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解答题满分练11.如图，已知直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)在线段EA上是否存在点F，使得EC平面FBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(1)证明取AB的中点O，连结OE，OD.因为EBEA，所以OEAB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.又ODOEO，OE，OD平面EOD，所以AB平面EOD，又DE平面EOD，所以ABDE.(2)解连结CA交BD于点M，由ABCD可得.假设线段EA上存在点F，使得EC平面FBD，又平面ACE平面FBDFM，故ECFM，从而，故，所以当时，EC平面FBD.2.(2018江苏省常州市三校联考)已知a，b( 0)，函数f(x)ab，函数f(x)的最小正周期为2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)设，且f，求cos的值.解(1)f(x)absin x2sin，为函数f(x)的最小正周期为2，2，解得1. f(x)2sin .(2) 由f()，得sin.，cos，coscoscoscossinsin.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧度). (1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解(1)扇环的圆心角为，则30(10x)2(10x)，(0x10).(2)由(1)可得花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50(0xb0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点.当直线PB1的方程为yx3时，线段PB1的长为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q满足：QB1PB1, QB2PB2.求证：PB1B2与QB1B2的面积之比为定值.(1)解设P.在yx3中，令x0，得y3，从而b3.由得1.x0.PB1，4，解得a218.椭圆的标准方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，Q(x1，y1).方法一直线PB1的斜率为，由QB1PB1，则直线QB1的斜率为.于是直线QB1的方程为yx3.同理，QB2的方程为yx3.联立两直线方程，消去y，得x1.P在椭圆1上，1，从而y9.x1.2.方法二设直线PB1,PB2的斜率为k, k，则直线PB1的方程为ykx3.由QB1PB1，直线QB1的方程为yx3.将ykx3代入1，得x212kx0，P是椭圆上异于点B1,B2的点，x00，从而x0.P在椭圆1上，1，从而y9.kk，得k.由QB2PB2，得直线QB2的方程为y2kx3.联立得x，即x1.2.5.设函数f(x)xasinx(a0).(1)若函数yf(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；(2)设a，g(x)f(x)blnx1，g(x)是g(x)的导函数.若对任意的x0，g(x)0，求证：存在x0，使g(x0)0；若g(x1)g(x2) (x1x2)，求证：x1x20，cosx对xR恒成立，(cosx)max1，1，从而0a1.(2)证明gxsin xblnx1，则g(x)1cosx.若b0，使g1cos0.取x0，则0x01.此时gx0sin x0blnx011bln10，使g0.依题意，不妨设0x11.由(1)知函数yxsin x单调递增，则x2sin x2x1sin x1，从而x2x1sin x2sin x1.g(x1)g(x2)，x1sin x1blnx11x2sin x2blnx21，b(lnx2lnx1)x2x1(sin x2sin x1).2b0.下面证明，即证明，只要证明lnt0. (*)设hlnt，则h0在上恒成立.h(t)在上单调递减，故h(t)，即x1x24b2.6.已知数列an和bn满足a1a2a3an()(nN*).若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cn(nN*)，记数列cn的前n项和为Sn.(i)求Sn；(ii)求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn.解(1)a1a2a3an()(nN*)，当n2，nN*时，a1a2a3an1()，由知an()，令n3，则有a3().b36b2，a38.an为等比数列，且a12，设an 的公比为q，则q24，由题意知an0，q0，q2.an2n(nN*).又由a1a2a3an()(nN*)，得2122232n()，即()，bnn(n1)(nN*).(2)(i)cn，Snc1c2c3cn11.(ii)c10，c20，c30，c40，当n5时，cn，而0，得1，当n5时，cn0.综上，对任意的nN*恒有S4Sn，故k4.
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