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规范答题强化练（三）数列(45分钟48分)1.(12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式.(2)若T3=21,求S3.【解析】(1)设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(2分)由a3+b3=5得2d+q2=6,联立和解得(舍去),(4分)因此数列bn的通项公式bn=2n-1.(6分)(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.(8分)当q=-5时,由得d=8,则S3=21.(10分)当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.(12分)2.(12分)数列是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,a1,a2,a5成等比数列.(1)证明S1,S3,S9成等比数列.(2)设a1=1,求a2+a4+a8+的值.【解析】(1)由题意有=a1a5,(2分)即=a1,解得d=2a1,(4分)又S1=a1,S3=3a1+3d=9a1,S9=9a1+36d=81a1,即=S1S9,又因为S1,S3,S9均不为零,所以S1,S3,S9成等比数列.(6分)(2)a1=1,由(1)可知d=2,所以an=2n-1,所以=22n-1,(8分)原式=a2+=(22-1)+(222-1)+(223-1)+(22n-1)=2(2+22+23+2n)-n=2n+2-n-4.(12分)3.(12分)已知Sn为公差不为零的等差数列an的前n项和,S5=15,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列的公差为d,由题意,得(2分),解得或(4分)因为d0,所以所以an的通项公式为an=n.(6分)(2)由条件,得bn=(8分)当n6时,Tn=b1+b2+bn=1+2+n=.当n6时,Tn=T6+(b7+b8+bn)=+=21+=21+-=-.(10分)综上,Tn=(12分)4.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,S1=1,S2=4,且当n3时,Sn-1+是Sn与Sn-2的等差中项.数列bn为等比数列,且b2=,b3=.(1)求数列an、bn的通项公式.(2)求数列anbn的前n项和Tn.【解析】(1)因为当n3时,Sn-1+是Sn与Sn-2的等差中项,所以2=Sn+Sn-2,(2分)即Sn+Sn-2=2Sn-1+3,也就是(Sn-Sn-1)-(Sn-1-Sn-2)=3,即an-an-1=3(n3).而a1=S1=1,a2=S2-S1=3,显然a2-a1=23,所以数列an从第2项起构成等差数列,公差d=3.故当n2时,an=a2+(n-2)d=3+(n-2)3=3n-3.故an=(4分)等比数列bn中,b2=,b3=.故其公比q=.所以其通项bn=b2qn-2=.(6分)(2)令cn=anbn,由(1)知,cn=anbn=(8分)当n=1时,T1=c1=.当n2时,Tn=c1+c2+c3+cn-1+cn=+,Tn=+,-,得Tn=+-=+-(10分)=1+-=-,所以Tn=-.显然,当n=1时,也成立.故Tn=-.(12分)
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