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课时分层作业 四十四 平行、垂直的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1【解析】选D.易知AC平面BB1D1D.因为A1C1AC,所以A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,所以A1C1B1O.2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14,又H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形【解析】选B.由AEEB=AFFD=14知EF=BD,所以EF面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG=BD,所以EFHG且EFHG,所以四边形EFGH是梯形.3.设,是两个不同的平面,l,m为两条不同的直线.命题p:若平面,l,m,则lm;命题q:l,ml,m,则,则下列命题为真命题的是()A.p或qB.p且qC. p或qD.p且q【解析】选C.在长方体ABCD -A1B1C1D1中,命题p:平面AC为平面,平面A1C1为平面,直线A1D1和直线AB分别是直线m,l,显然满足,l,m,而m与l异面,故命题p是假命题,p是真命题;命题q:平面AC为平面,平面A1C1为平面,直线A1D1和直线A1B1分别是直线m,l,显然满足l,ml,m,而,故命题q是假命题, q是真命题.4.(2018杭州模拟)空间四边形ABCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与()A.AC,BD之一垂直B.AC,BD不一定垂直C.AC,BD都不垂直D.AC,BD都垂直【解析】选D.连接BM,DM,AN,CN,在ABC和ACD中,AB=CD,AD=BC,AC=CA,故ABCCDA.又M为AC中点,所以BM=DM.因为N为BD的中点,所以MNBD.同理可证MNAC.5.如图所示,三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形,AB平面BCD,AB=BC =BD=2,E是棱CD上的任意一点,F,G分别是AC,BC的中点,则在下面命题中:平面ABE平面BCD;平面EFG平面ABD;四面体FECG体积的最大值是.真命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.正确,因为AB平面BCD,且AB平面ABE,由面面垂直的判定定理可知平面ABE平面BCD;错,若两平面平行,则必有ADEF,而点E是棱CD上任意一点,故该命题为假命题;正确,由已知易得GF平面GCE,且GF=AB=1,而SG CE=GCCEsin 45=CE1,故VF -GCE=SG CEFG.故正确的命题为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知平面,和直线m.给出条件:m;m;m;.(1)当满足条件_时,有m.(2)当满足条件_时,有m.【解析】(1)当m,且时,有m,故填.(2)当m,且时,有m,故填.答案:(1)(2)7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).【解析】连接AC,因为四边形ABCD各边相等,所以BDAC,又PA底面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以BD平面PAC,而PC平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件_时,有MN平面B1BDD1.【解析】如图,连接FH,HN,FN,由题意知HN面B1BDD1,FH面B1BDD1.且HNFH=H,所以面NHF面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时,有MN面B1BDD1.答案:M线段HF三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.证明:A1D平面A1BC.【证明】设E为BC的中点,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E平面ABC,因为AE平面ABC,所以A1EAE.因为AB=AC,所以AEBC.又BCA1E=E,所以AE平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点得DEB1B且DE=B1B,从而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.所以A1DAE.又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.10.(2017全国卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.【解析】(1)因为BAP=90,所以ABPA,因为CDP=90,所以CDPD,因为ABCD,所以ABPD,又PAPD=P,所以AB平面PAD,因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD,垂足为点E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积VP ABCD=ABADPE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PAPD+PAAB+PDDC+BC2sin 60=6+2.1.(5分)设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内,直线b在平面内,且bm,则“”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若,因为=m,b,bm,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b,又a,所以ab;反过来,当am时,因为bm,且a,m共面,一定有ba,但不能保证b,所以不能推出.2.(5分)在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为_.【解析】过点G作EFAC交PA,PC于点E,F,过E,F分别作ENPB,FMPB分别交AB,BC于点N,M,连接MN,所以四边形EFMN是平行四边形,所以=,即EF=MN=2,=,即FM=EN=2,所以截面的周长为24=8.答案:83.(5分)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O,(1)若PA=PB=PC,则点O是ABC的_心.(2)若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的_心.【解析】(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,在RtPOA、RtPOB和RtPOC中,PA=PC=PB,所以OA=OB=OC,即O为ABC的外心.(2)如图2,因为PCPA,PBPC,PAPB=P,所以PC平面PAB,AB平面PAB,所以PCAB.又ABPO,POPC=P,所以AB平面PGC,又CG平面PGC,所以ABCG,即CG为ABC边AB的高.同理可证BD,AH为ABC底边上的高,即O为ABC的垂心.答案:(1)外(2)垂4.(12分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.【解析】(1)因为AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又因为CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD平面ABD.(2)方法一:由AB平面BCD,BD平面BCD,得ABBD,因为AB=BD=1,所以SABD=.因为M是AD的中点,所以SABM=SABD=.由(1)知,CD平面ABD,所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=SABMh=.方法二:由AB平面BCD且AB平面ABD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCD=BD,如图,过点M作MNBD交BD于点N,则MN平面BCD,且MN=AB=,又CDBD,BD=CD=1,所以SBCD=.所以三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=ABSBCD-MNSBCD=.5.(13分)如图,已知三棱柱ABC-ABC的侧棱垂直于底面,AB=AC,BAC=90,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC.(2)设AB=AA,当为何值时,CN平面AMN?试证明你的结论.【解析】(1)取AB的中点E,连接ME,NE,因为M,N分别为AB和BC的中点,所以NEAC,MEAA.因为AC平面AACC,AA平面AACC,所以ME平面AACC,NE平面AACC,又MENE=E,所以平面MNE平面AACC,因为MN平面MNE,所以MN平面AACC.(2)连接BN,设AA=a,则AB=AA=a,由题意知BC=a,NC=BN=,因为三棱柱ABC-ABC的侧棱垂直于底面,所以平面ABC平面BBCC,因为AB=AC,所以AB=AC,又因为点N是BC的中点,所以AN平面BBCC,所以CNAN.要使CN平面AMN,只需CNBN即可,所以CN2+BN2=BC2,即2=22a2,所以=.则=时,CN平面AMN.
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