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3.1预习课本P8688，思考并完成以下问题(1)函数零点的定义是什么？ (2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？ (3)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？ 1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点点睛函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根点睛定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1,0)(x2,0)()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)0.()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)log2x的零点是()A1 B2C3D4答案：A3下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案：D4函数f(x)x25x的零点是_答案：0,5求函数的零点 例1(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1) f (x)；(2) f (x)x22x4；(3) f (x)2x3；(4) f (x)1log3x.解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是x3.(2)令x22x40，由于22414120，所以方程x22x40无实数根，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令2x30，解得xlog23.所以函数f(x)2x3的零点是xlog23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是x3.函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点 活学活用1已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A. ，0B2,0C. D0判断函数零点所在的区间解析：选D当x1时，令2x10，得x0.当x1时，令1log2x0，得x，此时无解综上所述，函数零点为0. 例2函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(e，)解析f(1)20，f(2)ln 210，在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)ln 30，f(2)f(3)0，f(x)在(2,3)内有零点答案B判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点 活学活用2若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A2 B0 C1 D3解析：选Af(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)1210，f(2)2110.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.判断函数零点的个数 例3(1)f(x)的零点个数为()A3 B2 C1 D0(2)判断函数f(x)ln xx23的零点的个数(1)解析当x0时，由f(x)x22x30得x13，x21(舍去)；当x0时，由f(x)2ln x0得xe2.函数的零点个数为2.答案B(2)解法一图象法函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点，从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点法二判定定理法由于f(1)ln 112320，f(2)ln 2223ln 210，f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个判断函数存在零点的3种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数(2)图象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法：函数yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点 活学活用3若abc0，且b2ac，则函数f(x)ax2bxc的零点的个数是_解析：ax2bxc0的根的判别式b24ac，b2ac，且abc0，3b20，方程ax2bxc0无实根函数f(x)ax2bxc无零点答案：04函数f(x)的图象和函数g(x)log2x的图象的交点个数是_解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点答案：3层级一学业水平达标1函数f(x)x2x1的零点有()A0个B1个C2个 D无数个解析：选C(1)241(1)50方程x2x10有两个不相等的实根，故函数f(x)x2x1有2个零点2函数f(x)2x23x1的零点是()A，1B. ，1C. ，1 D，1解析：选B方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.3函数yx2bx1有一个零点，则b的值为()A2 B2C2 D3解析：选C因为函数有一个零点，所以b240，所以b2.4函数f(x)2x的零点所在的区间是()A(1，) B.C. D.解析：选B由f(x)2x，得f 220，f (1)2110，f f (1)0.零点所在区间为.5下列说法中正确的个数是()f(x)x1，x2,0的零点为(1,0)；f(x)x1，x2,0的零点为1；yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴的交点；yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴交点的横坐标A1 B2 C3 D4解析：选B根据函数零点的定义，f(x)x1，x2,0的零点为1，也就是函数yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴交点的横坐标因此，只有说法正确，故选B.6函数f(x)(x1)(x23x10)的零点有_个解析：f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.答案：37若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_解析：f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1b0.答案：(1,0) 8函数f(x)ln x3x2的零点个数是_解析：由f(x)ln x3x20，得ln x23x，设g(x)ln x，h(x)23x，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)ln x3x2有一个零点答案：19判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x4x2；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)解：(1)令x22x10，解得x1x21，所以函数f(x)x22x1的零点为1.(2)因为f(x)x2(x1)(x1)0，所以x0或x1或x1，故函数f(x)x4x2的零点为0，1和1.(3)令4x50，则4x50，方程4x50无实数解所以函数f(x)4x5不存在零点(4)令log3(x1)0，解得x0，所以函数f(x)log3(x1)的零点为0.10已知函数f(x)2xx2，问方程f(x)0在区间1,0内是否有解，为什么？解：因为f(1)21(1)20，f(0)200210，而函数f(x)2xx2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间1,0内有零点，即方程f(x)0在区间1,0内有解层级二应试能力达标1函数f(x)x34x的零点为()A(0,0)，(2,0)B(2,0)，(0,0)，(2,0)C2,0,2 D0,2解析：选C令f(x)0，得x(x2)(x2)0，解得x0或x2，故选C.2函数yx2a存在零点，则a的取值范围是()Aa0 Ba0Ca0 Da0解析：选B函数yx2a存在零点，则x2a有解，所以a0.3已知f(x)xx3，xa，b，且f(a)f(b)0，则f(x)0在a，b内()A至少有一个实根 B至多有一个实根C没有实根 D有唯一实根解析：选Df(x)xx3的图象在a，b上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)f(b)0，可得f(x)0在a，b内有唯一一个实根4方程log3xx3的解所在的区间为()A(0,2) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选C令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log30，f(3)log333310，那么方程log3xx3的解所在的区间为(2,3)5已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，2是它的一个零点，且在(0，)上是增函数，则该函数有_个零点，这几个零点的和等于_解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)上是增函数，所以f(0)0.又因为f(2)0，所以f(2)f(2)0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：306对于方程x3x22x10，有下列判断：在(2，1)内有实数根；在(1,0)内有实数根；在(1,2)内有实数根；在(，)内没有实数根其中正确的有_(填序号)解析：设f(x)x3x22x1，则f(2)10，f(1)10，f(0)10，f(1)10，f(2)70，则f(x)在(2，1)，(1,0)(1,2)内均有零点，即正确答案：7已知函数f(x)x2bx3.(1)若f(0)f(4)，求函数f(x)的零点(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围解：(1)由f(0)f(4)得3164b3，即b4，所以f(x)x24x3，令f(x)0即x24x30得x13，x21.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图需f(1)0，即1b30，所以b4.故b的取值范围为(4，)8已知函数f(x)3x22xm1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值解：(1)函数有两个零点，则对应方程3x22xm10有两个不相等的实数根，易知0，即412(1m)0，可解得m；由0，可解得m；由0，可解得m.故当m时，函数有两个零点；当m时，函数有一个零点；当m时，函数无零点(2)因为0是对应方程的根，有1m0，可解得m1.
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