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课时分层作业 三十 等差数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.若数列an的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列【解析】选A.由题意可得,an=2n+5=7+2(n-1),即此数列是公差为2的等差数列.2.设数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于()A.31B.32C.33D.34【解析】选B.由已知可得解得所以S8=8a1+d=32.【变式备选】若等差数列an的前n项和为Sn且S4=S18,则S22等于()A.0B.12C.-1D.-12【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得4a1+d=18a1+d,a1=-d,所以S22=22a1+d=22+22d=0.3.(2018锦州模拟)已知an为等差数列,若a1+a5+a9=4,则cos a5的值为()A.-B.-C.D.【解析】选A.因为an为等差数列,a1+a5+a9=4,所以3a5=4,解得a5=.所以cos a5=cos =-.4.(2018武汉模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为()A.8B.9C.10D.11【解析】选B.该数列为等差数列,且S7=28,a2+a5+a8=15,即7a1+21d=28,3a1+12d=15,解得a1=1,d=1,a9=a1+8d=9.5.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】选C.由题意可知,解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+991=98.【一题多解】选C.由等差数列性质可知:S9=9a5=27,故a5=3,而a10=8,因此公差d=1,所以a100=a10+90d=98.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+的值为_.【解析】因为an,bn为等差数列,所以+=+=,因为=.所以=.答案:7.(2018银川模拟)在等差数列an中,已知a3=7,a6=16,依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵,则此数阵中,第10行从左到右的第5个数是_.【解析】由题知公差d=3,所以an=7+(n-3)d=3n-2,第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1+2+9+5=50项,即为a50=350-2=148.答案:1488.(2018郑州模拟)在等差数列an中,a1=-2 018,其前n项的和为Sn,若-=2,则S2 018=_.【解析】因为=a1+(n-1)d,所以数列也成等差数列,由-=2得公差为1,因此=+(2 018-1)1=-1,则S2 018=-2 018.答案:-2 018三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值.(2)已知数列bn满足bn=,证明数列bn是等差数列,并求其前n项和Tn.【解析】(1)设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+d=2k+2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn=n(n+1),则bn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=.10.(2018太原模拟) 设等差数列an的前n项和为Sn,若a10,S2 015=0. (1)求Sn的最小值及此时n的值.(2)求n的取值集合,使其满足anSn.【解析】(1)设公差为d,则由S2 015=02 015a1+d=0a1+1 007d=0,d=-a1,a1+an=a1,所以Sn=(a1+an)=a1=(2 015n-n2).因为a10,nN*,所以当n=1 007或1 008时,Sn取最小值504a1.(2)an=a1,Snan(2 015n-n2)a1.因为a10,所以n2-2 017n+2 0160,即(n-1)(n-2 016)0,解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016,nN*.1.(5分)(2018银川模拟)已知等差数列an中,a2,a2 016是方程x2-2x-2=0的两根,则S2 017=()A.-2 017B.-1 008C.1 008D.2 017【解析】选D.由题意得:a2+a2 016=2,S2 017=2 017.2.(5分)九章算术之后,人们学会了用等差数列知识来解决问题,张丘建算经卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织_尺布.()A. B.C. D.【解析】选D.设从第2天起每天比前一天多织d尺布,则由题意知305+d=390,解得d=.3.(5分)(2018长沙模拟)已知函数f(x)=cos x(x(0,2)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4(x30和m0,再利用等差数列的性质进行求解.【解析】函数f(x)=cos x(x(0,2)有两个不同的零点x1,x2(x10,则由余弦函数的图象知x3,x4构成等差数列,可得公差d=-=,则x3=-=-0,显然不可能;若m0,则由余弦函数的图象知,x3,x4,构成等差数列,可得3d=-,解得d=,所以x3=+=,m=cos x3=cos=-.答案:-【变式备选】已知等差数列an中,an0,若n2且an-1+an+1-=0,S2n-1=38,则n等于_.【解析】因为2an=an-1+an+1,又an-1+an+1-=0,所以2an-=0,即an(2-an)=0.因为an0,所以an=2.所以S2n-1=2(2n-1)=38,解得n=10.答案:104.(12分)已知数列an满足a1=6,an+1=4-(n为正整数). (1)求证:数列为等差数列.(2)若bn=,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)因为-=-=-=-=2,所以数列为等差数列.(2)a1=6,=2,则=2+2(n-1)=2n,则an=,bn=-,则Sn=b1+b2+bn=+=.5.(13分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且5a3a1=(2a2+2)2.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解析】(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4,所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn,因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11,则当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n,当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=
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