2015年北京市春季高中会考数学试卷

2015年北京市春季高中会考数 学第一部分 选择题（每小题分，共分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1已知集合，那么等于（ ）ABCD2平面向量，满足如果，那么等于（ ）ABCD3已知函数，那么的定义域是（ ）ABCD4一个几何体的三视图如图所示，该集合体的体积是（ ）ABCD5如果，那么的最小值为（ ）ABCD6已知过两点，的直线斜率为，那么的值是（ ）ABCD7等于（ ）ABCD8已知定义在上的函数的图像是一条连续不断地曲线，且有部分对应值如表所示，那么函数一定存在零点的区间是（ ）ABCD9函数，中，在区间上单调递减的是（ ）ABCD10已知直线与直线垂直，那么的值是（ ）ABCD11在同一坐标系中，函数的图与的图象（ ）A关于轴对称B关于轴对称C关于原点对称D关于直线对称12在等比数列中，那么的前项和是（ ）ABCD13已知实数，满足条件，那么目标函数的最小值是（ ）ABCD14某程序框图如图所示，执行该程序后输出的的值是（ ）ABCD15函数的最小正周期是（ ）ABCD16已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么的值域是（ ）ABCD17边长为的正三角形的顶点和各边的中点共个点，从中任选两点，所选出的两点之间距离大于的概率是（ ）ABCD18设，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么其中正确命题的序号是（ ）ABCD19在中，如果，那么角等于（ ）ABCD20已知函数与的图像没有交点，那么实数的取值范围是（ ）ABCD第二部分 非选择题（共分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21计算_22一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的手机话费情况进行统计分析，绘制成频率分布直方图（如图所示）如果该校有大学生人，请估计该校每月手机话费在的学生人数是_23在长度为的线段上任取一点，那么线段的长度小于的概率_24年月日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：公里（含）内元；公里至公里（含）元；公里至公里（含）元；公里至公里（含）元；公里以上部分每增加元可乘坐公里使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满元以后的乘次，价格给予折优惠；满元以后的乘次，价格给予折优惠；支出累计达到元以后的乘次，不再享受打折优惠小李上班时，需要乘坐地铁公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班天计算如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是_元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是_元二、解答题（共4个小题，共28分）25（本小题满分7分）如图，在三棱锥中，分别是，的中点，且平面（）求证：平面；（）求证：平面26（本小题满分7分）在中，内角，所对的边分别为，且，（）求角的大小；（）如果函数，求函数的单调递增区间27（本小题满分7分）已知点，圆，点在圆上运动（）若果是等腰三角形，求点的坐标；（）若果直线与圆的另一个交点为，且，求直线的方程28（本小题满分7分）已知数列满足，（，为常数，）（）如果为等差数列，求，的值；（）如果为单调递增数列，求的取值范围2015年北京市春季高中会考数学参考答案一、选择题1A2D3B4A5D6D7B8C9A10C11B12C13B14C15B16D17C18D19A20C二、填空题21222324，选填解析1【答案】A【解析】由并集的定义知，故选A2【答案】D【解析】，故选D3【答案】B【解析】由得，解得，故选B4【答案】A【解析】观察三视图可以判断该几何体为长方体，其长宽高分别为，所以体积，故选A5【答案】D【解析】由均值定理，故选D6【答案】D【解析】由斜率公式有，解得，故选D7【答案】B【解析】，故选B8【答案】C【解析】由零点的存在性定理知函数在区间必存在零点，故选C9【答案】A【解析】B、C、D在区间上单调递增，故选A10【答案】C【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，由题意有，解得，故选C11【答案】B【解析】画出图像，这两个函数图像关于轴对称，故选B12【答案】C【解析】设公比为，由题意有，解得，所以的前项和，故选C13【答案】B【解析】由约束条件可画出可行域如图所示，目标函数可转化为斜率为的直线经过可行域，而的几何意义为该直线在轴上的截距的两倍，由图知，当直线经过点时，取得最小值故选B14【答案】C【解析】第一次进入判断框时，第二次：，第三次：，第四次：，故选C15【答案】B【解析】，故选B16【答案】D【解析】函数是定义在上的奇函数，所以在的图像如下图，故选D17【答案】C【解析】基本事件空间包含个基本事件，所求事件包含个基本事件，所以所求事件的概率，故选C18【答案】D【解析】对于，也可以相交或是异面；对于，也可以异面；对于，只有当垂直于两个平面的交线时，才满足故选D19【答案】A【解析】由余弦定理，所以，故选A20【答案】C【解析】当时，与的图像如图，两函数的图像恒有交点；当时，与的图像如图，要使两个图像无交点，斜率满足，所以，故；当时，与的图像如图，两函数的图像恒有交点综上，故选C21【答案】【解析】22【答案】【解析】该校每月手机话费在的频率为，所以该校每月手机话费在的学生人数约为人23【答案】【解析】由几何概型的概念知那么线段的长度小于的概率为24【答案】，【解析】小李第次乘坐地铁时刷卡支出的费用恰好为，第次刷卡花费折优惠，故他刷卡支出的费用为元小李第次到第次每次刷卡支出的费用为元；第次到次每次刷卡支出的费用为元；第次到次每次刷卡支出的费用为元所以他每月上下班乘坐地铁的总费用为元三、解答题25（）证明：因为，分别是，的中点，所以，又因为平面，平面所以平面（）证明：因为平面，平面，所以，又因为，所以，又因为，所以平面26（）在中，由，得，由正弦定理得，所以，因为，所以（）因为令，整理得，所以的单调递增区间是，27（）因为圆的方程为，所以，半径为，设点，所以又，所以，因为是等腰三角形，所以或当时，有，解得或，所以的坐标为或当时，有解得，此时，三点共线，不合题意综上，的坐标为或（）若直线为轴，则，的坐标分别为，或，而，不合题意由此可设直线的方程为设，由，得，其中，且，因为的坐标为，所以，又因为，所以将，代入上式，整理得所以解得，即，经检验符合题意，所以直线的方程为或28（）因为为等差数列，设其公差为，因为对成立，所以，两式相减得到对成立，即对成立所以，所以又，所以，所以，（）因为对成立，当为奇数，且时，把这个式子的左右两边分别相加，得到，化简得到，即，且当时，满足上式同理当为偶数，且时，把这个式子的左右两边分别相加，得到，化简得到，即，且当时，满足上式，所以因为为单调递增数列，所以有当为奇数时，因为，即，所以，所以，当为偶数时，因为，即，所以，即，所以综上，的取值范围是 15 / 15