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课时分层作业 五十一双曲线一、选择题(每小题5分,共35分)1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()A.2B.2C.4D.4【解析】选C.因为双曲线的方程可化为-=1,所以实轴长为2a=4.【变式备选】已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率e=,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.2.已知三个数2,m,8构成一个等比数列,则圆锥曲线+=1的离心率为()A.B.C.或D.或【解析】选C.因为三个数2,m,8构成一个等比数列,所以m2=28=16,即m=4.若m=4,则圆锥曲线方程为+=1,此时为椭圆,其中a2=4,b2=2,c2=4-2=2,所以a=2,c=,离心率e=.若m=-4,则圆锥曲线方程为-=1,此时为双曲线,其中a2=2,b2=4,c2=4+2=6,所以a=,c=,离心率e=.3.(2018温州模拟)已知F1,F2为双曲线Ax2-By2=1的焦点,其顶点是线段F1F2的三等分点,则其渐近线的方程为()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=2x或y=x【解析】选D.因为顶点是线段F1F2的三等分点,所以c=3a,所以c2=9a2.又c2=a2+b2,所以=8,=2,=.所以其渐近线方程为y=2x或y=x.【易错提醒】(1)默认为双曲线焦点在x轴上,其渐近线为y=x,而错选为A.(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C.(3)把双曲线中a,b,c的关系与椭圆中c2=a2-b2混淆致错.【方法技巧】(1)对于方程-=1(a0,b0)来说,求渐近线方程就相当于求的值,但要分焦点的位置是在x轴上还是在y轴上,此题没有给出焦点的位置,其渐近线斜率有四种情况.(2)渐近线为y=x所对应的双曲线为-=(0).当0时,焦点在x轴上,当0)的一条渐近线的倾斜角为30,则该双曲线的离心率为_.【解析】双曲线渐近线方程为y=,所以=tan 30a=c=2e=.答案:4.已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.因为圆心为,所以c=3,因为渐近线与圆相切,所以b=r=2,所以a2=5,所以双曲线的方程为-=1.5.(2017全国卷)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2 +y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.【解析】选A.圆心到渐近线bxay=0的距离为=,所以=c=2ae=2.【变式备选】(2018济南模拟)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当APF周长最小时,该三角形的面积为_.【解析】设双曲线的左焦点为F1,由双曲线方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F1(-3,0).当点P在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2,从而APF的周长为|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|.因为|AF|=15为定值,所以当(|AP|+|PF1|)最小时,APF的周长最小,即当A,P,F1三点共线时,|AP|+|PF1|最小,由题意可知直线AF1的方程为y=2x+6,由得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去),所以SAPF=-=66-62=12.答案:126.已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由题意得a=b,=1c=4,a=b=2-=1.7.(2018重庆模拟)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.由题意如图,当A1Ox=30时,渐近线的斜率,当A1Oy=30时,渐近线的斜率,所以双曲线的离心率的范围为e=【变式备选】已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2B.(1,2)C.2,+)D.(2,+)【解析】选C.因为渐近线l1:y=x与过焦点F的直线l平行,或渐近线l1从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线l与双曲线的右支交于一个点.所以,即c2=a2+b24a2,所以e2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=_.【解析】c=,因为双曲线的离心率为,所以=,解得m=2.答案:29.(2018沈阳模拟)直线l:y=2x+10过双曲线-=1(a0,b0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为_.【解析】由题意得一个焦点为F(-5,0),c=5,=2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线方程为-=1.答案:-=1【变式备选】设椭圆C1:+=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为,双曲线C2:-=1(c0,d0)的渐近线交椭圆C1于P,PF1PF2,则双曲线C2的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.由已知得双曲线的一条渐近线方程为y=x,与椭圆方程联立解得x2=,因为PF1PF2,所以点P满足方程x2+y2=a2-b2,所以x2=,所以=,因为椭圆的离心率为,所以=,代入上式解得=,所以双曲线的离心率为=.10.(2017全国卷)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为_.【解析】如图,=a,=b,因为MAN=60,所以=b,=,所以tan =,又因为tan =,所以=,解得a2=3b2,e=.答案:1.(5分)(2017全国卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则APF的面积为 ()A.B.C.D.【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=3,所以|PF|=3,又A的坐标是(1,3),故APF的面积为3(2-1)=.【一题多解】选D.如图,因为PF与x轴垂直,所以P(2,3),所以APF为直角三角形,所以面积为S=13=.【变式备选】(2017全国卷)已知双曲线C:-=1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.双曲线C:-=1 (a0,b0)的渐近线方程为y=x,椭圆中a2=12,b2=3,所以c2=a2-b2=9,c=3,椭圆即双曲线的焦点为(3,0),据此可得双曲线中的方程组:解得:a2=4,b2=5,则双曲线C 的方程为-=1.2.(5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若PQF2的周长为12,则ab取得最大值时该双曲线的离心率为 ()A.B.C.2D.【解析】选D.不妨设A(-c,y0),y00,则-=1y0=,由中位线长得|PO|=y0,则|PF2|=,PQF2的周长:+=12c2=6a.(ab)2=a2(c2-a2)=6a3-a4,记f(a)=6a3-a4,由c2=6aa20a0;a,f(a)0,b0),则a2+b2=9,又点(,4)在双曲线上,所以-=1,解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的方程为-=1.答案:-=1【一题多解】设双曲线的方程为+=1(2736),由于双曲线过点(,4),故+=1,解得1=32,2=0(舍去).故所求双曲线方程为-=1.答案:-=14.(12分)(2017江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,直线x=与双曲线-y2=1的两条渐近线分别交于点P,Q,双曲线的焦点是F1,F2,求四边形F1PF2Q的面积.【解析】双曲线的焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0),所以焦距为|F1F2|=4,渐近线方程为y=x,由方程组 解得P,同理可得Q,所以|PQ|=,所以四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|PQ| =2.5.(13分)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.(1)求a,b.(2)设过F2的直线l与C的左,右两支分别相交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.【解析】(1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2.所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得,x=.由题设知,2=,解得,a2=1.所以a=1,b=2.(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8. 由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|2,代入并化简得, (k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1-1,x21,x1+x2=,x1x2=.于是 |AF1 | = = =-(3x1 + 1), |BF1 | = = = 3x2 + 1 由|AF1|=|BF1|得,-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-.故=-,解得k2=,从而x1x2=-.由于|AF2 | = = = 1-3x1 , |BF2 | = = = 3x2 -1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.所以|AF2|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
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