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第1讲三角函数的图象与性质考情考向分析1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1(1)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2，1)，则tan_.答案7解析由角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2,1)，可得x2，y1，tan ，tan 2，tan7.(2)已知曲线f(x)x32x2x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则cos22cos23sin(2)cos()的值为_答案解析由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sincos(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos .思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系进行化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练1(1)在平面直角坐标系中，若角的终边经过点P，则sin()_.答案解析由诱导公式可得，sinsinsin，coscoscos，即P，由三角函数的定义可得，sin ，则sinsin .(2)已知sin(3)2sin，则_.答案解析sin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos ，则.热点二三角函数的图象及应用例2(1)(2018江苏扬州中学模拟)函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位长度后，与函数ysin的图象重合，则_.答案解析ycos(2x)的图象向右平移个单位长度后，得到ycossinsinsin，2k，kZ，又，.(2)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为1,2，则_.答案解析由函数f(x)的图象可知，A2，解得T，所以2，即f(x)2sin(2x)，当x时，f2sin0，又|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向跟踪演练2(1)将函数y3sin的图象向左平移个单位长度后，所在图象对应的函数解析式为_答案y3sin解析把函数y3sin的图象向左平移个单位长度，所得图象的解析式是y3sin3sin.(2)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则_；函数f(x)在区间上的零点为_答案2解析从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，从而求得函数的最小正周期为T2，根据T可求得2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)2sin，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，结合所给的区间，整理得出x.热点三三角函数的性质例3已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期是.(1)求函数f(x)在区间(0，)上的单调递增区间；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解(1)f(x)4cos xsin4cos x2sin xcos x2cos2x11sin 2xcos 2x12sin1，因为最小正周期是，所以1，从而f(x)2sin1.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数f(x)在(0，)上的单调递增区间为和.(2)当x时，2x，2sin，所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，1.思维升华函数yAsin(x)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题跟踪演练3(1)(2018江苏泰州中学调研)若函数f(x)sin(x)的图象关于坐标原点对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x，则f_.答案解析由题意得f(x)为奇函数，0，又f1，(0)，3，fsin.(2)已知x，则函数f(x)cos 2xsin xsincos2x的最小值为_答案解析因为f(x)cos 2xsin xsincos2x，所以f(x)2sin2xsin xcos2xsin2x21.设tsin x，则y21.因为x，所以t1.又函数y21在上单调递增，所以当t时，y21取得最小值，且ymin21，即函数f(x)的最小值为.1(2018全国)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当cos x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增，当cos x时，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当sin x时，f(x)有最小值，即f(x)min2.2(2016江苏)定义在区间0,3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_答案7解析在区间0,3上分别作出ysin 2x和ycos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点3(2018江苏)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值为_答案解析由题意得fsin1，k，kZ，k，kZ.，取k0，得.4(2018全国)函数f(x)cos在0，上的零点个数为_答案3解析由题意可知，当3xk(kZ)时，f(x)cos0.x0，3x，当3x的取值为，时，f(x)0，即函数f(x)cos在0，上的零点个数为3.5(2018江苏溧阳中学联考)已知函数f(x)Acos(x)的部分图象如图所示，f，则f(0)_.答案解析由题图知，T，3.又fA，cos1，2k，kZ，可取，fAcos，A，f(0)cos.6如图，函数f(x)Asin(x) 与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为_答案解析由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0)则M，由两点间距离公式，得PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得826，即T12，故，由P(2,0)及|，得，代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，从而f(0)Asin8，得A.7(2018江苏海安高级中学模拟)若函数f(x)2sin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，横坐标分别为1,7.记点P(2，f(2)，点Q(5，f(5)，则的值为_答案4解析由题图知T12，又f(1)2，sin1，2k，kZ.又|，f(x)2sin，f(2)，f(5)1，P(2，)，Q(5，1)，(1，2)(2,1)4.A组专题通关1点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为_答案解析设点Q的坐标为(x，y)，则xcos，ysin .点Q的坐标为.2已知tan 2，且，则sin cos _.答案解析因为tan 2，且0)的最小正周期为，则f的值是_答案解析T，2，fsinsin .4(2018南通市通州区模拟)将函数f(x)2sin的图象向左平移(0)个单位长度，若所得到图象关于原点对称，则的最小值为_答案解析因为函数f(x)2sin的图象向左平移(0)个单位长度得g(x)2sin，所以2k(kZ)，所以(kZ)，因为0，所以min.5.已知函数f(x)sin x2cos21(0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则的值为_答案解析f(x)sin x2cos21sin xcos x2sin，则g(x)2sin2sin.由题图知T2，2，g(x)2sin，则g2sin2sin2，即22k，kZ，k，kZ.又0，的值为.6已知函数f(x)2sin(x)，f(x1)2，f(x2)0，若|x1x2|的最小值为，且f1，则f(x)的单调递增区间为_答案，kZ解析由f(x1)2，f(x2)0，且|x1x2|的最小值为，可知，T2，又f1，则2k，kZ，0，f(x)2sin.令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故f(x)的单调递增区间为，kZ.7(2017全国改编)设函数f(x)cos，则下列结论正确的是_(填序号)f(x)的一个周期为2；yf(x)的图象关于直线x对称；f(x)的一个零点为x；f(x)在上单调递减答案解析因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，正确；因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，正确；f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，正确；因为f(x)cos的单调减区间为(kZ)，单调增区间为(kZ)，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，错误8设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x，当x0时，f(x)0，则f_.答案解析f(x)f(x)sin x，f(x)f(x)sin x，则f(x)f(x)sin(x)f(x)sin x.f(x)f(x)，即f(x2)f(x)函数f(x)的周期为2，ffffsin.当0f或f0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sinb0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_答案解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin，那么当x时，2x，所以sin1，故f(x).14(2018株洲质检)已知函数f(x)2sin(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，若f(x)2对x恒成立，则的取值范围是_答案解析因为函数f(x)2sin(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，所以函数周期为T，2，当x时，2x，且|，由f(x)2知，sin(2x)，所以解得.
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