ）；,在斜面上，在坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f ）有区别。,例如：,两种表达式,例1 列出边界条件：,例2 列出边界条件：,显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。, 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；,混合边界条件,混合边界条件：, 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。,例3 列出 的边界条件：,思考题,M,n,1.若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力 作用，试列出应力边界条件，(思考题图中（a）)。 2.证明在无面力作用的0A边上， 不等 于零（思考题图中(b)）。 3.证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（思考题图中 (c)）。,4.试导出在无面力作用时，AB边界上的之间的关系。（思考题图中（d）。 5.试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同。,弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。,27 圣维南原理及其应用,圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同）， 那么，近处的应力分量将有显著的改变， 但远处所受的影响可以不计。,圣维南原理,圣维南原理：,圣维南原理,1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；,圣维南原理的说明：,4.远处 指“近处”之外。,3.近处 指面力变换范围的一，二倍的局部区域；,2.静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；,圣维南原理,圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。,圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,例1 比较下列问题的应力解答：,b,例2 比较下列问题的应力解答：,推广,圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。,应用,圣维南原理在小边界上的应用：, 精确的应力边界条件,如图，考虑 小边界，,上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。,(a),在边界 上，,在小边界x=l上，用下列条件代替式(a) 的条件：在同一边界 x=l 上，应力的主矢量 =面力的主矢量（给定);应力的主矩(M) = 面力的主矩（给定）.,数值相等, 方向一致.,(b),圣维南原理的应用积分的应力边界条件,右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；,左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。,具体列出3个积分的条件：,即： 应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值；应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。,式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力） （正的矩臂）的方向。,讨论：,1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；2.在负 x 面， ，由于应力，面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。,精确的应力边界条件 积分的应力边界条件方程个数 2 3 方程性质 函数方程（难满足） 代数方程（易满足） 精确性 精确 近似 适用边界 大，小边界 小边界,比较：,思考题,1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用圣维南原理？ 2、试列出负 面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。, 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相 同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题。,1.平面问题的基本方程及边界条件,平面问题,28 按位移求解平面问题, 平面应力问题,平面域A内的基本方程: 平衡微分方程,（在A内）,几何方程,物理方程,（在A内）,（在A内）,应力边界条件 位移边界条件,（在 上）,（在 上）,S上边界条件:,8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。,按位移求解（位移法）取 ， 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条件，从而求出 ， ；再求形变和应力。,2.解法消元法,解法,按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。,这是弹力问题的两种基本解法。,3. 按位移求解, 将其他未知函数用 ，表示：形变用 ，表示几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用 ，表示:, 取 ， 为基本未知函数；,按位移求解, 在A中导出求 ，的基本方程将式(a)代入平衡微分方程，,上式是用 ，表示的平衡微分方程。,位移边界条件,（在 上）(d),（在 上）(c),应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，, 在S上的边界条件,按位移求解时， ， 必须满足A内的方程 (b)和边界条件(c)，(d)。,归纳：,式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的条件;也是校核 ， 是否正确的全部条件。,按位移求解（位移法）的优缺点：,求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。,适用性广可适用于任何边界条件。,例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。,(a) (b),解：为了简化，设 位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然满足，第二式成为,(a) (b),均属于位移边界条件，代入 ，,得,得,解出,在 处，,代入 ，并求出形变和应力，,思考题 试用位移法求解图(b)的位移和应力。,（1）取 为基本未知函数；,基本方程,29 按应力求解平面问题相容方程,1.按应力求解平面应力问题,（2）其他未知函数用应力来表示:,位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即 。,形变用应力表示（物理方程）。,按应力求解, 在A内求解应力的方程,(b),从几何方程中消去位移 ， ，得相容方程（形变协调条件）：,补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出 :,平衡微分方程 （2个）。 (a),代入物理方程，消去形变，并应用平衡 微分方程进行简化，便得用应力表示的相容 方程 ：,其中,(4) 应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。,（1）A内的平衡微分方程； （2）A内的相容方程； （3）边界 上的应力边界条件； （4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。,归纳：,（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。,按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足下列条件：,2.形变协调条件（相容方程）的物理意义,形变协调对应的位移存在位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。, 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。, 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。,点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。,例1 三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D,1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。 2.若 是否可能 成为弹性体中的形变？ 3.若 是否可能为弹性体中的应力？,思考题, 相容方程 (A) (a),1.常体力情况下按应力求解的条件,(A) (b), 平衡微分方程,按应力函数求解,210 常体力情况下的简化 应力函数, 应力边界条件,(S) (c), 多连体中的位移单值条件。 (d),在 - 条件下求解 的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数， 故 与弹性常数无关。,2.在常体力,单连体,全部为应力边界条件（ ）下的应力 特征：,结论：,不同材料的应力( )的理论解相 同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替。,两类平面问题的应力解 相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的 模型。,3.常体力下按应力求解的简化,对应的齐次微分方程的通解，艾里已求出为,非齐次微分方程(b)的任一特解，如取,（1）常体力下平衡微分方程的通解是：非齐次特解+齐次通解。,所以满足平衡微分方程的通解为:,(g),为艾里应力函数。,如果，则A，B均可用一个函数表示，即,说明：,a.导出艾里（Airy）应力函数 ，是应用偏导数的相容性，即,d. 由 再去求应力（式（g）,必然满足平 衡微分方程，故不必再进行校核。,c. 仍然是未知的。但已将按应力 求解转变为按应力函数 求解，从3个未知函数减少至1个未知函数 。,b.导出应力函数 的过程，也就证明了 的 存在性，故可以用各种方法去求解 。,（2）应力应满足相容方程（a），将式（g）代入（a），得,（3）若全部为应力边界条件（ ），则应力边界条件也可用 表示。,归纳：,（1）A内相容方程（h）； （2） 上的应力边界条件； （3）多连体中的位移单值条件连体。,求出 后，可由式（g）求得应力。,在常体力下求解平面问题 ，可转 变为按应力函数 求解， 应满足:,1，在常体力，单连体和全部为应力边界条件条件下，对于不同材料和两类平面问题的 ， 和 均相同。试问其余的应力分量，应变和位移是否相同？,思考题,2，对于按位移(u, v)求解，按应力（ ， ， ）求解和按应力函数 求解的方法，试比较其未知函数，应满足的方程和条件，求解的难易程度及局限性。,第二章例题,1,例题2,例题3,例题4,例题7,例题5,例题6,例题,例1 试列出图中的边界条件。,M,F,y,x,l,h/2,h/2,q,(a),解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：,在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，,在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。,(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件：,F,O,x,y,q,h,(b),b/2,b/2,在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时，,注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。对于y = h的小边界可以不必校核。,例2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答。,h/2,h/2,A,x,y,l,F,O,解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:,(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程(书中式218）;,（2）应力边界条件（书中式219），在所有受面力的边界 上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。 （3）位移边界条件（书中式214）。本题在x = l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。,因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（ x = l及y = 0），,可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。,例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在,解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即（a）相容；（b）须满足B = 0, 2A=C ；（c）不相容。只有C = 0,例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：,解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当 ）。,（a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。 （b）为了满足相容方程，其系数必须满足A + B = 0。为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A = B =-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。,例5 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程试证明函数 都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数使用。,解：上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），,(a),例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，,x,y,l,o,q,ql,h/2,h/2,解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程 ; （3）应力边界条件（在 上）。将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。,再校核边界条件，在主要边界上，,再将式（b）表达式代入次要边界条件，,其主矢量为,而主矩为,其主矢量为,其主矢量为0，,而主矩为,由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。,
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