高中数学 第一章 三角函数 1.7 三角函数的图象和性质学案 苏教版必修4.doc

三角函数的图象和性质一、考点突破知识点课标要求题型说明三角函数的图象和性质1. 会画正弦、余弦、正切函数的图象。2. 掌握正弦、余弦、正切函数的性质。填空解答三角函数图象及性质是高考的高频考点，也是学习后面三角知识的基础。二、重难点提示重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图，以及正切函数的图象与性质。难点：正弦、余弦、正切函数的性质及应用，并会运用性质解决简单问题。一、正弦、余弦函数的图象及性质函数正弦函数ysin x，xR余弦函数ycos x，xR图象定义域RR值域1，11，1最值当x2k（kZ）时，ymax1；当x2k（kZ）时，ymin1当x2k（kZ）时，ymax1；当x2k（kZ）时，ymin1周期22奇偶性奇函数偶函数单调性在2k，2k（kZ）上是增函数；在2k，2k（kZ）上是减函数在2k，2k（kZ）上是增函数；在2k，2k（kZ）上是减函数对称轴对称中心二、正切函数的图象及性质函数ytan x图象定义域x|xk，kZ值域R周期奇偶性奇函数单调性在（k，k）（kZ）上都是增函数【核心突破】正切函数是单调递增函数，但不能说函数在定义域内是单调递增函数。函数其定义域由不等式得到，其周期为。正切函数是中心对称图形，对称中心是；不是轴对称图形，没有对称轴。示例：函数y2cos（2x）的对称中心为 。思路分析：本题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代入的思想求解。答案：ycos x的对称中心为（k，0）（kZ），由2xk，得x（kZ）；故y2cos（2x）的对称中心为（，0）（kZ）。技巧点拨：牢记ycos x的对称中心为（k，0）（kZ），且对称中心是点，不要写成xk（kZ）。例题1 求函数ycos2 x2sin x2的值域。思路分析：对于内外两层的复合型函数常采用换元法将其拆分成基础函数模型。故可令tsin x，化成关于x的二次函数求解。答案：令tsin x（xR），则由1sin x1，知1t1，ycos2 x2sin x2sin2x2sin x1t22t1（t1）2（1t1），1t1，2t10，0（t1）24，即4y0，故函数ycos2x2sin x2的值域为4，0。技巧点拨：1. 求解形如yasin2xbsin xc（或yacos2xbcos xc），xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x（或cos x），将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意tsin x（或cos x）的有界性。2. 求最值时要注意三角函数的定义域，在定义域内求值域，尤其要注意题目中是否给定了区间。例题2 比较tan 1，tan 2，tan 3的大小。思路分析：把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较。答案：tan 2tan（2），tan 3tan（3），又2，20，3，30，显然231，且ytan x在（，）内是增函数，tan（2）tan（3）tan 1，即tan 2tan 3tan 1。技巧点拨：比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较。重视数形结合思想的运用【满分训练】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 。思路分析：该题是图象的交点的个数问题，从“图形”的角度加以解决。即画出函数图象解决。答案：如图，则的取值范围是。技巧点拨：方程的根的个数和图象的交点的个数是一类问题，解决这类问题从两个角度解决。第一从方程的角度解决，即解方程，方程有几个根即有几个解或几个交点。如果方程不会解或方程含参数不好解，这时采用第二种方法，构造函数，从图形的角度解决问题。在构造函数时，往往参变分离，使其一个函数为定函数，另一个函数为简单的“动”函数。